傅里叶级数

高等数学 · 无穷级数

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 傅里叶系数：用正交性把系数一个个挑出来

幂级数用

x^{n}

拼函数，傅里叶级数改用三角函数拼：

\frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x) .

以

2 π

为周期的函数

f

，它的傅里叶系数由两个积分给出：

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x,

b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x .

a_{n}

从

n = 0

起算，

b_{n}

从

n = 1

起算。

常数项写成 $\frac{a _{0}}{2}$ 而不是 $a_{0}$ ，正是为了让

a_{0}

能用上面那同一个公式
（否则它得单独配一个

\frac{1}{2 π}

）。

2. 狄利克雷定理：间断点处收敛到左右极限的平均

级数写出来了，它收敛到什么？狄利克雷收敛定理给出条件与结论。

条件（考研里几乎总满足）：

f

在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点，
而且只有有限个极值点。

结论：傅里叶级数处处收敛，且其和

S (x)

满足

连续点处

S (x) = f (x)

；间断点处

S (x) = \frac{f ( x - 0 ) + f ( x + 0 )}{2} .

端点 $x = \pm π$ 要特别当心：按周期延拓之后它们是同一点的两侧，所以

S (\pm π) = \frac{f ( - π + 0 ) + f ( π - 0 )}{2} .

「级数在某点收敛到几」是本节最常考的一问。

3. 奇偶性：正弦级数与余弦级数

先查奇偶，能省掉一半的积分：

$f$ 是奇函数

\Rightarrow

f (x) cos n x

为奇，积分为零，故

a_{n} = 0

，
展开式里只剩

sin

——叫正弦级数；

$f$ 是偶函数

\Rightarrow

b_{n} = 0

，只剩

cos

与常数项——叫余弦级数。

而且这时系数还能写成半区间上的积分（被积函数是偶的，对称区间积分等于一半的两倍）：

b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f (x) sin n x d x (f 奇) .

定义在 $[0, π]$ 上的函数本来无所谓奇偶，这时由你延拓：
要正弦级数就作奇延拓，要余弦级数就作偶延拓。

4. 周期为 $2 l$ ：把 $n x$ 换成 $\frac{nπ x}{l}$

周期不是

2 π

而是

2 l

时，公式整体做一次尺度变换：

f (x) \sim \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos \frac{nπ x}{l} + b_{n} sin \frac{nπ x}{l}),

系数相应地变成

a_{n} = \frac{1}{l} \int_{- l}^{l} f (x) cos \frac{nπ x}{l} d x,

b_{n}

同理（把

cos

换成

sin

）。

三处同时改：三角函数的自变量、积分区间、前面的系数

\frac{1}{l}

。

l = π

时它退回到前面的公式——可以用这个来检查有没有记错。

奇偶性的结论原样成立，

[0, l]

上的展开同样靠延拓。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求傅里叶级数的四步

第一步：先查奇偶——奇的只算

b_{n}

，偶的只算

a_{n}

，省一半力气。

第二步：代系数公式积分（含

x

的多半要分部积分）。

第三步：把系数代回级数，写出展开式。

第四步：写明它在哪些点等于

f (x)

——间断点与端点要单独说明。

例例. 把

f (x) = x

（

- π < x < π

，以

2 π

为周期）展开成傅里叶级数。

第一步，查奇偶：

x

是奇函数

\Rightarrow

所有

a_{n} = 0

，只算

b_{n}

，力气省一半。

第二步，代公式，分部积分：

b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x sin n x d x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π ( - 1 ) ^{n + 1}}{n} = \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n} .

第三步，代回去：

x \sim n = 1 \sum \infty \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n} sin n x .

第四步，它在

(- π, π)

内每一点都等于

x

。在

x = \pm π

处每一项

sin nπ = 0

，级数的和是

0

，而

\frac{f ( - π + 0 ) + f ( π - 0 )}{2} = \frac{- π + π}{2} = 0

✓ 对上了——但它不等于端点处的函数值。

判断级数在某点的和

第一步：看这一点是不是连续点；是就直接等于

f (x)

。

第二步：是间断点，求左右极限，取平均。

第三步：是区间端点

\pm π

（或

\pm l

），用

\frac{f ( - π + 0 ) + f ( π - 0 )}{2}

。

第四步：答案是级数的和

S (x)

，不一定等于 $f (x)$ ，别混写。

例例. 设

f (x) = {0, x, - π < x < 0 0 \leq x < π

以

2 π

为周期，求其傅里叶级数在

x = \frac{π}{2}

、

x = 0

、

x = π

处的和。

第一步，

x = \frac{π}{2}

是连续点

\Rightarrow

S (\frac{π}{2}) = f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}

。

第二步，

x = 0

处左极限

0

、右极限

0

，其实也连续，

S (0) = 0

。（若左支改成

f \equiv 1

，那就是真间断点，

S (0) = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}

，而

f (0) = 0

——这时两者就不等了。）

第三步，

x = π

是端点：

S (π) = \frac{f ( - π + 0 ) + f ( π - 0 )}{2} = \frac{0 + π}{2} = \frac{π}{2} .

第四步，注意

f (π)

按定义根本没给（区间写的是

[0, π)

），而

S (π)

照样有值。 $S (x)$ 与 $f (x)$ 是两个函数，只在连续点上重合。

$[0, l]$ 上展开成正弦或余弦级数

第一步：读题——「正弦级数」就作奇延拓，「余弦级数」就作偶延拓。

第二步：相应地令

a_{n} = 0

或

b_{n} = 0

。

第三步：用半区间公式算另一套系数（前面的系数是

\frac{2}{l}

）。

第四步：写出级数，并说明它在

[0, l]

上收敛到

f

。

例例. 把

f (x) = x

在

[0, π]

上分别展开成正弦级数与余弦级数。

第一步，读题：「正弦级数」作奇延拓，「余弦级数」作偶延拓。同一个

f

，两个不同的级数。

第二步，正弦令

a_{n} = 0

；余弦令

b_{n} = 0

。

第三步，半区间公式（系数前面是

\frac{2}{l}

，这里

l = π

）：

正弦

b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x sin n x d x = \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n}

（和上一条一样，因为奇延拓出来正好就是

f (x) = x

）；

余弦

a_{0} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x d x = π

，

a_{n} = \frac{2 [ ( - 1 ) ^{n} - 1 ]}{π n ^{2}}

。

第四步，两个级数在

(0, π)

上都收敛到

x

——同一段函数，两种展开，都对。区别在区间之外：一个延拓成奇的，一个延拓成偶的。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

常数项写成 $a_{0}$ 而不是 $\frac{a _{0}}{2}$

级数的首项是

\frac{a _{0}}{2}

，这样

a_{0}

才能用和别的

a_{n}

同一个公式算。

写成

a_{0}

会让常数项大一倍。

检查：用

a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f

算完之后，
首项要再除以

2

。

不查奇偶就硬算两套系数

奇函数的

a_{n}

全是

0

，偶函数的

b_{n}

全是

0

——这是对称区间上积分的直接结果。

不查就算，等于白做一半的分部积分，考场上很亏。

动笔第一件事是看 $f (- x)$ 与 $f (x)$ 的关系。

把 $S (x)$ 与 $f (x)$ 当成一回事

在间断点与端点上，级数的和是左右极限的平均，不等于

f

在那里的值。

这正是考题最爱问的那一问（「求级数在

x = π

处的和」）。

答这类题先判断「这一点是什么点」，再决定用哪条规则。

周期是 $2 l$ 时只改了一处

三角函数的自变量、积分区间、前面的系数

\frac{1}{l}

，三处要一起改。

只改积分区间的话，那组三角函数在新区间上不再正交，系数公式整个失效。

自检：令

l = π

，公式应当变回最初的那一对。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认公式

练 1

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π}

________

d x

。

练 2

若

f

是奇函数，则它的傅里叶系数满足（）。

A $a_{n} = 0$
B $b_{n} = 0$
C $a_{n} = b_{n} = 0$
D两者都不为零

练 3

偶函数展开出来的是 ________ 级数（填「正弦」或「余弦」）。

练 4

按狄利克雷定理，傅里叶级数在

f

的间断点处收敛到（）。

A $f (x)$
B左右极限的平均 $\frac{f ( x - 0 ) + f ( x + 0 )}{2}$
C $0$
D不收敛

第二组 · 算一个例子

练 5

f (x) = x

（

- π < x < π

）的傅里叶系数

a_{n} =

________。

练 6

承上题，该级数在

x = π

处收敛到 ________。

练 7

傅里叶系数公式的来历是（）。

A泰勒展开
B洛必达法则
C分部积分
D三角函数系的正交性

练 8

周期为

2 l

时，级数里三角函数的自变量应写成 ________。

第三组 · 延拓与收敛

练 9

把

[0, π]

上的

f

展开成正弦级数，应当先作（）。

A偶延拓
B奇延拓
C延拓到 $[0, 2 π]$
D不必延拓

练 10

若

f

在

x_{0}

处连续，则其傅里叶级数在该点收敛到 ________。

练 11

若

f

为奇函数，则

f (x) cos n x

是 ________ 函数（填「奇」或「偶」）。

练 12

同一个

[0, l]

上的函数能展开成两种不同的级数，原因是（）。

A收敛定理有两条
B系数公式有两套
C延拓到 $[- l, 0]$ 的方式由你选择
D两者的收敛域不同

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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