交错级数与绝对/条件收敛

§6.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.69 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

2.2 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）常数项级数的概念与性质正项级数的判别法③ 掌握后可解锁幂级数及其收敛域

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 莱布尼茨判别法的严格证明：奇、偶部分和相向逼近，余项不超过第一个被舍去的项★★ 必会

下面给出一个严格的夹逼证明，并指明三个条件（交错、

u_{n}

单调递减、

u_{n} \to 0

）各自起的作用。单调递减保证偶数项部分和

S_{2 n}

递增，奇数项部分和

S_{2 n + 1}

递减，且

S_{2 n} \leq S_{2 n + 1}

（两个数列一升一降，相向逼近）； $u_{n} \to 0$ 保证两者的间隔

S_{2 n + 1} - S_{2 n} = u_{2 n + 1} \to 0

，于是它们收缩到同一极限

S

。由此还得到余项估计

∣ R_{n} ∣ = ∣ S - S_{n} ∣ \leq u_{n + 1}

，即用前

n

项作近似时，误差不超过第一个被舍去的项。这是交错级数作数值估计时常用的结论。

证明 / 推导

设

\sum (- 1)^{n - 1} u_{n}

，

u_{n} > 0

单调递减且

u_{n} \to 0

。先看偶数项部分和：

S_{2 n + 2} - S_{2 n} = u_{2 n + 1} - u_{2 n + 2} \geq 0 \Rightarrow {S_{2 n}} 递增;

再看奇数项部分和：

S_{2 n + 1} - S_{2 n - 1} = - u_{2 n} + u_{2 n + 1} \leq 0 \Rightarrow {S_{2 n + 1}} 递减 .

又

S_{2 n + 1} - S_{2 n} = u_{2 n + 1} > 0

，故

S_{2 n} < S_{2 n + 1} \leq S_{1}

，

{S_{2 n}}

递增且有上界，故收敛于

S

；同理

{S_{2 n + 1}}

递减且有下界，也收敛。再由

S_{2 n + 1} - S_{2 n} = u_{2 n + 1} \to 0

知两个极限相等，故

S_{n} \to S

，级数收敛，且

S

夹在相邻两个部分和之间，得

∣ S - S_{n} ∣ \leq ∣ S_{n + 1} - S_{n} ∣ = u_{n + 1}

。

■

举例说明

真题（数三 2013） 设

{a_{n}}

为正项数列，下列选项正确的是（　　）：(A) 若

a_{n} > a_{n + 1}

，则

\sum (- 1)^{n - 1} a_{n}

收敛；(B) 若

\sum (- 1)^{n - 1} a_{n}

收敛，则

a_{n} > a_{n + 1}

；(C) 若

\sum a_{n}

收敛，则存在

p > 1

使

n \to \infty lim n^{p} a_{n}

存在；(D) 若存在

p > 1

使

n \to \infty lim n^{p} a_{n}

存在，则

\sum a_{n}

收敛。

解. 本题考查对莱布尼茨条件的常见误解。(A) 错：莱布尼茨判别法要求

a_{n} ↓ 0

，即单调递减之外还须有

a_{n} \to 0

；取

a_{n} = \frac{n + 1}{n} ↓ 1 \neq = 0

，通项不趋于零，

\sum (- 1)^{n - 1} a_{n}

发散。(B) 错：交错级数收敛并不要求单调，例如可取

a_{n} = \frac{1}{n} + \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2}}

（它收敛却不单调）。(C) 错：取

a_{n} = \frac{1}{( n + 1 ) ln ^{2} ( n + 1 )}

，由积分判别法知

\sum a_{n}

收敛，但对任何

p > 1

，

n^{p} a_{n} \to + \infty

，极限不存在。(D) 对：当

lim n^{p} a_{n} = A (p > 1)

存在时，

A = 0

时有

0 \leq a_{n} < \frac{1}{n ^{p}}

，

A > 0

时有

a_{n} \sim \frac{A}{n ^{p}}

，两种情形都可由比较判别法与

p

级数（

p > 1

）比较而得收敛。选 D。

易错之处：单调递减与

\to 0

是莱布尼茨判别法的两个独立条件，若缺少

a_{n} \to 0

（如选项 A），判别法立即失效；判断交错级数的敛散性，第一步总是先看

a_{n}

是否趋于零。

2. 绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛的证明，以及它为一般项级数指出的第一条途径★ 要懂

对于既非正项、也不一定交错的一般项级数，首先应当考察它是否绝对收敛：对

\sum ∣ u_{n} ∣

使用正项级数的判别法，只要它收敛，原级数就一定收敛。绝对收敛为什么能推出收敛？关键在于构造

0 \leq u_{n} + ∣ u_{n} ∣ \leq 2∣ u_{n} ∣

：把可能变号的

u_{n}

抬高为非负量，用比较判别法处理之后，再减去

∣ u_{n} ∣

。这条定理的意义在于把一般项级数的问题化归为正项级数的问题，从而可以使用上一节的全部方法（比值、根值、比较、积分）。反过来并不成立：条件收敛的级数收敛，却不绝对收敛。

证明 / 推导

设

\sum ∣ u_{n} ∣

收敛。令

w_{n} = u_{n} + ∣ u_{n} ∣

，则

0 \leq w_{n} \leq 2∣ u_{n} ∣

（当

u_{n} \geq 0

时

w_{n} = 2 u_{n} = 2∣ u_{n} ∣

；当

u_{n} < 0

时

w_{n} = 0

）。由

\sum 2∣ u_{n} ∣

收敛以及比较判别法，知

\sum w_{n}

收敛。又

u_{n} = w_{n} - ∣ u_{n} ∣

，而两个收敛级数之差仍收敛，故

\sum u_{n} = \sum w_{n} - \sum ∣ u_{n} ∣ 收敛 . ■

3. 一般项级数的完整判别次序：先看绝对收敛，再看条件收敛，最后判发散★★ 必会

判断任意项级数是绝对收敛、条件收敛还是发散，按固定的次序进行最不易出错。第一步：对

\sum ∣ u_{n} ∣

使用正项级数的判别法，若收敛，则原级数绝对收敛，判断结束；第二步：若

\sum ∣ u_{n} ∣

发散而原级数是交错级数，则用莱布尼茨判别法，若收敛，则原级数条件收敛；第三步：若

u_{n} \neq \to 0

，则级数发散。有三点必须注意：(1)

\sum ∣ u_{n} ∣

发散并不能推出原级数发散（原级数可能条件收敛）；(2) 莱布尼茨判别法中的单调性不可漏验；(3) 判断单调性可以作差、作商，也可以构造

f (x)

并证明

f^{'} (x) < 0

。

举例说明

真题（数三 2025） 已知

k

为常数，则级数

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} [\frac{1}{n} - ln (1 + \frac{k}{n ^{2}})]

（　　）：(A) 绝对收敛；(B) 条件收敛；(C) 发散；(D) 敛散性与

k

有关。

解. 按上述次序判断。先把级数拆成两个交错级数之差

\sum (- 1)^{n} \frac{1}{n} - \sum (- 1)^{n} ln (1 + \frac{k}{n ^{2}})

。
① 先判绝对收敛：

ln (1 + \frac{k}{n ^{2}}) \sim \frac{∣ k ∣}{n ^{2}}

，故取绝对值后所得的级数与

\sum \frac{1}{n ^{2}}

同时收敛，因此第二个级数绝对收敛；但第一个级数

\sum (- 1)^{n} \frac{1}{n}

取绝对值后是

\sum \frac{1}{n}

，它发散，故原级数不绝对收敛。
② 再判条件收敛：

\sum (- 1)^{n} \frac{1}{n}

由莱布尼茨判别法收敛（因为

\frac{1}{n} ↓ 0

），再加上绝对收敛的第二个级数，二者之差收敛。收敛而不绝对收敛，就是条件收敛，并且与

k

无关。选 B。

易错之处：遇到和式或差式形式的任意项级数，应先按项拆开，对每一部分分别判断是否绝对收敛，再合并。绝对收敛

\pm

条件收敛

=

条件收敛。

ln (1 + u) \sim u

这一等价无穷小，是把第二部分降到

\frac{1}{n ^{2}}

这一量级的关键。

4. 条件收敛的实质：正部与负部各自都发散，靠正负相消才收敛（黎曼重排定理的根源）

条件收敛的级数经过重排以后，为什么可以收敛到任意给定的数，甚至发散（黎曼重排定理）？根源在于下面这个事实：若

\sum u_{n}

条件收敛，则它的正项部分

\sum u_{n}^{+}

与负项部分

\sum u_{n}^{-}

都发散到 $+ \infty$ （

u_{n}^{+} = max (u_{n}, 0), u_{n}^{-} = max (- u_{n}, 0)

）。也就是说，全部正项相加可以趋于

+ \infty

，全部负项相加可以趋于

- \infty

，最终得到有限的和，完全是二者相互抵消的结果。既然正、负两部分都能累积到无穷，那么重新安排取用的次序（多取一些正项、少取一些负项），就能使和趋于任意预定的数。这就是加法交换律对条件收敛级数失效的原因，也是必须区分绝对收敛与条件收敛的理论依据。

证明 / 推导

记

u_{n}^{+} = \frac{∣ u _{n} ∣ + u _{n}}{2} \geq 0, u_{n}^{-} = \frac{∣ u _{n} ∣ - u _{n}}{2} \geq 0

，则

u_{n} = u_{n}^{+} - u_{n}^{-}, ∣ u_{n} ∣ = u_{n}^{+} + u_{n}^{-}

。已知

\sum u_{n}

收敛、

\sum ∣ u_{n} ∣

发散。
用反证法。若

\sum u_{n}^{+}

收敛，则

\sum u_{n}^{-} = \sum (u_{n}^{+} - u_{n}) = \sum u_{n}^{+} - \sum u_{n}

作为两个收敛级数之差也收敛，于是

\sum ∣ u_{n} ∣ = \sum (u_{n}^{+} + u_{n}^{-})

也收敛，这与条件收敛矛盾。故

\sum u_{n}^{+}

发散；同理

\sum u_{n}^{-}

也发散。又二者都是非负的，只能发散到

+ \infty

。

■

推论（黎曼重排的机制）：正部与负部都能累积到无穷，故可先累加正项，直到超过预定的数

A

，再累加负项，直到低于

A

，如此交替进行。由于

u_{n} \to 0

，每次越出的幅度趋于零，故重排后的部分和收敛于预先给定的

A

。

举例说明

真题（数三 2003） 设

p_{n} = \frac{a _{n} + ∣ a _{n} ∣}{2}

，

q_{n} = \frac{a _{n} - ∣ a _{n} ∣}{2}

，则下列命题正确的是（　　）：(A) 若

\sum a_{n}

条件收敛，则

\sum p_{n}, \sum q_{n}

都收敛；(B) 若

\sum a_{n}

绝对收敛，则

\sum p_{n}, \sum q_{n}

都收敛；(C) 若

\sum a_{n}

条件收敛，则

\sum p_{n}, \sum q_{n}

敛散性都不定；(D) 若

\sum a_{n}

绝对收敛，则

\sum p_{n}, \sum q_{n}

敛散性都不定。

解.

p_{n} = \frac{∣ a _{n} ∣ + a _{n}}{2} \geq 0

就是正部

a_{n}^{+}

，

- q_{n} = \frac{∣ a _{n} ∣ - a _{n}}{2} \geq 0

就是负部

a_{n}^{-}

，且

0 \leq p_{n} \leq ∣ a_{n} ∣

、

0 \leq - q_{n} \leq ∣ a_{n} ∣

。
B 对：

\sum a_{n}

绝对收敛即

\sum ∣ a_{n} ∣

收敛，由比较判别法知

\sum p_{n}

、

\sum (- q_{n})

都收敛，从而

\sum q_{n}

收敛。
A 错：这里正用到本节的基本事实。若

\sum a_{n}

条件收敛，则正部

\sum p_{n}

与负部

\sum (- q_{n})

都发散到 $+ \infty$ （否则由

∣ a_{n} ∣ = p_{n} - q_{n}

会推出

\sum ∣ a_{n} ∣

收敛，与条件收敛矛盾）。选 B。

易错之处：绝对收敛

⟺

正部、负部都收敛；条件收敛

⟺

正部、负部都发散（有限的和是由两个无穷部分相消而得，这也是重排能够改变级数和的根源）。

💡 小知识

黎曼重排定理说的是这样一件事：条件收敛的

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots = ln 2

，只要重新安排加法的顺序，就能让和等于

π

、等于

0

，甚至发散到无穷。同一堆数，换个次序相加，结果可以任意指定。加法交换律在无穷级数这里，只对绝对收敛的情形成立。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 用莱布尼茨判别法判别交错级数

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} \frac{1}{n}

的收敛性。难度 1

这是交错级数

\sum (- 1)^{n - 1} u_{n}

，其中

u_{n} = \frac{1}{n} > 0

。逐条验证莱布尼茨的两个条件： 1. 单调递减：

u_{n + 1} = \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n} = u_{n}

，成立； 2. 趋于零：

n \to \infty lim \frac{1}{n} = 0

，成立。故由莱布尼茨判别法，级数收敛。又因取绝对值后

\sum \frac{1}{n}

是发散的调和级数，所以它是条件收敛（和为

ln 2

）。

例 2 判别级数

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{1}{n ^{2}}

是绝对收敛、条件收敛还是发散。难度 1

判别一般项级数，先看绝对值级数：

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{1}{n ^{2}} = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}} .

这是

p = 2 > 1

的

p

级数，收敛。既然绝对值级数收敛，原级数绝对收敛。要点：绝对收敛是最强的收敛，判别时优先尝试——把符号去掉后用正项级数判别法即可。

例 3 判别级数

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} \frac{1}{n}

是绝对收敛、条件收敛还是发散。难度 2

第一步：判断是否绝对收敛。 取绝对值得

\sum \frac{1}{n} = \sum \frac{1}{n ^{1/2}}

，是

p = \frac{1}{2} \leq 1

的

p

级数，发散。故原级数不绝对收敛。 第二步：对交错级数用莱布尼茨。

u_{n} = \frac{1}{n}

：(i) 单调递减

\frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n}

；(ii)

lim \frac{1}{n} = 0

。两条件满足，级数收敛。结论：收敛但不绝对收敛，故为条件收敛。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数三 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

已知

k

为常数，则级数

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} [\frac{1}{n} - ln (1 + \frac{k}{n ^{2}})]

（　　）。

A绝对收敛
B条件收敛
C发散
D敛散性与 $k$ 的取值相关

2023 年 · 数三 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

已知

a_{n} < b_{n} (n = 1, 2, \dots)

。若级数

n = 1 \sum \infty a_{n}

与

n = 1 \sum \infty b_{n}

均收敛，则「

n = 1 \sum \infty a_{n}

绝对收敛」是「

n = 1 \sum \infty b_{n}

绝对收敛」的（　　）。

A充分必要条件
B充分不必要条件
C必要不充分条件
D既不充分也不必要条件

2019 年 · 数三 · 第 4 题 · 选择题 · 4 分

若

n = 1 \sum \infty n u_{n}

绝对收敛，

n = 1 \sum \infty \frac{v _{n}}{n}

条件收敛，则（　　）

A $n = 1 \sum \infty u_{n} v_{n}$ 条件收敛
B $n = 1 \sum \infty u_{n} v_{n}$ 绝对收敛
C $\sum (u_{n} + v_{n})$ 收敛
D $\sum (u_{n} + v_{n})$ 发散

2015 年 · 数三 · 第 4 题 · 选择题 · 4 分

下列级数中发散的是（　　）。

A $n = 1 \sum \infty \frac{n}{3 ^{n}}$ .
B $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n} ln (1 + \frac{1}{n})$ .
C $n = 2 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} + 1}{ln n}$ .
D $n = 1 \sum \infty \frac{n !}{n ^{n}}$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

级数

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} \frac{1}{n}

是

A绝对收敛
B条件收敛
C发散
D无法判断

练习 2 · 选择题

级数

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{1}{n ^{2}}

是

A绝对收敛
B条件收敛
C发散
D无法判断

练习 3 · 填空题

交错级数

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} u_{n}

（

u_{n} > 0

）满足莱布尼茨判别法的条件是：

u_{n}

单调递减，且

n \to \infty lim u_{n} =

____。

练习 4 · 选择题

级数

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} \frac{1}{n}

的敛散性是

A绝对收敛
B条件收敛
C发散
D绝对收敛且和为 $0$

练习 5 · 选择题

下列级数中，属于条件收敛的是

A $n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{1}{n ^{2}}$
B $n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{1}{n}$
C $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n}$
D $n = 1 \sum \infty (- 1)^{n}$

2013 年 · 数三 · 第 4 题 · 选择题 · 4 分

设

{a_{n}}

为正项数列，下列选项正确的是（　　）

A若 $a_{n} > a_{n + 1}$ ，则 $n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} a_{n}$ 收敛.
B若 $n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} a_{n}$ 收敛，则 $a_{n} > a_{n + 1}$ .
C若 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 收敛，则存在常数 $p > 1$ ，使 $n \to \infty lim n^{p} a_{n}$ 存在.
D若存在常数 $p > 1$ ，使 $n \to \infty lim n^{p} a_{n}$ 存在，则 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 收敛.

2012 年 · 数三 · 第 4 题 · 选择题 · 4 分

已知级数

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} n sin \frac{1}{n ^{α}}

绝对收敛，级数

n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2 - α}}

条件收敛，则（　　）。

A $0 < α \leq \frac{1}{2}$
B $\frac{1}{2} < α \leq 1$
C $1 < α \leq \frac{3}{2}$
D $\frac{3}{2} < α < 2$

交错级数与绝对/条件收敛

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 莱布尼茨判别法的严格证明：奇、偶部分和相向逼近，余项不超过第一个被舍去的项★★ 必会

2. 绝对收敛 ⇒ 收敛的证明，以及它为一般项级数指出的第一条途径★ 要懂

3. 一般项级数的完整判别次序：先看绝对收敛，再看条件收敛，最后判发散★★ 必会

4. 条件收敛的实质：正部与负部各自都发散，靠正负相消才收敛（黎曼重排定理的根源）

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛的证明，以及它为一般项级数指出的第一条途径★ 要懂