常系数齐次线性微分方程

§7.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.20 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

1.9 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）高阶线性微分方程解的结构③ 掌握后可解锁常系数非齐次线性微分方程差分方程（数三独有）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 先说清这一节讲的是哪一类方程：线性、常系数、齐次三个词各指什么★★ 必会

「常系数齐次线性微分方程」这个名字由三个限定词叠成，各管一件事，缺一件结论就不成立。

线性：未知函数

y

与它的各阶导数都只以一次幂出现，且彼此不相乘。

y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = 0

是线性的；

y^{''} + y y^{'} = 0

（出现

y \cdot y^{'}

）与

(y^{'})^{2} + y = 0

（出现平方）都不是。三个词里这一个最要紧——叠加原理、通解结构、基础解系这一整套，只对线性方程成立。

常系数：各阶导数前面的系数是常数，不随

x

变。

y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = 0

是常系数的；

y^{''} + x y^{'} + y = 0

的系数含

x

，它仍是线性方程，但不是常系数的。这个词决定了能不能用特征方程：变系数的线性方程一般没有初等解法。

齐次：方程右端为

0

。

y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = 0

齐次，

y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = e^{x}

非齐次。

⚠️ 这里的「齐次」与一阶方程

y^{'} = f (\frac{y}{x})

那个「齐次方程」不是同一件事，只是中文译名撞了车：前者指右端为零，后者指右端是

y / x

的函数。

三个词合起来，本节处理的就是

y^{(n)} + a_{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} y^{'} + a_{0} y = 0, a_{0}, \dots, a_{n - 1} 均为常数 .

为什么单独拎出这一类：它是高阶线性方程中唯一有通用初等解法的一类。由线性方程解的结构（见前置知识点「线性微分方程解的结构」）可知，解全体构成

n

维空间，求通解只需找出

n

个线性无关的解；而常系数这个条件让人可以直接猜

y = e^{λ x}

，把微分方程整个换成一个代数方程。下一条要点就从这里开始。

证明 / 推导

为什么偏偏猜

y = e^{λ x}

：因为指数函数求导只是自己乘一个常数，

(e^{λ x})^{(k)} = λ^{k} e^{λ x}

。代进方程，每一项都带着同一个因子

e^{λ x}

：

(λ^{n} + a_{n - 1} λ^{n - 1} + \dots + a_{1} λ + a_{0}) e^{λ x} = 0.

而

e^{λ x}

处处非零，可以约掉，微分方程就变成了关于

λ

的代数方程。

这一步用足了三个条件：系数是常数，才能把它们提到括号里凑成一个只含

λ

的多项式；方程是线性的，各项才能这样逐项相加；右端为零，才能直接约去

e^{λ x}

而不留下别的东西。任缺其一，这条路就走不通。

■

举例说明

判断下列方程属于哪一类：

(1)

y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = 0

—— 线性、常系数、齐次，正是本节的对象。
(2)

y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = e^{x}

—— 线性、常系数、非齐次，见下一节（先求出齐次通解，再补一个特解）。
(3)

x^{2} y^{''} + x y^{'} - y = 0

—— 线性、齐次，但系数含

x

，不是常系数；这是欧拉方程，要先换元化成常系数。
(4)

y^{''} + y y^{'} = 0

—— 出现

y \cdot y^{'}

，不是线性方程，本章整套结论都不适用。

易错之处：(3) 常被当成常系数直接写特征方程。判断时看的是系数里有没有

x

，不是看方程里有没有

x

。

2. 由求导化为乘 λ 得出特征方程，并严格证明重根为何要补 x★★ 必会

指数函数

e^{λ x}

每求一次导数只是乘以

λ

，函数的形状并不改变，因此它是求导运算的特征函数。设

y = e^{λ x}

并代入方程，则每个

y^{(k)}

变成

λ^{k} e^{λ x}

；提出公因子

e^{λ x} \neq = 0

以后，微分方程就化为一个代数方程，称为特征方程。下面着重讨论重根为何要补 $x$ 。让两个根互相靠拢再取极限，可以得到直观的解释；这里给出一个只用特征多项式及其导数的严格证明，由它可以清楚地看出单根不必补，重根才要补。

证明 / 推导

下面以二阶方程为例，高阶的情形与此相类似。记

L [y] = y^{''} + p y^{'} + q y

，其特征多项式为

φ (λ) = λ^{2} + p λ + q

。直接计算，可得两个恒等式：

L [e^{λ x}] = (λ^{2} + p λ + q) e^{λ x} = φ (λ) e^{λ x},

L [x e^{λ x}] = φ^{'} (λ) e^{λ x} + x φ (λ) e^{λ x} (φ^{'} (λ) = 2 λ + p) .

（第二式可以由

y = x e^{λ x}

求导后代入验证。）

- 若

φ (r) = 0

，即

r

是特征根，则

\Rightarrow L [e^{r x}] = 0

，因此

e^{r x}

是方程的解。
- 若

r

是单根，即

φ (r) = 0, φ^{'} (r) \neq = 0

，则

L [x e^{r x}] = φ^{'} (r) e^{r x} \neq = 0

，可见

x e^{r x}

不是解，所以对单根不必补

x

。
- 若

r

是二重根，即

φ (r) = φ^{'} (r) = 0

，则

L [x e^{r x}] = 0

，可见

x e^{r x}

也是解。这就是二重根要补

x

的严格根据。

■

举例说明

例（数三 2013）. 解

y^{''} - y^{'} + \frac{1}{4} y = 0

。

特征多项式

φ (λ) = λ^{2} - λ + \frac{1}{4} = (λ - \frac{1}{2})^{2}

，可见

r = \frac{1}{2}

是二重根，且

φ (\frac{1}{2}) = φ^{'} (\frac{1}{2}) = 0

。根据上面的结论，

e^{x /2}

与

x e^{x /2}

都是解，且二者线性无关，于是通解为

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{x /2} .

x e^{x /2}

之所以也是解，正是因为

\frac{1}{2}

是二重根，即

φ^{'} = 0

；如果它只是单根，就不能补上

x

。

3. 复根为什么写成 e^{αx}cosβx 与 e^{αx}sinβx，用欧拉公式取实部★★ 必会

实系数方程的复特征根成共轭对出现，形如

α \pm i β

，它们直接给出的是复值解

e^{(α \pm i β) x}

。但所要求的是实值通解，为此把这对复值解作适当的线性组合，再用欧拉公式，即可化为

e^{α x} cos β x

与

e^{α x} sin β x

。必须注意两个记号不能互换：

α

是实部，决定指数因子的增减，出现在

e^{α x}

中；

β

是虚部，决定振荡的频率，出现在

cos, sin

中。

证明 / 推导

由欧拉公式

e^{(α + i β) x} = e^{α x} (cos β x + i sin β x)

，

e^{(α - i β) x} = e^{α x} (cos β x - i sin β x)

。二者都是方程的复值解；又因为解的线性组合仍是解，故作

\frac{e ^{(α + i β) x} + e ^{(α - i β) x}}{2} \frac{e ^{(α + i β) x} - e ^{(α - i β) x}}{2 i} = e^{α x} cos β x = e^{α x} sin β x .

就得到两个实值解。它们的朗斯基行列式

W = β e^{2 α x} \neq = 0

（这里

β \neq = 0

），所以二者线性无关，构成基础解系。

■

举例说明

例（数三 2020）. 解

y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = 0

，且

f (0) = 1, f^{'} (0) = - 1

。

特征方程

φ (λ) = λ^{2} + 2 λ + 5 = 0

的判别式

Δ = 4 - 20 < 0

，故有一对共轭复根

λ = \frac{- 2 \pm - 16}{2} = - 1 \pm 2 i

，即

α = - 1, β = 2

。于是通解为

y = e^{- x} (C_{1} cos 2 x + C_{2} sin 2 x)

。再由

f (0) = C_{1} = 1

及

f^{'} (0) = - C_{1} + 2 C_{2} = - 1 \Rightarrow C_{2} = 0

，故

f (x) = e^{- x} cos 2 x .

其中

α = - 1

进入指数因子，

β = 2

进入角频率，二者不能互换。

4. 反问题：由通解或特征根反求微分方程★★ 必会

试题也常从反方向提问：给出通解的形式，或者给出某个已知解、某些特征根，要求反过来确定这个常系数齐次方程。做法是先由解读出特征根，再由根写出特征方程，最后还原成微分方程。读根的规则就是对照表的逆用：出现

e^{r x} \Rightarrow

有根

r

；同一族中出现

e^{r x}

与

x e^{r x} \Rightarrow r

是重根；出现

e^{α x} cos β x, e^{α x} sin β x \Rightarrow

有共轭根

α \pm i β

。把所有的根收齐以后，特征方程

= \prod (λ - 根)

，再按

λ^{k} \leftrightarrow y^{(k)}

还原为微分方程。方程的阶数 $=$ 线性无关解的个数。

举例说明

例（数三 2019）. 已知

y^{''} + a y^{'} + b y = c e^{x}

的通解为

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{- x} + e^{x}

，求

a, b, c

。

由齐次解读根：

(C_{1} + C_{2} x) e^{- x}

表明特征方程有二重根

- 1

，故

λ^{2} + aλ + b = (λ + 1)^{2} = λ^{2} + 2 λ + 1

，得

a = 2, b = 1

。由特解定常数：把

y^{*} = e^{x}

代入

y^{''} + 2 y^{'} + y = c e^{x}

，得

(1 + 2 + 1) e^{x} = 4 e^{x} = c e^{x}

，故

c = 4

。于是

a = 2, b = 1, c = 4

。先由解读出特征根，再由特解定出待定常数，这是反问题的一般解法。

5. 由特征根的实部判定解的长期性态（趋于零 / 有界 / 发散）

特征根不仅决定通解的形状，还直接决定解当 $x \to + \infty$ 时的性态。判断全体解是否趋于零、是否有界，只需考察各个根的实部。根

λ = α + i β

所对应的解含有因子

e^{α x}

，其增减完全由实部

α

决定：

① 如果所有根的实部都小于

0

，那么每个解都衰减，因此全体解 $\to 0$ 。
② 如果有根的实部大于

0

，那么相应的解无界。
③ 如果各根的实部都不大于

0

，且实部为

0

的根都是单根，那么解有界（纯虚根给出等幅振荡）。
④ 如果实部为

0

的根是重根，那么解中出现

x cos β x

一类的项，因而无界。

这里的依据是：

x^{k}

的增长比不过

e^{α x}

的衰减，因此当

α < 0

时

x^{k} e^{α x} \to 0

；而当

α = 0

时指数因子不再衰减，

x^{k} (k \geq 1)

就使解无界。

必须注意口径的区别。 以上四条说的都是

x \to + \infty

时的性态。如果题目问的是解在整个实轴

(- \infty, + \infty)

上是否有界，那么条件要强得多。这时全部特征根的实部都必须等于 $0$ ，并且都是单根。原因在于当

x \to - \infty

时，指数因子的作用正好相反。如果

α < 0

，那么

e^{α x}

在左半轴上无限增大。例如方程

y^{''} + 2 y^{'} + y = 0

的特征根是二重根

λ = - 1

。按①与③，它的全部解当

x \to + \infty

时都趋于零，在右半轴上有界。但是解

(1 + x) e^{- x}

在

x = - 20

处约为

- 9.2 \times 1 0^{9}

。因此它在整个实轴上并不有界。

证明 / 推导

证 ① 先证

x \to + \infty lim x^{k} e^{α x} = 0

，其中

α < 0

，

k

为非负整数。记

β = - α > 0

，则

x^{k} e^{α x} = \frac{x ^{k}}{e ^{β x}}

。当

x \to + \infty

时这是

\frac{\infty}{\infty}

型。连续使用

k

次洛必达法则。分子每求一次导数就降低一次幂，

k

次之后成为常数

k!

。分母每求一次导数就乘上一个因子

β

，

k

次之后成为

β^{k} e^{β x}

。于是

x \to + \infty lim \frac{x ^{k}}{e ^{β x}} = x \to + \infty lim \frac{k !}{β ^{k} e ^{β x}} = 0.

又

∣ cos β x ∣ \leq 1

，

∣ sin β x ∣ \leq 1

，故

x^{k} e^{α x} cos β x

与

x^{k} e^{α x} sin β x

也趋于零。这就是实部为负时解衰减的根据。
② 再证判别法的两个方向。设基础解系为

y_{1}, \dots, y_{n}

，通解为

y = C_{1} y_{1} + \dots + C_{n} y_{n}

。
如果所有特征根的实部都小于零，那么每个

y_{i}

都形如

x^{j} e^{α x} cos β x

或

x^{j} e^{α x} sin β x

，其中

α < 0

。由①，每个

y_{i} \to 0

。有限个趋于零的函数的线性组合仍趋于零，所以全体解都趋于零。
反之，设有一个特征根的实部

α \geq 0

。在通解中取它所对应的一个系数为

1

，其余系数为

0

，就得到一个具体的解。若

α > 0

，则这个解含因子

e^{α x}

，当

x \to + \infty

时无界，特别地不趋于零。

β \neq = 0

时它在振荡中无界，并不趋于无穷。若

α = 0

而该根是重根，则可取出解

x^{j} cos β x

（

j \geq 1

，

β = 0

时为

x^{j}

），它也不趋于零。若

α = 0

而该根是单根，则相应的解是

cos β x

或

sin β x

（

β = 0

时为常数

1

），有界而不趋于零。三种情形下都有解不趋于零。因此全体解趋于零的充分必要条件是所有特征根的实部都小于零。
③ 有界的情形可以同样论证。设各根的实部都不大于零，且实部为零的根都是单根。这时每个

y_{i}

或者趋于零，或者是等幅振荡的

cos β x

与

sin β x

。它们都有界，故通解有界。若某个实部为零的根是重根，则

x cos β x

是一个解。当

β \neq = 0

时取

x_{m} = \frac{2 mπ}{β}

（

m = 1, 2, \dots

），得

x_{m} cos β x_{m} = x_{m} \to + \infty

；当

β = 0

时该解就是

x

，当

x \to + \infty

时趋于无穷。两种情形下解都无界。这就证明了由实部判定性态的各条结论。

■

举例说明

例（数三 2023）. 若

y^{''} + a y^{'} + b y = 0

的解在

(- \infty, + \infty)

上全体有界，求

a, b

应满足的条件。

解全体有界

\Leftrightarrow

所有特征根的实部

= 0

，且实部为

0

的根都是单根。如果

Δ \geq 0

，方程有实根

λ

，通解中含

e^{λ x}

或

x e^{λ x}

，只要有一个非零实根就无界，应予排除，故必有

Δ < 0

，此时根为

- \frac{a}{2} \pm i b - \frac{a ^{2}}{4}

。要使实部

- \frac{a}{2} = 0

，即

a = 0

；这时根为

\pm i b

，它是纯虚的单根，解

C_{1} cos b x + C_{2} sin b x

有界。又

Δ = - 4 b < 0 \Rightarrow b > 0

。因此

a = 0, b > 0

。判断解的长期性态，只需考察所有根的实部。

💡 小知识

指数函数是求导运算的特征函数，这一发现要归功于欧拉。他最早系统地用 e^{λx} 去猜常系数线性方程的解，把一道微积分难题一举化成了代数求根。这条思路后来在线性代数里开花结果：矩阵的特征值与特征向量说的是同一件事，即寻找那个被运算作用之后只相差一个数倍的对象。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求方程

y^{''} - y^{'} - 6 y = 0

的通解。难度 1

按

y^{''} \to λ^{2}, y^{'} \to λ, y \to 1

写出特征方程：

λ^{2} - λ - 6 = 0 ⟹ (λ - 3) (λ + 2) = 0,

得两相异实根

λ_{1} = 3, λ_{2} = - 2

。每个单实根

r

贡献一个解

e^{r x}

，故通解

y = C_{1} e^{3 x} + C_{2} e^{- 2 x} .

例 2 求方程

y^{''} + 6 y^{'} + 9 y = 0

的通解。难度 1

特征方程

λ^{2} + 6 λ + 9 = (λ + 3)^{2} = 0,

得二重实根

λ = - 3

。

k

重实根贡献

e^{r x}, x e^{r x}, \dots, x^{k - 1} e^{r x}

，此处二重根贡献

e^{- 3 x}

与

x e^{- 3 x}

，故通解

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{- 3 x} .

重根务必补上带

x

的解，否则独立常数不足两个。

例 3 求方程

y^{''} + 4 y^{'} + 13 y = 0

的通解。难度 2

特征方程

λ^{2} + 4 λ + 13 = 0

，判别式

Δ = 16 - 52 = - 36 < 0

，得共轭复根

λ = \frac{- 4 \pm - 36}{2} = - 2 \pm 3 i,

即

α = - 2, β = 3

。共轭复根

α \pm i β

贡献两个实值解

e^{α x} cos β x

与

e^{α x} sin β x

，故通解

y = e^{- 2 x} (C_{1} cos 3 x + C_{2} sin 3 x) .

α = - 2

进入指数、

β = 3

进入

cos, sin

的角频率，二者别互换。

例 4 （数三 2015）设

y = y (x)

是

y^{''} + y^{'} - 2 y = 0

的解，且在

x = 0

处取得极值

3

，求

y (x)

。难度 2

特征方程

λ^{2} + λ - 2 = (λ - 1) (λ + 2) = 0

，根

1, - 2

，通解

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- 2 x}

。「在

x = 0

取极值

3

」给出

y (0) = 3

且

y^{'} (0) = 0

。由

y^{'} = C_{1} e^{x} - 2 C_{2} e^{- 2 x}

：

{C_{1} + C_{2} = 3 C_{1} - 2 C_{2} = 0 \Rightarrow C_{1} = 2, C_{2} = 1

。故

y = 2 e^{x} + e^{- 2 x}

（

y^{''} (0) = 6 > 0

，为极小值）。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 14 题 · 填空题 · 5 分

微分方程

y^{''} - 2 y^{'} = e^{x}

满足条件

y (0) = 1

，

y^{'} (0) = 1

的解为

y =

______。

2023 年 · 数三 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

若微分方程

y^{''} + a y^{'} + b y = 0

的解在

(- \infty, + \infty)

上有界，则（　　）。

A $a < 0, b > 0$
B $a > 0, b > 0$
C $a = 0, b > 0$
D $a = 0, b < 0$

2020 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

设函数

y = f (x)

满足

y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = 0

，且

f (0) = 1, f^{'} (0) = - 1

.（Ⅰ）求

f (x)

的表达式；（Ⅱ）设

a_{n} = \int_{nπ}^{+ \infty} f (x) d x

，求

n = 1 \sum \infty a_{n}

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

方程

y^{''} + 2 y^{'} + y = 0

的通解是（　）。

A $(C_{1} + C_{2} x) e^{- x}$
B $C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}$
C $(C_{1} + C_{2} x) e^{x}$
D $e^{- x} (C_{1} cos x + C_{2} sin x)$

练习 2 · 填空题

若某二阶常系数齐次线性方程的通解为

y = e^{2 x} (C_{1} cos x + C_{2} sin x)

，则它的特征根为 ____。

练习 3 · 选择题

以

λ_{1} = 1, λ_{2} = 2

为特征根的二阶常系数齐次线性方程是（　）。

A $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0$
B $y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = 0$
C $y^{''} - 3 y^{'} - 2 y = 0$
D $y^{''} + 2 y^{'} + y = 0$

练习 4 · 选择题

方程

y^{'''} - y^{'} = 0

的通解是（　）。

A $C_{1} + C_{2} e^{x} + C_{3} e^{- x}$
B $C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}$
C $C_{1} + C_{2} x + C_{3} x^{2}$
D $(C_{1} + C_{2} x + C_{3} x^{2}) e^{x}$

练习 5 · 填空题

（数三 2013）微分方程

y^{''} - y^{'} + \frac{1}{4} y = 0

的通解为

y =

____。

练习 6 · 选择题

已知

y_{1} = e^{x}, y_{2} = x e^{x}, y_{3} = e^{- 2 x}

是某三阶常系数齐次线性微分方程的三个线性无关的解，则该方程是（　）。

A $y^{'''} - 3 y^{'} + 2 y = 0$
B $y^{'''} - 3 y^{''} + 2 y = 0$
C $y^{'''} + 3 y^{'} - 2 y = 0$
D $y^{'''} - y^{''} - 2 y^{'} + 2 y = 0$

练习 7 · 填空题

设

y = y (x)

满足

y^{''} - 2 y^{'} + 5 y = 0

，且

y (0) = 0, y^{'} (0) = 2

，则

y (x) =

____。

练习 8 · 解答题

设连续函数

φ (x)

满足

φ (x) = 2 x - \int_{0}^{x} (x - t) φ (t) d t, - \infty < x < + \infty.

(1) 证明

φ (x)

二阶可导，并导出

φ

所满足的微分方程与初值条件；

(2) 求

φ (x)

；

(3) 把所求的

φ (x)

代回原方程加以验证，并求

\int_{0}^{π} φ (x) d x

。

2015 年 · 数三 · 第 12 题 · 填空题 · 4 分

设函数

y = y (x)

是微分方程

y^{''} + y^{'} - 2 y = 0

的解，且在

x = 0

处

y (x)

取得极值

3

，则

y (x) =

______.

2013 年 · 数三 · 第 12 题 · 填空题 · 4 分

微分方程

y^{''} - y^{'} + \frac{1}{4} y = 0

的通解为

y =

______.

1994 年 · 数三 · 第 12 题 · 解答题 · 5 分

设函数

y = y (x)

满足条件

{y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0, y (0) = 2, y^{'} (0) = - 4,

求广义积分

\int_{0}^{+ \infty} y (x) d x

。