一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）

§7.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

2.92 分/卷近 11 年平均

8/11 年出现年份

4.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）不定积分的概念与性质换元积分法与分部积分法③ 掌握后可解锁高阶线性微分方程解的结构差分方程（数三独有）微分方程与差分方程的经济应用

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 一阶线性通解公式的两种推导：积分因子法与常数变易法★★ 必会

通解公式

y = e^{- \int P d x} (\int Q e^{\int P d x} d x + C)

不应当只是记诵，还要能从两条途径把它推导出来；这样即使一时忘记公式，也可以当场推出。积分因子法的想法是：设法把左边的

y^{'} + P y

凑成一个乘积

(μ y)^{'}

的导数，为此只需

μ^{'} = P μ

，取

μ = e^{\int P d x}

即可。常数变易法的想法是：先解齐次方程，得

y = C e^{- \int P d x}

；非齐次方程不过是右端多了

Q

，于是设解仍取这一形状，只是让常数

C

随

x

变化，以便与

Q

相配。后一种方法贯串全章，并可直接推广到高阶方程，尤其重要。

证明 / 推导

积分因子法. 取

μ = e^{\int P d x}

，这里不带

+ C

，则

μ^{'} = P μ

，故

(μ y)^{'} = μ y^{'} + μ^{'} y = μ (y^{'} + P y) = μ Q .

两边积分，得

μ y = \int μ Q d x + C

，再除以

μ

即得公式。

常数变易法. 齐次方程的解为

y = C e^{- \int P d x}

。把其中的常数换成函数，即令

C \to C (x)

，设

y = C (x) e^{- \int P d x}

，并记

E = e^{- \int P d x}

，这时

E^{'} = - P E

，于是

y^{'} + P y = C^{'} E + C E^{'} + P C E = C^{'} E - P C E + P C E = C^{'} E .

（含

C

的各项恰好抵消，这是因为

E

本身是齐次解。）令

C^{'} E = Q

，得

C^{'} = Q e^{\int P d x}

，积分得

C = \int Q e^{\int P d x} d x + C_{0}

，回代即得同一公式。

■

举例说明

例（数三 2025）. 用常数变易法解

x y^{'} - y + x^{2} e^{x} = 0

，

y (1) = - e

。

先化为标准形

y^{'} - \frac{1}{x} y = - x e^{x}

。对应的齐次方程

y^{'} - \frac{1}{x} y = 0 \Rightarrow y = C x

。令

y = C (x) x

，则

y^{'} = C^{'} x + C

，代入原方程，得

C^{'} x + C - \frac{1}{x} \cdot C (x) x = C^{'} x = - x e^{x} ⟹ C^{'} = - e^{x} ⟹ C = - e^{x} + C_{0} .

故

y = (- e^{x} + C_{0}) x = C_{0} x - x e^{x}

。由

y (1) = C_{0} - e = - e

得

C_{0} = 0

，因此

y = - x e^{x}

。含

C

的两项

\frac{1}{x} \cdot C (x) x

与

C

恰好相消，这正说明齐次解自动配平了齐次部分，而

C (x)

只用来对付非齐次项。

2. 齐次方程为什么令 u=y/x：伸缩不变性保证代入后必可分离变量★★ 必会

齐次方程

y^{'} = φ (y / x)

的右端只依赖于比值

y / x

，因而在伸缩变换

(x, y) \mapsto (t x, t y)

之下保持不变；沿任意一条过原点的射线，斜率处处相同。既然起作用的只有这个比值，就把它取作新的未知函数

u = y / x

。重要结论：这样代换以后一定能化为可分离变量的方程，不会再出现新的耦合。正是由于这一点，这个代换才普遍有效。

证明 / 推导

令

u = \frac{y}{x}

，即

y = ux

，则

\frac{d y}{d x} = u + x \frac{d u}{d x}

。代入

y^{'} = φ (u)

，得

u + x \frac{d u}{d x} = φ (u) ⟹ x \frac{d u}{d x} = φ (u) - u .

右端只含

u

，左端的

x d u / d x

又把

x

与

u

分开，因此总是可以分离变量：

\frac{d u}{φ ( u ) - u} = \frac{d x}{x} .

特别地，若有

u_{0}

使

φ (u_{0}) - u_{0} = 0

，则

u \equiv u_{0}

，即直线

y = u_{0} x

，也是方程的解，它就是分离变量时被除去的常值解。

■

举例说明

例（数三 2007）. 解

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{1}{2} (\frac{y}{x})^{3}

，

y (1) = 1

。

右端只依赖于比值

y / x

，故它是齐次方程，其中

φ (u) = u - \frac{1}{2} u^{3}

。令

u = \frac{y}{x}

，得

u + x u^{'} = u - \frac{1}{2} u^{3} \Rightarrow x u^{'} = - \frac{1}{2} u^{3}

。分离变量，得

\frac{d u}{u ^{3}} = - \frac{d x}{2 x}

，积分得

- \frac{1}{2 u ^{2}} = - \frac{1}{2} ln ∣ x ∣ + C_{1}

，即

\frac{1}{u ^{2}} = ln ∣ x ∣ + C

。回代

u = \frac{y}{x}

，得

\frac{x ^{2}}{y ^{2}} = ln ∣ x ∣ + C

。由

y (1) = 1

得

C = 1

，故

y = \frac{x}{ln x + 1}

。代入

u = y / x

以后必可分离变量，这正是齐次代换普遍有效之处。

3. 分离变量为什么会丢解，其根源在于解的存在唯一性★ 要懂

分离变量时要在两边除以

g (y)

。若有

y_{0}

使

g (y_{0}) = 0

，那么常值函数

y \equiv y_{0}

就在这一步被除掉了。补回常值解常常被当作一条机械的规则，其实它的根据是存在唯一性定理：对初值问题

y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0}

，如果

f

与

f_{y}

在该点的邻域内连续，那么过这一点的解唯一；而一旦

f_{y}

在某处趋于无穷，唯一性失效，那里就可能出现不属于通解族的奇解。分离变量所丢掉的

y \equiv y_{0}

往往就是这种奇解。因此补回它并不是形式上的手续，而是补上了通解公式根本覆盖不到的解。

证明 / 推导

为什么丢解之处恰好是唯一性可疑之处. 分离变量要除以

g (y)

，故丢解只能发生在

g (y_{0}) = 0

处。当

f = f (x) g (y)

时，

f_{y} = f (x) g^{'} (y)

。如果在

y_{0}

附近

g

光滑而

f_{y}

有界，那么唯一性成立，过该点的解唯一，它已经含在通解族之中，并没有独立的奇解；真正产生独立奇解的，是

g

在

y_{0}

处不光滑、

f_{y}

无界的情形。因此，检查常值解

=

检查唯一性可能失效的点。

■

举例说明

例. 解

\frac{d y}{d x} = 2 y (y \geq 0)

，并说明丢解的情形。

分离变量（设

y > 0

）：

\frac{d y}{2 y} = d x \Rightarrow y = x + C \Rightarrow y = (x + C)^{2} (x \geq - C)

。

丢掉的解：

g (y) = 2 y

在

y = 0

处为零，而

y \equiv 0

也满足方程，因为

0 = 20

，但它不含在

(x + C)^{2}

之中，故它是奇解。

从唯一性来看：

f_{y} = 1/ y \to \infty (y \to 0^{+})

，唯一性在

y = 0

处失效，所以过点

(x_{0}, 0)

既有解

y \equiv 0

，又有解

y = (x - x_{0})^{2}

，两个解同时存在。这就是必须单独补回

y \equiv 0

的根本原因。

4. 互换自变量与因变量：对 y 三类方法都不适用时，把 x 看作 y 的函数★★ 必会

遇到一阶方程时，如果把

y

当作未知函数，可分离变量、齐次以及关于

y

的一阶线性这三类都不适用，不要就此放弃，可以取倒数，改把

x

看作

y

的函数，考察

\frac{d x}{d y}

。判断的办法是：如果方程中

x

只以一次的形式出现，而含

y

的部分较为复杂，那么倒过来以后往往就是关于

x (y)

的一阶线性方程。这是一阶方程中最典型的一种设置，也是相应的解决办法。

证明 / 推导

由反函数的求导法则，当

\frac{d y}{d x} \neq = 0

时，

\frac{d x}{d y} = \frac{1}{d y / d x}

。若原方程形如

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{a ( y ) x + b ( y )}

，即右端的分母关于

x

是一次式，那么取倒数即得

\frac{d x}{d y} = a (y) x + b (y) ⟹ \frac{d x}{d y} - a (y) x = b (y),

这就是以

x

为未知函数、

y

为自变量的一阶线性方程，可以直接用通解公式。

■

举例说明

例. 解

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e ^{y} - x}

。

若把

y

看作未知函数，则右端既不可分离变量，也不是齐次的，更不是线性的。取倒数，得

\frac{d x}{d y} = e^{y} - x

，即

\frac{d x}{d y} + x = e^{y}

，这是关于

x (y)

的一阶线性方程，其中

P (y) = 1, Q (y) = e^{y}

。取积分因子

μ = e^{y}

，则

(e^{y} x)^{'} = e^{y} \cdot e^{y} = e^{2 y}

，积分得

e^{y} x = \frac{1}{2} e^{2 y} + C

，故

x = \frac{1}{2} e^{y} + C e^{- y} .

验证：

\frac{d x}{d y} + x = (\frac{1}{2} e^{y} - C e^{- y}) + (\frac{1}{2} e^{y} + C e^{- y}) = e^{y}

✓。

5. 由方程的两个解反求通解：一阶线性方程解的结构★ 要懂

一阶线性方程同样有通解

=

齐次方程的通解

+

一个特解这样的结构。由此得到一条实用的结论：若

y_{1}, y_{2}

是同一个一阶线性方程

y^{'} + P y = Q

的两个解，则它们的差

y_{1} - y_{2}

是齐次方程

y^{'} + P y = 0

的解，即

y_{1} - y_{2} = C e^{- \int P d x}

。于是通解可以写成

y = y_{1} + C (y_{1} - y_{2})

。这样，只要给出两个特解，就能直接写出通解，而不必解方程。高阶线性方程由几个特解求通解，用的正是同一方法。

证明 / 推导

设

y_{1}^{'} + P y_{1} = Q, y_{2}^{'} + P y_{2} = Q

，两式相减，得

(y_{1} - y_{2})^{'} + P (y_{1} - y_{2}) = 0,

故

w = y_{1} - y_{2}

满足齐次方程，从而

w = C e^{- \int P d x}

。又

y_{1}

是一个特解，由解的结构定理，通解为

y = y_{1} + \tilde{C} e^{- \int P d x} = y_{1} + \tilde{C} (y_{1} - y_{2}) (把 C 并入 \tilde{C}) .

■

举例说明

例（数三 2006）. 设非齐次线性方程

y^{'} + P (x) y = Q (x)

有两个不同的解

y_{1} (x), y_{2} (x)

，

C

为任意常数，求其通解。

作差得齐次解：

(y_{1} - y_{2})^{'} + P (y_{1} - y_{2}) = Q - Q = 0

，且

y_{1} \neq = y_{2}

，故

y_{1} - y_{2}

是非零的齐次解，齐次方程的通解为

C (y_{1} - y_{2})

。取

y_{1}

作为一个特解，由通解

=

齐次通解

+

特解，得

y = y_{1} (x) + C [y_{1} (x) - y_{2} (x)] .

只凭两个解，不必解方程就写出了通解。这正是一阶线性方程解的结构定理的作用所在。

💡 小知识

积分因子

e^{\int P d x}

是解一阶线性方程的关键：它把

y^{'} + P y

这个看似拆不开的组合，拼成了一个乘积的导数

(e^{\int P d x} y)^{'}

。乘上一个因子、把零散的项合成整体，这一思路后来在热力学里再次出现：热量 δQ 本身不是全微分，乘上 1/T 之后就成了全微分 dS，也就是熵。同一个办法，在相隔很远的两个领域里都管用。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求微分方程

\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} y

的通解。难度 1

右端是

x

的函数乘

y

的函数，属可分离变量方程。把含

y

与含

x

的部分分家：

\frac{d y}{y} = 3 x^{2} d x .

两边积分

\int \frac{d y}{y} = \int 3 x^{2} d x

，得

ln ∣ y ∣ = x^{3} + C_{1}

。于是

∣ y ∣ = e^{C_{1}} e^{x^{3}}

，记

C = \pm e^{C_{1}}

，通解

y = C e^{x^{3}} .

分离时除以了

y

，而由

g (y) = y = 0

得的常值解

y = 0

恰好含于

C = 0

的情形，无需另补。验证：

y^{'} = 3 x^{2} \cdot C e^{x^{3}} = 3 x^{2} y

，成立。

例 2 求微分方程

y^{'} - \frac{y}{x} = x (x > 0)

的通解。难度 1

方程已是标准形

y^{'} + P (x) y = Q (x)

，其中

P (x) = - \frac{1}{x}, Q (x) = x

。先算积分因子

μ = e^{\int P d x} = e^{- \int \frac{1}{x} d x} = e^{- l n x} = \frac{1}{x} .

乘以

μ

后左边凑成乘积的导数：

(\frac{y}{x})^{'} = μ Q = \frac{1}{x} \cdot x = 1

。两边积分

\frac{y}{x} = x + C ⟹ y = x^{2} + C x .

验证：

y^{'} = 2 x + C

，

y^{'} - \frac{y}{x} = 2 x + C - \frac{x ^{2} + C x}{x} = 2 x + C - x - C = x

。

例 3 求齐次方程

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + tan \frac{y}{x} (x > 0)

的通解。难度 2

右端只依赖比值

\frac{y}{x}

，是齐次方程。令

u = \frac{y}{x}

，则

y = ux

，

\frac{d y}{d x} = u + x \frac{d u}{d x}

，代入：

u + x \frac{d u}{d x} = u + tan u ⟹ x \frac{d u}{d x} = tan u .

已化为可分离变量。分离并积分（

tan u \neq = 0

）：

\frac{cos u}{sin u} d u = \frac{d x}{x} ⟹ ln ∣ sin u ∣ = ln ∣ x ∣ + C_{1} .

即

sin u = C x

。回代

u = \frac{y}{x}

，得通解

sin \frac{y}{x} = C x .

（另有由

tan u = 0

得的解

y = k π x

，含于

C = 0

。）

例 4 求微分方程

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + y ^{2}}

的通解。难度 2

若把

y

看成

x

的函数，右端既非可分离、又非齐次、也不是（关于

y

的）线性——三类都套不上。反客为主：把

x

看成

y

的函数，对方程取倒数：

\frac{d x}{d y} = x + y^{2} ⟹ \frac{d x}{d y} - x = y^{2} .

这是关于未知函数

x (y)

的一阶线性方程，

P (y) = - 1, Q (y) = y^{2}

。积分因子

μ = e^{\int (- 1) d y} = e^{- y}

，故

(e^{- y} x)^{'} = y^{2} e^{- y} .

右边分部积分两次：

\int y^{2} e^{- y} d y = - (y^{2} + 2 y + 2) e^{- y} + C

。于是

e^{- y} x = - (y^{2} + 2 y + 2) e^{- y} + C ⟹ x = C e^{y} - (y^{2} + 2 y + 2) .

点评：对

y

三类都不像时，试着取倒数、把

x

当作

y

的函数，常能起死回生。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

微分方程

x y^{'} - y + x^{2} e^{x} = 0

满足条件

y (1) = - e

的解为

y =

______。

2023 年 · 数三 · 第 14 题 · 填空题 · 5 分

设某公司在

t

时刻的资产为

f (t)

，从

0

时刻到

t

时刻的平均资产等于

\frac{f ( t )}{t} - t

。假设

f (t)

连续且

f (0) = 0

，则

f (t) =

______。

2022 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

设函数

y (x)

是微分方程

y^{'} + \frac{1}{2 x} y = 2 + x

满足条件

y (1) = 3

的解，求曲线

y = y (x)

的渐近线.

2021 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 12 分

设

n

为正整数，

y = y_{n} (x)

是微分方程

x y^{'} - (n + 1) y = 0

满足条件

y_{n} (1) = \frac{1}{n ( n + 1 )}

的解。

（Ⅰ）求

y_{n} (x)

；（Ⅱ）求级数

n = 1 \sum \infty y_{n} (x)

的收敛域及和函数。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

微分方程

y y^{'} = x

的通解是（　）。

A $y^{2} - x^{2} = C$
B $x^{2} + y^{2} = C$
C $y = C x$
D $y = C x^{2}$

练习 2 · 填空题

设

y = y (x)

满足

y^{'} + y = e^{- x}

且

y (0) = 0

，则

y =

____。

练习 3 · 填空题

求微分方程

\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{y}{x} (x > 0)

满足

y (1) = 0

的特解

y =

____。

练习 4 · 选择题

微分方程

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 2 y}

关于

y

不属于可分离、齐次、一阶线性中任何一类。若把

x

看作

y

的函数，它可化为（　）。

A $\frac{d x}{d y} - x = 2 y$
B $\frac{d x}{d y} + x = 2 y$
C $\frac{d x}{d y} - 2 x = y$
D $\frac{d x}{d y} = 2 x y$

练习 5 · 填空题

（数三 2008）微分方程

x y^{'} + y = 0

满足

y (1) = 1

的解是

y =

____。

练习 6 · 解答题

（数三 1990）求微分方程

y^{'} + y cos x = (ln x) e^{- s i n x}

的通解。

练习 7 · 选择题

已知

y_{1} = x^{2}

与

y_{2} = x^{2} + e^{x}

都是一阶线性非齐次方程

y^{'} + P (x) y = Q (x)

的解，则该方程满足

y (0) = 2

的解是（　）。

A $y = x^{2} + 2 e^{x}$
B $y = x^{2} + 2 e^{- x}$
C $y = 2 x^{2} + e^{x}$
D $y = x^{2} + e^{x} + 1$

练习 8 · 填空题

求微分方程

\frac{d y}{d x} = (x + y)^{2}

满足

y (0) = 0

的特解

y =

____。

练习 9 · 解答题

设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内可导，且满足

f^{'} (x) = f (x) + \int_{0}^{1} f (t) d t, f (0) = 1.

求

f (x)

。

2019 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

设函数

y (x)

是微分方程

y^{'} - x y = \frac{1}{2 x} e^{x^{2} /2}

满足条件

y (1) = e

的特解.
（Ⅰ）求

y (x)

；
（Ⅱ）设平面区域

D = {(x, y) ∣ 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq y (x)}

，求

D

绕

x

轴旋转所得旋转体的体积.

2018 年 · 数三 · 第 12 题 · 填空题 · 4 分

设函数

f (x)

满足

f (x + Δ x) - f (x) = 2 x f (x) Δ x + o (Δ x) (Δ x \to 0)

，且

f (0) = 2

，则

f (1) =

______。