乐思数学通 › 先打基础 › 一阶微分方程（可分离、齐次、线性、伯努利）

一阶微分方程（可分离、齐次、线性、伯努利）

高等数学 · 常微分方程

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 先认方程：阶、通解、特解

含未知函数导数的方程叫微分方程。它的阶，就是里面出现的最高阶导数的阶数：

y^{'} = 2 x (一阶), y^{''} + y^{'} = x (二阶) .

把一个函数代进去能使方程成立，它就是一个解。

通解：含有与阶数相同个数的独立任意常数的解；特解：不含任意常数的解。

初值条件（如

y (0) = 2

）就是用来把那些常数定下来的。

这是和前面所有方程最大的不同：解微分方程得到的是一族函数，不是一个数。
所以答案里带着

C

是正常的，不带反而要怀疑。

2. 可分离变量：各归一边，两边积分

形状：

\frac{d y}{d x} = f (x) g (y) .

做法只有两步：分离，然后两边积分。

\frac{d y}{g ( y )} = f (x) d x .

三处要留神：

① 除以 $g (y)$ 时， $g (y) = 0$ 的那些常数解可能被丢掉，解完回头看一眼。

② 常数只在右边写一个 $C$ （左右两个常数合成一个）。

③ 积完能解出 $y$ 就解出来（显式解）；解不出来，留着隐式的样子也算答案。

3. 齐次方程：令 $u = \frac{y}{x}$ ，它就变成可分离的

形状：右端只与 $\frac{y}{x}$ 有关，

\frac{d y}{d x} = φ (\frac{y}{x}) .

认法：把

x, y

同时换成

t x, t y

，右端不变，就是齐次的。

换元

y = ux

（即

u = \frac{y}{x}

），则由乘积法则

\frac{d y}{d x} = u + x \frac{d u}{d x} .

代进方程：

x \frac{d u}{d x} = φ (u) - u,

这是可分离的，回到上一条。

解完记得回代

u = \frac{y}{x}

——答案里不许留着

u

。

4. 一阶线性：化成标准形，套那条公式

标准形（

y^{'}

的系数必须是

1

）：

y^{'} + p (x) y = q (x) .

q \equiv 0

时叫齐次（那就是可分离的）。通解公式：

y = e^{- \int p d x} (\int q e^{\int p d x} d x + C) .

动笔三步：化标准形 $\to$ 算 $\int p d x$ （不另加常数） $\to$ 代公式。

同一条公式还能管一类方程：

y^{'} + p y = q y^{n}

（

n \neq = 0, 1

，叫伯努利方程，数一要求）
两边除以

y^{n}

、再令

z = y^{1 - n}

，就回到标准形。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

可分离变量：分离、积分、找回常数解

第一步：把方程写成

\frac{d y}{d x} = f (x) g (y)

，确认右端真能拆成两个因子。

第二步：分离成

\frac{d y}{g ( y )} = f (x) d x

，并记下你假设了

g (y) \neq = 0

。

第三步：两边积分，右边写一个

C

；能解出

y

就解出来。

第四步：回头检查

g (y) = 0

的常数解是否已被

C

的某个取值包含；没包含就补上。

例例. 解

\frac{d y}{d x} = 2 x y

。

第一步，右端拆得开：

f (x) = 2 x

、

g (y) = y

✓

第二步，分离成

\frac{d y}{y} = 2 x d x

，记下这里假设了 $y \neq = 0$ 。

第三步，两边积分：

ln ∣ y ∣ = x^{2} + C_{1}

，解出

y = C e^{x^{2}}

（

C \neq = 0

）。

第四步，回头看

g (y) = 0

即

y \equiv 0

：它确实是解，而

C = 0

正好给出它。把

C

放宽到全体实数，通解就是

y = C e^{x^{2}}

，常数解已被包含。

但不是每次都这么巧：解

y^{'} = y^{2}

时分离得

y = \frac{- 1}{x + C}

，而常数解

y \equiv 0

无论

C

取什么都得不到，必须单独补上。第四步不是走形式。

齐次方程：换元回到可分离

第一步：验证右端只含

\frac{y}{x}

（或把

x, y

换成

t x, t y

后不变）。

第二步：令

y = ux

，把

\frac{d y}{d x}

换成

u + x \frac{d u}{d x}

。

第三步：整理成

x \frac{d u}{d x} = φ (u) - u

，按可分离那一套解。

第四步：回代

u = \frac{y}{x}

，答案里只许有

x, y, C

。

例例. 解

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + tan \frac{y}{x}

。

第一步，右端只含

\frac{y}{x}

✓ 是齐次方程。

第二步，令

y = ux

，则

\frac{d y}{d x} = u + x \frac{d u}{d x}

，代入得

u + x \frac{d u}{d x} = u + tan u .

第三步，

u

两边消掉（齐次方程换元后总会这样），剩

x \frac{d u}{d x} = tan u

，可分离：

\frac{cos u}{sin u} d u = \frac{d x}{x} \Rightarrow ln ∣ sin u ∣ = ln ∣ x ∣ + C_{1} \Rightarrow sin u = C x .

第四步，回代

u = \frac{y}{x}

：

sin \frac{y}{x} = C x

。

答案里只许有 $x, y, C$ ——留着

u

就是没做完。

一阶线性：标准形、积分因子、公式

第一步：把

y^{'}

的系数化为

1

，读出

p (x)

与

q (x)

。

第二步：算

\int p d x

，不要另加常数；再写出

e^{\int p}

。

第三步：代公式，先算括号里的积分。

第四步：把

e^{- \int p}

乘进去化简；有初值就代初值定

C

。

例例. 解

y^{'} + \frac{2}{x} y = \frac{sin x}{x ^{2}}

（

x > 0

）。

第一步，

y^{'}

的系数已是

1

✓ 读出

p = \frac{2}{x}

、

q = \frac{sin x}{x ^{2}}

。

第二步，

\int p d x = 2 ln x = ln x^{2}

（不另加常数，加了最后也会被约掉），于是

e^{\int p} = x^{2}

。

第三步，代公式，先算括号里的积分：

y = \frac{1}{x ^{2}} (\int x^{2} \cdot \frac{sin x}{x ^{2}} d x + C) = \frac{1}{x ^{2}} (C - cos x) .

第四步，化简得

y = \frac{C - cos x}{x ^{2}}

。有初值就代，比如

y (π) = 0

给出

C = - 1

。

第二步那个

e^{\int p}

叫积分因子：乘上它之后方程左边恰好是

(x^{2} y)^{'}

——公式就是这么来的。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

除以 $g (y)$ 时丢掉常数解

分离变量那一步默认

g (y) \neq = 0

，而

g (y) = 0

的

y

本身往往就是解。

\frac{d y}{d x} = y^{2}

分离时丢掉了

y \equiv 0

，
而它确实满足方程（两边都是

0

）。

解完写一句「另有常数解

y \equiv 0

」，或者说明它已被

C

的某个取值包含。

积分后忘了 $+ C$

没有

C

的答案只是一个特解，而题目问的是通解。

这一条在微分方程里比在积分那一章更要命：后面的「代初值定常数」整步都没了着落。

自检：常数个数等于阶数。

一阶线性没化成标准形就代公式

公式要求

y^{'}

的系数是

1

。

x y^{'} + y = x^{2}

里直接取

p = 1

是错的，
必须先除以

x

得

p = \frac{1}{x}

。

症状：算出来的

e^{\int p}

形状不对，整道题随之全错。

动笔第一件事就是化标准形，哪怕题目看着已经很整齐。

算 $\int p d x$ 时又加一个常数

那个积分只是用来造积分因子的，加上常数会在

e^{\int p}

里变成一个乘数因子，
把公式搅乱。

约定是取最简的那个原函数（常数取

0

）。

公式里真正的任意常数只有括号里那一个

C

。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认方程

练 1

方程

y^{''} + y^{'} = x

的阶是（）。

A $2$
B $1$
C $3$
D $0$

练 2

一阶微分方程的通解中含有 ________ 个独立的任意常数。

练 3

验证

y = C e^{x}

是

y^{'} = y

的解时，要把

y^{'}

换成 ________。

练 4

y^{'} = 2 x

的通解是（）。

A $y = x^{2}$
B $y = 2 x^{2} + C$
C $y = x^{2} + C$
D $y = 2$

第二组 · 可分离与齐次

练 5

\frac{d y}{d x} = 2 x y

的通解为

y =

________。

练 6

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}

的通解为

y =

________。

练 7

方程

\frac{d y}{d x} = \frac{x + y}{x}

属于（）。

A可分离变量方程
B齐次方程
C伯努利方程
D二阶方程

练 8

解

\frac{d y}{d x} = 2 x y

且

y (0) = 1

，得

y =

________。

第三组 · 一阶线性

练 9

把

x y^{'} + y = x^{2}

化成标准形

y^{'} + p (x) y = q (x)

，则

p (x) =

________。

练 10

承上题，

x y^{'} + y = x^{2}

的通解为

y =

________。

练 11

y^{'} + p (x) y = q (x)

的通解公式是（）。

A $y = \int q e^{\int p} d x + C$
B $y = e^{\int p} (\int q e^{- \int p} d x + C)$
C $y = e^{- \int p} \int q d x + C$
D $y = e^{- \int p} (\int q e^{\int p} d x + C)$

练 12数一

解伯努利方程

y^{'} + p (x) y = q (x) y^{n}

（

n \neq = 0, 1

）应当令（）。

A $z = y^{1 - n}$
B $z = y^{n}$
C $z = ln y$
D $z = \frac{1}{y}$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

一阶微分方程（可分离、齐次、线性、伯努利）

先打基础

1. 先认方程：阶、通解、特解

2. 可分离变量：各归一边，两边积分

3. 齐次方程：令 u=xy​，它就变成可分离的

4. 一阶线性：化成标准形，套那条公式

常用结构

可分离变量：分离、积分、找回常数解

齐次方程：换元回到可分离

一阶线性：标准形、积分因子、公式

基础易错

除以 g(y) 时丢掉常数解

积分后忘了 +C

一阶线性没化成标准形就代公式

算 ∫pdx 时又加一个常数

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12数一

3. 齐次方程：令 $u = \frac{y}{x}$ ，它就变成可分离的

除以 $g (y)$ 时丢掉常数解

积分后忘了 $+ C$

算 $\int p d x$ 时又加一个常数