幂级数及其收敛域

§6.4 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

3.33 分/卷近 11 年平均

7/11 年出现年份

4.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）正项级数的判别法交错级数与绝对/条件收敛③ 掌握后可解锁函数展开成幂级数与幂级数求和

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 阿贝尔定理的完整证明（收敛与发散两部分）及收敛半径的存在性

幂级数的收敛域必为一个关于中心对称的区间，其理论依据就是阿贝尔定理。它包含两部分：收敛部分指出，若级数在

x_{1} \neq = 0

处收敛，则在一切满足

∣ x ∣ < ∣ x_{1} ∣

的点处绝对收敛；发散部分指出，若级数在

x_{2}

处发散，则在一切满足

∣ x ∣ > ∣ x_{2} ∣

的点处发散（发散部分其实是收敛部分的逆否命题）。有了这条定理，对使级数收敛的一切

∣ x ∣

取上确界，便得到收敛半径

R

：当

∣ x ∣ < R

时绝对收敛，当

∣ x ∣ > R

时发散。证明中的主要手法是：级数在一点收敛

\Rightarrow

通项有界

\Rightarrow

用几何级数控制离中心更近的点。

证明 / 推导

收敛部分：设

\sum a_{n} x_{1}^{n}

收敛，则通项

a_{n} x_{1}^{n} \to 0

，因而有界，即

\exists M, ∣ a_{n} x_{1}^{n} ∣ \leq M

。对满足

∣ x ∣ < ∣ x_{1} ∣

的点，记

q = ∣ x / x_{1} ∣ < 1

，则

∣ a_{n} x^{n} ∣ = ∣ a_{n} x_{1}^{n} ∣ \frac{x}{x _{1}}^{n} \leq M q^{n},

而

\sum M q^{n}

（它是几何级数，

q < 1

）收敛，故由比较判别法知

\sum a_{n} x^{n}

绝对收敛。
发散部分：设

\sum a_{n} x_{2}^{n}

发散。若在某个满足

∣ x ∣ > ∣ x_{2} ∣

的点处收敛，则由收敛部分，在

∣ x_{2} ∣ < ∣ x ∣

之处应绝对收敛，这与级数在

x_{2}

处发散相矛盾，故在

∣ x ∣ > ∣ x_{2} ∣

之处发散。
存在性：令

E = {∣ x ∣ : \sum a_{n} x^{n} 收敛}

（它含有

0

），并取

R = sup E \in [0, + \infty]

。若

∣ x ∣ < R

，则由上确界的性质，存在

x_{1}

，使

∣ x ∣ < ∣ x_{1} ∣ \leq R

且级数在

x_{1}

处收敛，故在

x

处绝对收敛；若

∣ x ∣ > R

，则

∣ x ∣ \in / E

，级数发散。

■

2. 收敛半径公式的由来：对幂级数的通项使用比值判别法或根值判别法★ 要懂

公式

R = lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}}

与

R = 1/ lim n ∣ a_{n} ∣

并非凭空而来，它们是对幂级数的通项

u_{n} = a_{n} x^{n}

直接使用比值判别法或根值判别法解出来的。以比值判别法为例：级数绝对收敛要求相邻两项之比的极限

< 1

，由此得到一个关于

∣ x ∣

的不等式，解之即得

∣ x ∣ < R

；而边界

∣ x ∣ = R

恰好对应判别法失效的情形

ρ = 1

，这就说明了端点为什么必须单独判定。还须注意公式的方向：在比值式中

a_{n}

位于分子（

R = lim ∣ a_{n} / a_{n + 1} ∣

），也可以先算出

ρ = lim ∣ a_{n + 1} / a_{n} ∣

，再取

R = 1/ ρ

，切勿颠倒。

证明 / 推导

对

u_{n} = a_{n} x^{n}

（设

a_{n} \neq = 0

）用比值判别法，考察

n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} ρ = n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} ∣ x ∣ = ρ ∣ x ∣ = lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} .

绝对收敛要求

ρ ∣ x ∣ < 1

，即

∣ x ∣ < \frac{1}{ρ}

；而当

ρ ∣ x ∣ > 1

即

∣ x ∣ > \frac{1}{ρ}

时，通项不趋于零，级数发散。故收敛半径

R = \frac{1}{ρ} = lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}}

（当

ρ = 0

时

R = + \infty

，当

ρ = + \infty

时

R = 0

）。对根值判别法同理，由

lim n ∣ u_{n} ∣ = ∣ x ∣ lim n ∣ a_{n} ∣ < 1

得

R = 1/ lim n ∣ a_{n} ∣

。

■

3. 缺项幂级数不能套用系数公式，必须对整个通项使用比值判别法或根值判别法★★ 必会

形如

\sum a_{n} x^{2 n}

、

\sum a_{n} x^{3 n + 1}

的缺项幂级数，其真实的系数序列中含有大量的

0

（例如奇次项的系数为

0

）。此时

\frac{a _{n}}{a _{n + 1}}

会出现

\frac{0}{0}

或

\frac{数}{0}

而没有意义，套用系数公式必然出错。正确的做法是把

x

看作参数，对完整的通项 $u_{n} (x)$ 直接使用比值判别法（或根值判别法），令极限

< 1

解出

x

的范围，再由该范围的半宽读出收敛半径。数学三的选择题与填空题常在此处设置陷阱。

举例说明

真题（数三 1992） 求级数

n = 1 \sum \infty \frac{( x - 2 ) ^{2 n}}{n 4 ^{n}}

的收敛域。

解. 这是关于

(x - 2)

的缺项幂级数（只含偶次幂），系数序列中有无穷多个

0

，不能套用系数公式，必须对完整的通项使用比值判别法：

n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = n \to \infty lim \frac{( x - 2 ) ^{2}}{4} \cdot \frac{n}{n + 1} = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{4} .

令

\frac{( x - 2 ) ^{2}}{4} < 1

，得

∣ x - 2∣ < 2

，即

0 < x < 4

。端点须单独判定：当

x = 0

或

x = 4

时

(x - 2)^{2 n} = 4^{n}

，级数化为

\sum \frac{4 ^{n}}{n 4 ^{n}} = \sum \frac{1}{n}

，它是调和级数，故发散。因此收敛域为

(0, 4)

。

容易出错之处：若把缺项幂级数硬当作

\sum a_{m} t^{m}

而套用

R = lim ∣ a_{m} / a_{m + 1} ∣

，就会因奇次项系数为

0

而出现

\frac{数}{0}

，从而出错；正确的做法是把

(x - 2)^{2}

看作一个整体，对

u_{n} (x)

直接使用比值判别法或根值判别法。

4. 端点的判定：三种结果都可能出现；逐项求导或逐项积分后端点的敛散性会改变，而半径不变★★ 必会

收敛区间是开区间

(x_{0} - R, x_{0} + R)

，两个端点必须分别代入原级数，用常数项级数的方法逐一判定，其结果可能是绝对收敛、条件收敛或发散，三种情形都很常见，只写出开区间是要失分的。更须注意：和函数在收敛区间内可以逐项求导与逐项积分，且收敛半径 $R$ 不变，但端点处的敛散性可能改变。逐项积分通常使端点处的收敛性变好（因为分母多出一个因子

n

），逐项求导则使之变坏。所以对求导或积分以后的新级数，端点必须重新判定，不能沿用原级数的结论。

证明 / 推导

逐项求导不改变收敛半径. 设

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

的收敛半径为

R

，逐项求导所得的级数

\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}

的收敛半径为

R^{'}

。下面证明

R^{'} = R

。

先证 $R^{'} \geq R$ . 设

0 < ∣ x ∣ < R

，取定

r

使

∣ x ∣ < r < R

。因

r < R

，级数

\sum a_{n} r^{n}

收敛，其通项趋于零，因而有界，即存在

M > 0

使

∣ a_{n} ∣ r^{n} \leq M

。记

q = \frac{∣ x ∣}{r}

，则

0 < q < 1

，且

n ∣ a_{n} ∣∣ x ∣^{n - 1} = n \cdot \frac{∣ a _{n} ∣ r ^{n}}{r} \cdot \frac{∣ x ∣ ^{n - 1}}{r ^{n - 1}} \leq \frac{M}{r} n q^{n - 1} .

对

\sum n q^{n - 1}

用比值判别法，

\frac{( n + 1 ) q ^{n}}{n q ^{n - 1}} = \frac{n + 1}{n} q \to q < 1

，故它收敛。再由比较判别法，

\sum n a_{n} x^{n - 1}

绝对收敛。而在

x = 0

处级数显然收敛。由于

x

是

(- R, R)

内的任意一点，所以

R^{'} \geq R

。

再证 $R^{'} \leq R$ . 设

0 < ∣ x ∣ < R^{'}

，则

\sum n ∣ a_{n} ∣∣ x ∣^{n - 1}

收敛。当

n \geq 1

时

∣ a_{n} x^{n} ∣ = ∣ x ∣ \cdot ∣ a_{n} ∣∣ x ∣^{n - 1} \leq ∣ x ∣ \cdot n ∣ a_{n} ∣∣ x ∣^{n - 1}

，由比较判别法知

\sum a_{n} x^{n}

绝对收敛，故

R \geq R^{'}

。

两方面合起来得

R^{'} = R

。至于逐项积分所得的级数

\sum \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1}

，对它逐项求导恰好还原成原级数。由已证的结论，它的收敛半径也是

R

。这就证明了求导与积分都不改变收敛半径。

为什么端点不能沿用这个结论. 上面的估计中取了

r

使

∣ x ∣ < r < R

，这要求

∣ x ∣

严格小于

R

。在端点处

∣ x ∣ = R

，这样的

r

不存在，比较判别法用不上。所以半径相同这一结论在端点处不提供任何信息。求导或积分以后的级数在端点处必须重新判定。

■

举例说明

考察

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n}

。其系数为

a_{n} = \frac{1}{n}

，故

R = lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}} = lim \frac{n + 1}{n} = 1

。再判定端点：当

x = 1

时得

\sum \frac{1}{n}

，它发散；当

x = - 1

时得

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

，它条件收敛。故收敛域为

[- 1, 1)

。
逐项求导，得

\sum_{n = 1}^{\infty} x^{n - 1} = \frac{1}{1 - x}

，此时

R

仍为

1

，但两个端点

x = \pm 1

处都发散（通项不趋于零），收敛域缩为

(- 1, 1)

。原来在

x = - 1

处收敛，现在变为发散，可见求导使端点处的收敛性变坏。
逐项积分原级数，得

\sum \frac{x ^{n + 1}}{n ( n + 1 )}

，此时

R = 1

，而在

x = \pm 1

处都绝对收敛（通项

\sim \frac{1}{n ^{2}}

），收敛域扩为

[- 1, 1]

，可见积分使端点处的收敛性变好。

💡 小知识

函数

\frac{1}{1 + x ^{2}}

在整条实轴上都光滑，可它的幂级数

\sum (- 1)^{n} x^{2 n}

只在

∣ x ∣ < 1

内收敛，仿佛在

x = \pm 1

处撞上了一堵看不见的墙。答案在复平面上：它在

x = \pm i

处有奇点，到原点的距离恰好是

1

。收敛半径量的其实是到最近奇点的距离，实轴上的反常现象要放到复数里才看得明白。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n}

的收敛域。难度 1

第一步：求收敛半径。 系数

a_{n} = \frac{1}{n}

，

R = n \to \infty lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}} = n \to \infty lim \frac{n + 1}{n} = 1.

收敛区间为

(- 1, 1)

。 第二步：判别端点。 -

x = 1

：级数为

\sum \frac{1}{n}

，调和级数，发散； -

x = - 1

：级数为

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

，由莱布尼茨判别法收敛。故收敛域为

[- 1, 1)

。

例 2 求幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n ^{2}}

的收敛域。难度 1

求收敛半径：

a_{n} = \frac{1}{n ^{2}}

，

R = n \to \infty lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}} = n \to \infty lim \frac{( n + 1 ) ^{2}}{n ^{2}} = 1,

收敛区间

(- 1, 1)

。 判别端点： -

x = 1

：

\sum \frac{1}{n ^{2}}

（

p = 2 > 1

）收敛； -

x = - 1

：

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}

绝对收敛，收敛。两端点都收敛，故收敛域为

[- 1, 1]

。 对比例 1：同为

R = 1

，端点敛散却不同，端点必须逐个单独判定。

例 3 求幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{( x - 2 ) ^{n}}{n \cdot 3 ^{n}}

的收敛域。难度 2

这是以

x_{0} = 2

为中心的幂级数。先求半径，系数

a_{n} = \frac{1}{n 3 ^{n}}

：

R = n \to \infty lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}} = n \to \infty lim \frac{( n + 1 ) 3 ^{n + 1}}{n 3 ^{n}} = n \to \infty lim \frac{3 ( n + 1 )}{n} = 3.

收敛区间

∣ x - 2∣ < 3

，即

- 1 < x < 5

。 判别端点： -

x = 5

：级数为

\sum \frac{3 ^{n}}{n 3 ^{n}} = \sum \frac{1}{n}

，发散； -

x = - 1

：级数为

\sum \frac{( - 3 ) ^{n}}{n 3 ^{n}} = \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

，由莱布尼茨收敛。故收敛域为

[- 1, 5)

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2024 年 · 数三 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

已知幂级数

n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}

的和函数为

ln (2 + x)

，则

n = 0 \sum \infty n a_{2 n} =

（　　）。

A $- \frac{1}{6}$
B $- \frac{1}{3}$
C $\frac{1}{6}$
D $\frac{1}{3}$

2023 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

n = 0 \sum \infty \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!} =

______。

2022 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 12 分

求幂级数

n = 0 \sum \infty \frac{( - 4 ) ^{n} + 1}{4 ^{n} ( 2 n + 1 )} x^{2 n}

的收敛域及和函数

S (x)

2021 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 12 分

设

n

为正整数，

y = y_{n} (x)

是微分方程

x y^{'} - (n + 1) y = 0

满足条件

y_{n} (1) = \frac{1}{n ( n + 1 )}

的解。

（Ⅰ）求

y_{n} (x)

；（Ⅱ）求级数

n = 1 \sum \infty y_{n} (x)

的收敛域及和函数。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{3 ^{n}}

的收敛半径

R =

____。

练习 2 · 填空题

幂级数

n = 1 \sum \infty n x^{n}

的收敛半径

R =

____。

练习 3 · 选择题

幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n}

的收敛域是

A $(- 1, 1)$
B $[- 1, 1]$
C $[- 1, 1)$
D $(- 1, 1]$

练习 4 · 填空题

幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n}}{n} x^{n}

的收敛半径

R =

____。

练习 5 · 选择题

缺项幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{2 n}}{2 ^{n}}

的收敛半径为

A $2$
B $2$
C $1$
D $\frac{1}{2}$

练习 6 · 选择题

已知幂级数

n = 1 \sum \infty a_{n} (x - 1)^{n}

在

x = - 1

处收敛，在

x = 4

处发散。则下列结论中一定正确的是（　）。

A该级数在 $x = 3$ 处收敛
B该级数在 $x = 2$ 处绝对收敛
C该级数在 $x = - 2$ 处发散
D该级数的收敛半径 $R = 3$

练习 7 · 填空题

幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{n !}{n ^{n}} x^{n}

的收敛半径

R =

____。

练习 8 · 解答题

设幂级数

n = 1 \sum \infty a_{n} (x - 2)^{n}

在

x = - 1

处条件收敛。

(1) 求该幂级数的收敛半径

R

与收敛区间，并说明理由；

(2) 判断下列三个数项级数的敛散性（收敛 / 发散 / 由已知条件不能确定），并说明理由：

n = 1 \sum \infty a_{n}, n = 1 \sum \infty (- 2)^{n} a_{n}, n = 1 \sum \infty 3^{n} a_{n};

(3) 取

a_{n} = \frac{1}{n \cdot 3 ^{n}}

，验证它满足题设条件，并求

n = 1 \sum \infty a_{n} (x - 2)^{n}

的收敛域。

2020 年 · 数三 · 第 4 题 · 选择题 · 4 分

设幂级数

n = 1 \sum \infty n a_{n} (x - 2)^{n}

的收敛区间为

(- 2, 6)

，则

n = 1 \sum \infty a_{n} (x + 1)^{2 n}

的收敛区间为（　　）

A $(- 2, 6)$
B $(- 3, 1)$
C $(- 5, 3)$
D $(- 17, 15)$

2017 年 · 数三 · 第 19 题 · 解答题 · 10 分

若

a_{0} = 1, a_{1} = 0, a_{n + 1} = \frac{1}{n + 1} (n a_{n} + a_{n - 1}) (n = 1, 2, 3, \dots)

，

S (x)

为幂级数

n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}

的和函数。

（Ⅰ）证明

n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}

的收敛半径不小于

1

；

（Ⅱ）证明

(1 - x) S^{'} (x) - x S (x) = 0 (x \in (- 1, 1))

，并求

S (x)

的表达式。