差分方程（数三独有）

§7.5 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.18 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

1.2 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）常系数齐次线性微分方程

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 差分与差分方程的定义，以及它与微分方程的对应关系★★ 必会

微分方程描述的是连续的变化，例如利息瞬时结算；而经济数据常常是离散的，例如存款按年计息、库存按月盘点。这时变化率不再是导数

\frac{d y}{d t}

，而是相邻两期之差。数列

y_{t} (t = 0, 1, 2, \dots)

的一阶差分为

Δ y_{t} = y_{t + 1} - y_{t}

，二阶差分为

Δ^{2} y_{t} = Δ (Δ y_{t}) = y_{t + 2} - 2 y_{t + 1} + y_{t}

；含有未知数列及其差分（等价地，含有

y_{t + 1}, y_{t}, \dots

）的方程称为差分方程。它是微分方程在离散情形下的对应物，数三独有，数一、数二不考。下面的对应关系掌握以后，差分方程就不必另起炉灶：连续情形的

y^{'} (t) \leftrightarrow

对应离散情形的

y_{t + 1} - y_{t}

；解的结构也一致，都是齐次通解

+

特解；常系数微分方程的特征根

λ

给出

e^{λ t}

，而差分方程的特征根

r

给出

r^{t}

。

证明 / 推导

一阶常系数齐次差分方程 $y_{t + 1} + a y_{t} = 0 (a \neq = 0)$ 的通解。 由

y_{t + 1} = - a y_{t}

逐次迭代，得

y_{1} y_{2} = - a y_{0} = - a y_{1} = (- a)^{2} y_{0}, \dots, y_{t} = (- a)^{t} y_{0} .

记

C = y_{0}

为任意常数，即得

y_{t} = C (- a)^{t}

。这与微分方程

y^{'} + a y = 0

的解

y = C e^{- a t}

彼此对应（把连续的衰减因子

e^{- a}

换成离散的公比

- a

）。必须注意底数是 $- a$ 而不是 $a$ ：在

y_{t + 1} - 2 y_{t} = 0

中

a = - 2

，故公比

- a = 2

，

y_{t} = C \cdot 2^{t}

。

■

举例说明

例（数三 2018）. 求差分方程

Δ^{2} y_{x} - y_{x} = 5

的通解。

先用

Δ^{2} y_{x} = y_{x + 2} - 2 y_{x + 1} + y_{x}

化为标准形式：

Δ^{2} y_{x} - y_{x} = (y_{x + 2} - 2 y_{x + 1} + y_{x}) - y_{x} = y_{x + 2} - 2 y_{x + 1} = 5

。（其中的

y_{x}

项相互抵消，实际上是一阶方程。）齐次方程

y_{x + 2} - 2 y_{x + 1} = 0

的公比为

2

，故齐次通解为

\overline{y_{x}} = C \cdot 2^{x}

。设常数特解

y_{x}^{*} = A

，代入得

A - 2 A = 5 \Rightarrow A = - 5

。故通解为

y_{x} = C \cdot 2^{x} - 5

。

2. 一阶常系数线性差分方程的解法：齐次通解加待定系数特解（含共振情形）★★ 必会

解

y_{t + 1} + a y_{t} = f (t) (a \neq = 0)

：通解 $=$ 齐次通解 $C (- a)^{t}$ $+$ 一个特解 $y_{t}^{*}$ 。特解按自由项

f (t)

的类型用待定系数法求出：
-

f (t) = b

（常数）：若

- a \neq = 1

（即

a \neq = - 1

），则设

y_{t}^{*} = A

；若

a = - 1

（此时发生共振），则设

y_{t}^{*} = A t

。
-

f (t) = b d^{t}

（指数）：若

d \neq = - a

，则设

y_{t}^{*} = A d^{t}

；若

d = - a

（此时发生共振，即底数与齐次通解的公比相同），则设

y_{t}^{*} = A t d^{t}

。
-

f (t) =

多项式：设同次的多项式；若

a = - 1

（此时

- a = 1

是公比），则次数提高一次。
求解步骤：① 写出齐次通解

C (- a)^{t}

；② 按

f

的类型确定特解的形式（共振时要乘以

t

）；③ 代入定出待定常数；④ 两者相加得通解；⑤ 若给出初值

y_{0}

，再定出

C

，即得唯一的解。

证明 / 推导

共振时为什么要乘以 $t$ （以指数型 $f = d^{t}$ 为例）。 齐次通解的公比为

- a

。设

y_{t}^{*} = A d^{t}

，代入得

y_{t + 1} + a y_{t} = A d^{t + 1} + a A d^{t} = A (d + a) d^{t}

。
- 若

d \neq = - a

：此时

d + a \neq = 0

，令

A (d + a) = b

，可解出

A = \frac{b}{d + a}

，特解即得。
- 若

d = - a

：此时

d + a = 0

，上式恒等于

0

，无论

A

取什么值都配不出

d^{t}

。因此必须改设

y_{t}^{*} = A t d^{t}

。这时

A (t + 1) d^{t + 1} + a A t d^{t} = A d^{t} [(t + 1) d + a t] = A d^{t} [t (d + a) + d] = A d \cdot d^{t}

，令

= b d^{t}

得

A = \frac{b}{d}

。

■

举例说明

例（数三 2017）. 求差分方程

y_{t + 1} - 2 y_{t} = 2^{t}

的通解。

齐次方程

y_{t + 1} - 2 y_{t} = 0

的公比为

- a = 2

，齐次通解为

C \cdot 2^{t}

。自由项

2^{t}

的底数

d = 2

等于公比（

d = - a

），发生共振，故设特解

y_{t}^{*} = A t \cdot 2^{t}

。代入得

A (t + 1) 2^{t + 1} - 2 A t 2^{t} = 2 A 2^{t} = 2^{t} \Rightarrow A = \frac{1}{2}

。故通解为

y_{t} = C \cdot 2^{t} + \frac{1}{2} t \cdot 2^{t}

。如果不发生共振，例如

y_{t + 1} - y_{t} = t 2^{t}

，其公比

1 \neq = 2

，就设

(a t + b) 2^{t}

，不必再乘以

t

。

3. 经济背景与稳定性：复利与蛛网模型，由 |a| 判定收敛★★ 必会

差分方程是描述经济动态模型的基本工具：存款复利

y_{t + 1} = (1 + r) y_{t}

（每期本息滚存）、蛛网模型（本期供给由上期价格决定）以及乘数–加速数模型，都是差分方程。由经济叙述建立模型时要注意：比上期增长

r

就译成系数

(1 + r)

，再追加固定额

b

就译成常数项

+ b

。求解以后还要判定稳定性：齐次解

C (- a)^{t}

中公比的绝对值

∣ - a ∣ = ∣ a ∣

决定了变化的趋势。当

∣ a ∣ < 1

时，

(- a)^{t} \to 0

，于是

y_{t} \to

特解，这时称为稳定、收敛；当

∣ a ∣ > 1

时齐次项发散，称为不稳定；

∣ a ∣ = 1

则为临界情形。这与微分方程中考察特征根实部的正负是同一思想，只是换到了离散情形。

证明 / 推导

设

y_{t + 1} + a y_{t} = b

（其中

a \neq = - 1

），其特解为

y^{*} = \frac{b}{1 + a}

（由

y_{t + 1} = y_{t} = y^{*}

解得），故通解为

y_{t} = (y_{0} - \frac{b}{1 + a}) (- a)^{t} + \frac{b}{1 + a}

。
当

∣ a ∣ < 1

时，

(- a)^{t} \to 0

，于是

y_{t} \to \frac{b}{1 + a}

，即趋于长期均衡值，与初值的偏差按几何级数的速率衰减，故收敛而稳定；当

∣ a ∣ > 1

时偏差被不断放大，故发散。

■

举例说明

例（数三 2001）. 某公司每年的工资总额，在比上一年增加

20%

的基础上再追加

2

百万元。以

W_{t}

记第

t

年的工资总额（单位：百万元），试列出

W_{t}

所满足的差分方程，求其通解并判定稳定性。

建模：增加

20%

就是乘以

1.2

，追加

2

就相当于

+ 2

，故

W_{t} = 1.2 W_{t - 1} + 2

。求解：写成

W_{t} - 1.2 W_{t - 1} = 2

，公比为

1.2

，齐次通解为

C \cdot 1. 2^{t}

；再设常数特解，由

A = 1.2 A + 2 \Rightarrow A = - 10

得通解

W_{t} = C \cdot 1. 2^{t} - 10

。稳定性：公比

∣1.2∣ > 1

，齐次项发散，工资总额随

t

无限增长而不收敛，这与工资持续增长的实际情形相符。

拓展 · 考纲外（选读；历年真题从未直接考） 4. 拓展：二阶线性差分方程与斐波那契数列（考纲外）

数三的大纲对差分方程只要求到一阶常系数线性方程。作为拓展，二阶常系数齐次差分方程

y_{t + 2} + p y_{t + 1} + q y_{t} = 0

也同样使用特征根法：特征方程为

r^{2} + p r + q = 0

，若它有两个不相等的实根

r_{1}, r_{2}

，则通解为

C_{1} r_{1}^{t} + C_{2} r_{2}^{t}

（与微分方程中

e^{λ t} \to r^{t}

完全对应）。经典的例子是斐波那契数列

F_{t + 2} = F_{t + 1} + F_{t}

，其特征方程

r^{2} - r - 1 = 0

的根

r = \frac{1 \pm 5}{2}

中就出现了黄金比

φ = \frac{1 + 5}{2}

，可见离散的递推关系中也会出现无理数。这部分了解即可，一般不作考查。

证明 / 推导

二阶齐次差分方程的通解为什么是 $C_{1} r_{1}^{t} + C_{2} r_{2}^{t}$ 。 设方程为

y_{t + 2} + p y_{t + 1} + q y_{t} = 0

，其中

q \neq = 0

。
① 特征根给出解。把

y_{t} = r^{t} (r \neq = 0)

代入方程，得

r^{t + 2} + p r^{t + 1} + q r^{t} = r^{t} (r^{2} + p r + q) = 0.

因

r \neq = 0

，故

r^{t} \neq = 0

，于是上式成立当且仅当

r^{2} + p r + q = 0

。这就是特征方程的来历。又由根与系数的关系

r_{1} r_{2} = q \neq = 0

可知两个特征根都不为零，前面设

r \neq = 0

是合理的。
② 线性组合仍是解。方程是齐次线性的。若

y_{t}^{(1)}, y_{t}^{(2)}

都是解，把

y_{t} = C_{1} y_{t}^{(1)} + C_{2} y_{t}^{(2)}

代入，按

C_{1}, C_{2}

归并各项，两组括号内都等于零，故

y_{t}

也是解。因此

C_{1} r_{1}^{t} + C_{2} r_{2}^{t}

总是解。
③ 这样的式子已经给出了全部的解。把方程改写为

y_{t + 2} = - p y_{t + 1} - q y_{t}

。由此可见，只要给定

y_{0}

与

y_{1}

，其后各项就被逐项唯一确定，所以一个解完全由

y_{0}, y_{1}

决定。现在设

r_{1} \neq = r_{2}

，对任给的

y_{0}, y_{1}

解方程组

C_{1} + C_{2} C_{1} r_{1} + C_{2} r_{2} = y_{0} = y_{1}

它的系数行列式为

r_{2} - r_{1} \neq = 0

，故

C_{1}, C_{2}

存在而且唯一。取这样的

C_{1}, C_{2}

，则

C_{1} r_{1}^{t} + C_{2} r_{2}^{t}

与原来的解有相同的

y_{0}, y_{1}

，因而逐项相等。这就证明了当

r_{1} \neq = r_{2}

时通解为

C_{1} r_{1}^{t} + C_{2} r_{2}^{t}

。
④ 斐波那契数列的通项。此时

F_{t + 2} = F_{t + 1} + F_{t}

，即

p = - 1, q = - 1

，特征方程为

r^{2} - r - 1 = 0

，两根为

r_{1} r_{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{1 - 5}{2}

且

r_{1} + r_{2} = 1, r_{1} r_{2} = - 1, r_{1} - r_{2} = 5

。以

F_{0} = 0, F_{1} = 1

代入 ③ 中的方程组，得

C_{1} + C_{2} = 0

与

C_{1} r_{1} + C_{2} r_{2} = 1

，由此解出

C_{1} = \frac{1}{5}, C_{2} = - \frac{1}{5}

。于是

F_{t} = \frac{1}{5} [(\frac{1 + 5}{2})^{t} - (\frac{1 - 5}{2})^{t}] .

容易验证

F_{0} = 0, F_{1} = 1

；又

F_{2} = \frac{r _{1}^{2} - r _{2}^{2}}{5} = \frac{( r _{1} - r _{2} ) ( r _{1} + r _{2} )}{5} = \frac{5 \times 1}{5} = 1,

与

0, 1, 1, 2, 3, 5, \dots

相符。式中虽然含有无理数

5

，但由递推关系可知每一项都是整数，两个无理的部分在相减时互相抵消。

■

💡 小知识

斐波那契数列

F_{t + 2} = F_{t + 1} + F_{t}

本身就是一个二阶常系数线性差分方程。用特征根法去解它，黄金比例

φ = \frac{1 + 5}{2}

会自己冒出来。一个纯粹由整数递推出来的数列，背后藏着的却是无理数。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求一阶常系数齐次差分方程

y_{t + 1} - 3 y_{t} = 0

满足

y_{0} = 2

的解。难度 1

齐次方程

y_{t + 1} + a y_{t} = 0

的通解为

y_{t} = C (- a)^{t}

。这里

y_{t + 1} = 3 y_{t}

，公比

- a = 3

，故

y_{t} = C \cdot 3^{t}

。由

y_{0} = C = 2

得

y_{t} = 2 \cdot 3^{t}

。（验证

y_{t + 1} = 2 \cdot 3^{t + 1} = 3 \cdot (2 \cdot 3^{t}) = 3 y_{t}

。）

例 2 求差分方程

y_{t + 1} + 2 y_{t} = 6

的通解，并判断其稳定性。难度 1

齐次

y_{t + 1} + 2 y_{t} = 0

公比

- a = - 2

，齐次通解

C (- 2)^{t}

。自由项为常数

6

且

- a = - 2 \neq = 1

，设常数特解

y_{t}^{*} = A

：

A + 2 A = 6 \Rightarrow A = 2

。故通解

y_{t} = C (- 2)^{t} + 2

。因公比

∣ - 2∣ = 2 > 1

，齐次项发散，方程不稳定（

y_{t}

不收敛）。

例 3 （数三 1997）求差分方程

y_{t + 1} - y_{t} = t 2^{t}

的通解。难度 2

齐次

y_{t + 1} - y_{t} = 0

公比

1

，齐次通解

y_{t} = C

。自由项

t 2^{t}

是「一次多项式

\times

指数

2^{t}

」，底数

2

不等于齐次公比

1

（不共振），设特解

y_{t}^{*} = (a t + b) 2^{t}

。代入

[a (t + 1) + b] 2^{t + 1} - (a t + b) 2^{t} = t 2^{t}

，约去

2^{t}

比较系数得

a = 1, b = - 2

。故通解

y_{t} = C + (t - 2) 2^{t}

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2021 年 · 数三 · 第 14 题 · 填空题 · 5 分

差分方程

Δ y_{t} = t

的通解为

y_{t} =

______。

2018 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

差分方程

Δ^{2} y_{x} - y_{x} = 5

的通解为 ______。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

（数三 2021）差分方程

Δ y_{t} = t

的通解为

y_{t} =

____。

练习 2 · 填空题

（数三 1998）差分方程

2 y_{t + 1} + 10 y_{t} - 5 t = 0

的通解为 ____。

练习 3 · 选择题

差分方程

y_{t + 1} + 3 y_{t} = 0

的通解是（　）。

A $y_{t} = C \cdot 3^{t}$
B $y_{t} = C (- 3)^{t}$
C $y_{t} = C \cdot 3^{- t}$
D $y_{t} = 3^{t} + C$

练习 4 · 选择题

一阶常系数线性差分方程

y_{t + 1} + a y_{t} = b

（

a \neq = - 1, 0

）的解当

t \to \infty

收敛的充要条件是（　）。

A $∣ a ∣ < 1$
B $a > 0$
C $∣ a ∣ > 1$
D $a < 0$

练习 5 · 选择题

（数三 2001 型）某公司每年工资总额在比上一年增加

20%

的基础上再追加

2

百万元。以

W_{t}

记第

t

年工资总额（百万元），则

W_{t}

满足的差分方程是（　）。

A $W_{t} = 1.2 W_{t - 1} + 2$
B $W_{t} = 0.2 W_{t - 1} + 2$
C $W_{t} = 1.2 W_{t - 1} - 2$
D $W_{t} = 2 W_{t - 1} + 1.2$

2017 年 · 数三 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

差分方程

y_{t + 1} - 2 y_{t} = 2^{t}

的通解为

y_{t} =

______。

2001 年 · 数三 · 第 2 题 · 填空题 · 3 分

某公司每年的工资总额在比上一年增加

20%

的基础上再追加

2

百万元。若以

W_{t}

表示第

t

年的工资总额（单位：百万元），则

W_{t}

满足的差分方程是______。

1998 年 · 数三 · 第 3 题 · 填空题 · 3 分

差分方程

2 y_{t + 1} + 10 y_{t} - 5 t = 0

的通解为 ______。

1997 年 · 数三 · 第 3 题 · 填空题 · 3 分

差分方程

y_{t + 1} - y_{t} = t 2^{t}

的通解为 ______.