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函数展开成幂级数与幂级数求和

高等数学 · 无穷级数

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 五个必背的展开式

把函数写成幂级数，靠的是泰勒级数

n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}

（

x_{0} = 0

时叫麦克劳林级数）。但考研几乎不用定义去算，而是把下面五个套来套去：

e^{x} = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !},

sin x = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!},

cos x = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n )!},

\frac{1}{1 - x} = n = 0 \sum \infty x^{n},

ln (1 + x) = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1} x ^{n}}{n} .

收敛域要连着记：前三个在整条实轴上成立；

\frac{1}{1 - x}

要求

∣ x ∣ < 1

；

ln (1 + x)

的是

(- 1, 1]

。

2. 间接展开法：换元、求导、积分

直接按定义求

f^{(n)} (0)

的通项，对大多数函数都做不到。
考研的展开题几乎都用间接法：把那五个基本式改造一下。

三个动作：

① 换元：把基本式里的

x

换成

- x^{2}

、

2 x

、

\frac{x}{2}

之类；

② 逐项求导；③ 逐项积分。

后两个在收敛区间内部都是合法的（那里绝对收敛），而且收敛半径不变。

换元之后收敛域要跟着解一次不等式：

\frac{1}{1 - t}

要求

∣ t ∣ < 1

，换上

t = - x^{2}

就成了

∣ x ∣ < 1

。

3. 幂级数求和：倒过来用那三个动作

反过来的题也常考：给一个幂级数，求它的和函数。

办法还是逐项求导／积分，目标是把它变成那五个基本式之一。

两条对应关系要记牢：

系数里有 $\frac{1}{n}$ $\Rightarrow$ 先逐项求导（求导把

x^{n}

变成

n x^{n - 1}

，
那个

n

正好约掉分母）；

系数里有 $n$ $\Rightarrow$ 先逐项积分（或者先提出一个

x

再想办法）。

算完要走回去：求导过的要积分回来（用

S (0)

定常数），
积分过的要求导回来。最后写明和函数成立的范围。

4. 逐项求导积分合法，但端点可能丢

幂级数在收敛区间内部绝对收敛，所以逐项求导、逐项积分都合法，
而且收敛半径不变。

但是——端点的敛散性可能变。

求导会把系数乘大（

\frac{1}{n} \to 1

），原来靠「正负抵消」勉强收敛的端点可能就垮了；
积分则相反，可能把原本发散的端点救回来。

所以：

半径由定理保证不变，端点必须重新判一次。

这正是上一节那句「端点单独判」在这里的延续。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

把函数展开成幂级数

第一步：认它是由哪个基本式变来的（看形状：

\frac{1}{1 \pm □}

、

e^{□}

、三角）。

第二步：换元，把基本式里的

x

换成那个整块。

第三步：需要时逐项求导或积分（

ln

、

arctan

这类走积分）。

第四步：解不等式定出新的收敛域，端点单独判。

例例. 把

f (x) = \frac{1}{3 - x}

展开成

x

的幂级数。

第一步，认形状：它是

\frac{1}{1 - □}

变来的。

第二步，提出那个 $3$ 才凑得出标准形：

\frac{1}{3 - x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{3}} = \frac{1}{3} n = 0 \sum \infty (\frac{x}{3})^{n} = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{3 ^{n + 1}} .

第三步，这道不必求导积分。（要展开

ln (3 - x)

，就对上式积分。）

第四步，收敛条件是

\frac{x}{3} < 1

，即

∣ x ∣ < 3

；端点

x = \pm 3

处通项不趋于零，发散。收敛域

(- 3, 3)

。

提常数那一步是关键：不提这个

3

，就凑不出

\frac{1}{1 - □}

，而那是唯一能直接套的形状。

求幂级数的和函数

第一步：看系数——有

\frac{1}{n}

先求导，有

n

先积分。

第二步：化成基本式（多半是等比级数

\frac{1}{1 - x}

），写出它的和。

第三步：走回去——求导过的积分回来（用

S (0)

定常数），积分过的求导回来。

第四步：写明和函数成立的范围，端点要单独验。

例例. 求

n = 1 \sum \infty n x^{n - 1}

的和函数（

∣ x ∣ < 1

）。

第一步，系数里有

n

\Rightarrow

先积分。

第二步，逐项积分，化成等比级数：

\int_{0}^{x} n = 1 \sum \infty n t^{n - 1} d t = n = 1 \sum \infty x^{n} = \frac{x}{1 - x} .

第三步，走回去：积分过的要求导回来，

S (x) = (\frac{x}{1 - x})^{'} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}} .

第四步，成立范围

∣ x ∣ < 1

；端点

x = \pm 1

处通项不趋于零，不在收敛域内。

口诀：有 $n$ 先积分，有 $\frac{1}{n}$ 先求导——两种做法的目标是同一个，把系数磨平成

\sum x^{n}

。

处理收敛域

第一步：从基本式的收敛条件出发（如

∣ t ∣ < 1

）。

第二步：换元后把条件翻译成关于

x

的不等式并解出来。

第三步：逐项求导或积分后，半径不变，但端点重新判。

第四步：答案里把区间写全，端点的开闭要准。

例例. 求

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n}

的和函数与收敛域。

第一步，基本式是

\sum t^{n}

，条件

∣ t ∣ < 1

。

第二步，这里

t = x

，条件就是

∣ x ∣ < 1

。

第三步，系数有

\frac{1}{n}

\Rightarrow

先求导：

S^{'} (x) = \sum x^{n - 1} = \frac{1}{1 - x}

。再积回去（

S (0) = 0

定常数）：

S (x) = \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 - t} = - ln (1 - x) .

逐项求导或积分半径不变，端点要重判。

第四步，

x = 1

发散；

x = - 1

时交错调和级数收敛，

S (- 1) = - ln 2

。所以收敛域

[- 1, 1)

，和函数在整个

[- 1, 1)

上成立。

顺带白捡一个常用结论：

n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = ln 2

。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

展开式背了却不记收敛域

\frac{1}{1 - x} = \sum x^{n}

只在

∣ x ∣ < 1

上成立，
在

x = 2

处写这个等式是错的。

五个基本式里三个在整条实轴上成立，两个只在

(- 1, 1)

附近。

背公式时把收敛域一起背，答题时一并写出。

换元后忘了重新解收敛域

t = - x^{2}

时

∣ t ∣ < 1

变成

∣ x ∣ < 1

；若换的是

t = 2 x

，就变成

∣ x ∣ < \frac{1}{2}

。

直接抄基本式的区间是错的。

换元之后立刻解一次不等式，再往下走。

求和时走到一半就收工

求导之后得到

\frac{1}{1 - x}

，那是

S^{'} (x)

不是

S (x)

。

必须积分回去，并用

S (0)

定出常数。

症状：答案是

\frac{1}{1 - x}

而题目问的是

\sum \frac{x ^{n}}{n}

的和。

以为端点也跟着求导积分不变

定理保证的是半径不变，端点可能得而复失。

\sum \frac{x ^{n}}{n}

在

x = - 1

收敛，求导后在该点发散。

端点永远要单独判一次，不管前面做了什么操作。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 背五个式子

练 1

e^{x}

的麦克劳林级数是 ________。

练 2

\frac{1}{1 - x} = \sum x^{n}

成立要求

∣ x ∣ <

________。

练 3

泰勒公式与泰勒级数的区别是（）。

A没有区别
B级数的精度更低
C公式是有限项带余项，级数是无穷项且要求余项趋于零
D公式只对多项式成立

练 4

sin x

的展开式只含

x

的 ________ 次幂（填「奇」或「偶」）。

第二组 · 间接展开

练 5

\frac{1}{1 + x ^{2}}

的幂级数展开式是 ________（

∣ x ∣ < 1

）。

练 6

ln (1 + x)

的幂级数展开式的收敛域是 ________。

练 7

把

arctan x

展开成幂级数，最快的办法是（）。

A逐个求 $f^{(n)} (0)$ 并找通项
B用洛必达法则
C没有办法展开
D先展开 $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ ，再逐项积分

练 8

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n}

（

∣ x ∣ < 1

）的和函数是 ________。

第三组 · 求和与端点

练 9

求和时若系数里含

\frac{1}{n}

，第一步应当（）。

A逐项积分
B逐项求导
C换元
D两边平方

练 10

n = 1 \sum \infty n x^{n}

（

∣ x ∣ < 1

）的和函数是 ________。

练 11

幂级数逐项求导后，收敛半径（）。

A不变，但端点的敛散性可能改变
B一定变大
C一定变小
D完全无法确定

练 12

e^{x}

的幂级数展开式对

x

的取值范围是 ________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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