函数展开成幂级数与幂级数求和

§6.5 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

2.81 分/卷近 11 年平均

8/11 年出现年份

2.8 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）幂级数及其收敛域泰勒公式

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 六个必须熟记的麦克劳林展开式（连同收敛域）： $e^{x}, sin x, cos x, \frac{1}{1 - x}, ln (1 + x), (1 + x)^{α}$ ★★ 必会

间接展开与求和所用的材料就是下面六条，必须连同收敛域一起熟记：

①

e^{x} = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots, x \in (- \infty, + \infty)

②

sin x = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )!} x^{2 n + 1} = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots, x \in (- \infty, + \infty)

③

cos x = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n )!} x^{2 n} = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots, x \in (- \infty, + \infty)

④

\frac{1}{1 - x} = n = 0 \sum \infty x^{n} = 1 + x + x^{2} + \dots, x \in (- 1, 1)

；把

x \to - x

代入，得

\frac{1}{1 + x} = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} x^{n}, x \in (- 1, 1)

⑤

ln (1 + x) = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} x^{n} = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots, x \in (- 1, 1]

（包含右端点：取

x = 1

得

ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \dots

）

⑥

(1 + x)^{α} = 1 + n = 1 \sum \infty \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n}, x \in (- 1, 1)

（端点处的敛散性由

α

而定；当

α

为正整数时，它化为二项式定理的有限和）

各式之间的联系：② 与 ③ 是把 ① 按奇偶次项拆分

+

交错变号而得（

sin

取奇次项，从

x

起；

cos

取偶次项，从

1

起）；④ 是几何级数求和；⑤ 是

\frac{1}{1 + x}

的逐项积分（幂次升高到

n

，并多除一个

n

，收敛域并入右端点

x = 1

）；⑥ 以 ④ 为特例（取

α = - 1

并把

x \to - x

代入）。这里最容易出错的是：符号因子究竟是

(- 1)^{n}

还是

(- 1)^{n - 1}

，这取决于求和的起始下标。动笔之前先代入第一个

n

值核对首项。

证明 / 推导

以 ① 为例给出直接展开的完整论证（其余各式同法可证，或由 ① 与 ④ 导出）：

f (x) = e^{x}

的各阶导数仍是

e^{x}

，故

f^{(n)} (0) = 1

，麦克劳林系数为

\frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} = \frac{1}{n !}

。对任意固定的

x

，拉格朗日余项（

ξ

介于

0

与

x

之间）

∣ R_{n} (x) ∣ = \frac{e ^{ξ}}{( n + 1 )!} x^{n + 1} \leq e^{∣ x ∣} \cdot \frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!} \to 0 (n \to \infty),

因为

\frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}

是收敛级数

\sum \frac{∣ x ∣ ^{n}}{n !}

的通项，必趋于零。只有余项趋于零，级数才真正收敛于

e^{x}

本身。这一步不可省略（见后面关于

e^{- 1/ x^{2}}

的反例一条）。

④ 不必考虑余项：几何级数的部分和

k = 0 \sum n x^{k} = \frac{1 - x ^{n + 1}}{1 - x} ∣ x ∣ < 1 \frac{1}{1 - x}

，可直接由定义验证。

■

举例说明

真题（数三 2018） 已知

cos 2 x - \frac{1}{( 1 + x ) ^{2}} = n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} (- 1 < x < 1)

，求

a_{n}

。

解. 把两部分分别按上面六个展开式展开，再比较系数。
$cos 2 x$ （用 ③，

x \to 2 x

）：

cos 2 x = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n )!} (2 x)^{2 n} = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} 4 ^{n}}{( 2 n )!} x^{2 n}

（只含偶次幂）。
$\frac{1}{( 1 + x ) ^{2}}$ （由 ④ 求导，或 ⑥ 取

α = - 2

）：

\frac{1}{( 1 + x ) ^{2}} = (- \frac{1}{1 + x})^{'} = (- \sum (- 1)^{n} x^{n})^{'} = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} (n + 1) x^{n}

。
于是

a_{n} x^{n}

的系数： $n$ 为奇数时

cos 2 x

无贡献，

a_{n} = - (- 1)^{n} (n + 1) = n + 1

； $n$ 为偶数（

n = 2 m

）时

a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{m} 4 ^{m}}{( 2 m )!} - (n + 1) = \frac{( - 1 ) ^{n /2} 2 ^{n}}{n !} - n - 1

。

容易出错之处：

\frac{1}{( 1 + x ) ^{2}}

的展开式中的符号是

(- 1)^{n} (n + 1)

，与前面的减号相叠加，奇数项的系数变为

+ (n + 1)

；

cos 2 x

中要记得把

x \to 2 x

代入，从而产生

4^{n}

这个因子，漏乘是常见的失分之处。

2. 泰勒级数收敛于原函数 $⟺$ 余项 $R_{n} (x) \to 0$ ：仅有各阶导数还不够，反例是 $e^{- 1/ x^{2}}$ ★ 要懂

f

有任意阶导数，只能保证可以写出泰勒级数，并不能保证这个级数等于

f

。等号成立的充要条件是拉格朗日余项

R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - x_{0})^{n + 1} \to 0

。一个经典的反例是

f (x) = e^{- 1/ x^{2}}

（

f (0) = 0

）在

x = 0

处各阶导数全为 $0$ ，它的麦克劳林级数为

0 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^{2} + \dots \equiv 0

，除

x = 0

外都不等于

f (x) > 0

。这说明泰勒级数可能收敛，但收敛到另外一个函数，判断的依据只能是余项。

e^{x}, sin x, cos x

能在整个数轴上展开，正是因为它们的余项一致趋于零。

证明 / 推导

证. 对

f (x) = e^{- 1/ x^{2}} (x \neq = 0), f (0) = 0

，证

f^{(n)} (0) = 0

。当

x \neq = 0

时，用归纳法可知

f^{(n)} (x) = P_{n} (1/ x) e^{- 1/ x^{2}}

，

P_{n}

是多项式。在

x = 0

处用定义并令

t = 1/ x \to \infty

，得

f^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{e ^{- 1/ x^{2}} - 0}{x} = t \to \infty lim t e^{- t^{2}} = 0,

这是因为指数衰减快于任何多项式的增长。同样用归纳法可得

f^{(n)} (0) = lim_{t \to \infty} P_{n} (t) t e^{- t^{2}} = 0

。故它的麦克劳林级数

\sum \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n} \equiv 0

，而

f (x) > 0 (x \neq = 0)

，级数不收敛于

f

。这就是余项不趋于零（

R_{n} (x) = f (x) \neq \to 0

）所造成的结果。

■

3. 间接展开法：利用已知展开式并逐项求导或积分，每一步都要追踪收敛域★★ 必会

直接法要逐阶求导并验证余项，十分繁琐，因此实际上几乎都用间接法：以上面六个展开式为材料，经过代换、四则运算以及逐项求导或积分得出所求的展开式。这样做的依据是幂级数在收敛区间内可以逐项求导与逐项积分，且收敛半径不变。最典型的做法是从

\frac{1}{1 + t}

或

\frac{1}{1 + t ^{2}}

出发，积分得到

ln (1 + x)

、

arctan x

。必须注意三点：(1) 代换会改变收敛范围（例如

t \to - x^{2}

等），要同时更新；(2) 积分或求导以后，端点处的敛散性可能改变，要单独判别；(3) 积分从

0

到

x

，利用

f (0)

确定积分常数。

举例说明

真题（数三 1995） 将

y = ln (1 - x - 2 x^{2})

展成

x

的幂级数，并指出收敛区间。

解. 用间接法：先因式分解，把对数拆成两个

ln (1 + \cdot)

之和，再分别用 ⑤。

1 - x - 2 x^{2} = (1 + x) (1 - 2 x) \Rightarrow y = ln (1 + x) + ln (1 - 2 x) .

由

ln (1 + t) = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} t^{n}

：

ln (1 + x) = \sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} x^{n} (- 1 < x \leq 1)

；代

t = - 2 x

得

ln (1 - 2 x) = - \sum \frac{2 ^{n}}{n} x^{n} (- \frac{1}{2} \leq x < \frac{1}{2})

。两式相加，得

ln (1 - x - 2 x^{2}) = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1} - 2 ^{n}}{n} x^{n} .

收敛区间取二者的交集：

(- 1, 1] \cap [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

。

容易出错之处：代换

t = - 2 x

会把收敛范围压缩到

∣ x ∣ < \frac{1}{2}

，两部分的收敛域必须取交集；因式分解的作用是把一个对数化成已知展开式之和，

ln (1 - x - 2 x^{2})

本身不能直接展开。

4. 幂级数求和：用逐项求导或积分消去系数中的 $n$ 与 $\frac{1}{n}$ ，化为几何级数，再作反运算还原★★ 必会

求和函数的一般方法：先求收敛域，再用逐项求导（消去分母中的

\frac{1}{n}

、

\frac{1}{n + 1}

）或逐项积分（消去分子中的

n

），把级数化成容易辨认的几何级数

\frac{1}{1 - x}

或它的导数、原函数，最后作反运算还原。两个必须掌握的式子是：

\sum_{n \geq 1} n x^{n - 1} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}

、

\sum_{n \geq 1} \frac{x ^{n}}{n} = - ln (1 - x)

。含

n^{2}

、

n (n - 1)

的系数则要求两次导。还原时必须核对起始项、积分常数以及 $x = 0$ 处的值。

举例说明

真题（数三 2014） 求幂级数

n = 0 \sum \infty (n + 1) (n + 3) x^{n}

的收敛域及和函数。

解. 收敛域：

n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = lim \frac{( n + 2 ) ( n + 4 )}{( n + 1 ) ( n + 3 )} = 1

，

R = 1

；当

x = \pm 1

时通项

(n + 1) (n + 3) \neq \to 0

，级数发散，故收敛域为

(- 1, 1)

。
求和：把系数拆成与几何级数的导数相对应的形式

(n + 1) (n + 3) = (n + 1) (n + 2) + (n + 1)

。由

n = 0 \sum \infty x^{n + 2} = \frac{x ^{2}}{1 - x}

两次求导得

\sum (n + 1) (n + 2) x^{n} = (\frac{x ^{2}}{1 - x})^{''} = \frac{2}{( 1 - x ) ^{3}}

；一次求导得

\sum (n + 1) x^{n} = (\frac{x}{1 - x})^{'} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}

。两式相加，得

S (x) - 1 = \frac{2}{( 1 - x ) ^{3}} + \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}} = \frac{2 + ( 1 - x )}{( 1 - x ) ^{3}} = \frac{3 - x}{( 1 - x ) ^{3}} < x < 1.

容易出错之处：当系数是

n

的多项式时，把它拆成 $(n + 1) (n + 2) \dots$ 的组合，再对几何级数逐次求导，最为简便；求导不改变收敛半径，但和函数只在开区间

(- 1, 1)

内成立。

5. 数项级数求和的母函数法：把常数换成变量得到函数，再在特定点取值★ 要懂

许多数项级数

\sum c_{n}

本身不易求和，但如果把它看成幂级数

S (x) = \sum c_{n} x^{n}

在某点

x_{0}

处的值

S (x_{0})

，那么就可以借助微积分的方法求出：先用逐项求导或积分求出它的闭合表达式

S (x)

，再代入

x = x_{0}

。这种方法的要点是把一个固定的数换成变量，从而可以对它求导与积分。如果

x_{0}

恰好是收敛区间的端点，那么还须用阿贝尔第二定理（端点处收敛时和函数单侧连续）取极限，以保证代入的合法性。

举例说明

真题（数三 2000） 设

I_{n} = \int_{0}^{π /4} sin^{n} x cos x d x (n = 0, 1, 2, \dots)

，求

n = 0 \sum \infty I_{n}

。

解. 先求通项（凑微分

cos x d x = d (sin x)

）：

I_{n} = \int_{0}^{π /4} sin^{n} x d (sin x) = \frac{sin ^{n + 1} x}{n + 1}_{0}^{π /4} = \frac{1}{n + 1} (\frac{2}{2})^{n + 1} .

于是

n = 0 \sum \infty I_{n} = n = 0 \sum \infty \frac{1}{n + 1} (\frac{2}{2})^{n + 1}

。作母函数

S (x) = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}

：逐项求导得

S^{'} (x) = \sum x^{n} = \frac{1}{1 - x}

，且

S (0) = 0

，积分得

S (x) = - ln (1 - x) (- 1 \leq x < 1)

。取

x = \frac{2}{2}

：

n = 0 \sum \infty I_{n} = - ln (1 - \frac{2}{2}) = ln (2 + 2) .

容易出错之处：数项级数不易直接求和时，把常数

(\frac{2}{2})^{n + 1}

中的底数换成变量

x

，得到幂级数

S (x)

，求出闭合表达式，再代回特定的点，这就是母函数法。最后一步

- ln (1 - \frac{2}{2}) = ln \frac{2}{2 - 2} = ln (2 + 2)

要会化简。

💡 小知识

把

e^{x}

、

cos x

、

sin x

三行幂级数并排写下来，再令

x = i θ

，三行会严丝合缝地拼成

e^{i θ} = cos θ + i sin θ

。接着代入

θ = π

，就得到那个常被称为最美公式的

e^{i π} + 1 = 0

。指数、三角与虚数之间的关系，就这样被幂级数摆到了同一张纸上。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 将函数

f (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}

展开成

x

的幂级数，并指出收敛区间。难度 1

利用基本展开式

\frac{1}{1 - t} = n = 0 \sum \infty t^{n} (∣ t ∣ < 1)

。令

t = - x^{2}

：

\frac{1}{1 + x ^{2}} = \frac{1}{1 - ( - x ^{2} )} = n = 0 \sum \infty (- x^{2})^{n} = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} x^{2 n} .

收敛条件为

∣ - x^{2} ∣ < 1

，即

∣ x ∣ < 1

，故收敛区间为

(- 1, 1)

。要点：间接展开的核心是把目标凑成

\frac{1}{1 - t}

的形式再代换，代换会改变收敛范围，需重新确定。

例 2 将函数

f (x) = e^{2 x}

展开成

x

的幂级数，并指出收敛区间。难度 1

利用基本展开式

e^{u} = n = 0 \sum \infty \frac{u ^{n}}{n !} (u \in R)

。令

u = 2 x

：

e^{2 x} = n = 0 \sum \infty \frac{( 2 x ) ^{n}}{n !} = n = 0 \sum \infty \frac{2 ^{n}}{n !} x^{n} .

由于

e^{u}

的展开对一切实数成立，故收敛区间为

(- \infty, + \infty)

。

例 3 求幂级数

n = 1 \sum \infty n x^{n}

的和函数

S (x)

（

∣ x ∣ < 1

），并由此求数项级数

n = 1 \sum \infty \frac{n}{2 ^{n}}

的和。难度 2

第一步：求和函数。 从几何级数

n = 0 \sum \infty x^{n} = \frac{1}{1 - x} (∣ x ∣ < 1)

两边逐项求导：

n = 1 \sum \infty n x^{n - 1} = (\frac{1}{1 - x})^{'} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}} .

两边乘

x

，得

S (x) = n = 1 \sum \infty n x^{n} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}, ∣ x ∣ < 1.

第二步：代值求数项级数。 注意

n = 1 \sum \infty \frac{n}{2 ^{n}} = S (\frac{1}{2})

，代入

x = \frac{1}{2}

：

n = 1 \sum \infty \frac{n}{2 ^{n}} = \frac{1/2}{( 1 - 1/2 ) ^{2}} = \frac{1/2}{1/4} = 2.

要点：数项级数求和的「母函数法」——把常数升格为幂级数，求出和函数再代特定点。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

已知函数

f (x)

满足

f (x) = \frac{1}{( 2 - x ) ^{2}} - \int_{0}^{1} f (x) d x

，将

f (x)

展开成

x

的幂级数。

2024 年 · 数三 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

已知幂级数

n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}

的和函数为

ln (2 + x)

，则

n = 0 \sum \infty n a_{2 n} =

（　　）。

A $- \frac{1}{6}$
B $- \frac{1}{3}$
C $\frac{1}{6}$
D $\frac{1}{3}$

2023 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

n = 0 \sum \infty \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!} =

______。

2022 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 12 分

求幂级数

n = 0 \sum \infty \frac{( - 4 ) ^{n} + 1}{4 ^{n} ( 2 n + 1 )} x^{2 n}

的收敛域及和函数

S (x)

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

函数

\frac{1}{1 - x}

的幂级数展开

n = 0 \sum \infty x^{n}

的收敛区间是

A $(- 1, 1)$
B $(- 1, 1]$
C $[- 1, 1]$
D $(- \infty, + \infty)$

练习 2 · 选择题

sin x

的麦克劳林展开式是

A $n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$
B $n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n )!}$
C $n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !}$
D $n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1} x ^{n}}{n}$

练习 3 · 填空题

将

e^{- x}

展开成

x

的幂级数，则

x^{n}

项的系数为 ____。

练习 4 · 填空题

数项级数

n = 1 \sum \infty \frac{n}{3 ^{n}}

的和为 ____。

练习 5 · 选择题

幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n}

的和函数是（

∣ x ∣ < 1

）

A $- ln (1 - x)$
B $ln (1 + x)$
C $\frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$
D $ln (1 - x)$

练习 6 · 选择题

设

f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 5 x + 6}

，则

f^{(n)} (0) =

（　　）（

n \geq 0

）。

A $\frac{1}{2 ^{n + 1}} - \frac{1}{3 ^{n + 1}}$
B $n! (\frac{1}{2 ^{n + 1}} - \frac{1}{3 ^{n + 1}})$
C $n! (\frac{1}{3 ^{n + 1}} - \frac{1}{2 ^{n + 1}})$
D $n! (\frac{1}{2 ^{n}} - \frac{1}{3 ^{n}})$

练习 7 · 填空题

将

f (x) = ln (x^{2} + 3 x + 2)

展开成

x

的幂级数，则当

n \geq 1

时

x^{n}

项的系数为 ____。

练习 8 · 解答题

设幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n ( n + 1 )} .

(1) 求它的收敛域；

(2) 求它的和函数

S (x)

（注意在

x = 0

及收敛域端点处的取值）；

(3) 求数项级数

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 1 ) 2 ^{n}}

的和。

2021 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 12 分

设

n

为正整数，

y = y_{n} (x)

是微分方程

x y^{'} - (n + 1) y = 0

满足条件

y_{n} (1) = \frac{1}{n ( n + 1 )}

的解。

（Ⅰ）求

y_{n} (x)

；（Ⅱ）求级数

n = 1 \sum \infty y_{n} (x)

的收敛域及和函数。

2018 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 10 分

已知

cos 2 x - \frac{1}{( 1 + x ) ^{2}} = n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} (- 1 < x < 1)

，求

a_{n}

。

函数展开成幂级数与幂级数求和

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 六个必须熟记的麦克劳林展开式（连同收敛域）：ex, sinx, cosx, 1−x1​, ln(1+x), (1+x)α★★ 必会

2. 泰勒级数收敛于原函数 ⟺ 余项 Rn​(x)→0：仅有各阶导数还不够，反例是 e−1/x2★ 要懂

3. 间接展开法：利用已知展开式并逐项求导或积分，每一步都要追踪收敛域★★ 必会

4. 幂级数求和：用逐项求导或积分消去系数中的 n 与 n1​，化为几何级数，再作反运算还原★★ 必会

5. 数项级数求和的母函数法：把常数换成变量得到函数，再在特定点取值★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 六个必须熟记的麦克劳林展开式（连同收敛域）： $e^{x}, sin x, cos x, \frac{1}{1 - x}, ln (1 + x), (1 + x)^{α}$ ★★ 必会

2. 泰勒级数收敛于原函数 $⟺$ 余项 $R_{n} (x) \to 0$ ：仅有各阶导数还不够，反例是 $e^{- 1/ x^{2}}$ ★ 要懂

4. 幂级数求和：用逐项求导或积分消去系数中的 $n$ 与 $\frac{1}{n}$ ，化为几何级数，再作反运算还原★★ 必会