常数项级数的概念与性质

§6.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.94 分/卷近 11 年平均

6/11 年出现年份

2.8 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）数列的极限③ 掌握后可解锁正项级数的判别法交错级数与绝对/条件收敛

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 级数收敛的定义：部分和 $S_{n}$ 有极限 $S = n \to \infty lim S_{n}$ ，以及线性性质与增删有限项这两条基本性质★★ 必会

设级数

n = 1 \sum \infty u_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots

，记它的部分和为

S_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} = k = 1 \sum n u_{k}

。

① 收敛的定义：如果部分和数列

{S_{n}}

的极限存在，即

n \to \infty lim S_{n} = S

，那么称级数

\sum u_{n}

收敛，并称

S

为级数的和，记作

n = 1 \sum \infty u_{n} = S

；如果

lim S_{n}

不存在（包括趋于

\infty

），那么称级数发散。级数问题实质上是数列极限问题，一切敛散性的判定与求和，最终都归结到

{S_{n}}

上。收敛时

r_{n} = S - S_{n} = u_{n + 1} + u_{n + 2} + \dots

称为余项，且

r_{n} \to 0

。

② 线性性质：若

\sum u_{n} = S, \sum v_{n} = T

都收敛，

α, β

为常数，则

\sum (α u_{n} + β v_{n})

收敛，且和为

α S + β T

；特别地，当

k \neq = 0

时

\sum k u_{n}

与

\sum u_{n}

同敛散。推论（常考）：收敛 $+$ 发散 $=$ 发散；而发散 $+$ 发散则不能确定（例如

\sum \frac{1}{n}

与

\sum (- \frac{1}{n})

逐项相加，得到各项全为零的收敛级数）。

③ 增删（或改变）有限项不改变敛散性：去掉、添上或改动级数的有限多项，敛散性不变（收敛时和一般会改变）。因此判别敛散性只须看级数的尾部，各判别法的条件也只须从某一项起成立。

④ 收敛的必要条件：

\sum u_{n}

收敛

\Rightarrow u_{n} \to 0

（逆命题不成立，反例是调和级数；它的证明与加强形式即柯西准则见后面各条）。用它的逆否命题：

u_{n} \neq \to 0 \Rightarrow

必发散，这在选择题中常能迅速得出答案。

证明 / 推导

② 的证明. 记

A_{n} = k = 1 \sum n u_{k} \to S, B_{n} = k = 1 \sum n v_{k} \to T

。新级数的部分和是有限和，可以拆项重组：

W_{n} = k = 1 \sum n (α u_{k} + β v_{k}) = α A_{n} + β B_{n}

，由极限的四则运算法则得

W_{n} \to α S + β T

。

■

③ 的证明. 设改动只涉及前

N

项，则当

n > N

时，新旧部分和相差一个固定的常数

c

（

=

前

N

项的改动所造成的差）：

\tilde{S}_{n} = S_{n} + c

。故

{\tilde{S}_{n}}

与

{S_{n}}

同时收敛、同时发散，收敛时两个和恰好相差

c

。

■

收敛 $+$ 发散 $=$ 发散的反证：若

\sum u_{n}

收敛、

\sum v_{n}

发散，而

\sum (u_{n} + v_{n})

收敛，那么由 ② 知

\sum v_{n} = \sum [(u_{n} + v_{n}) - u_{n}]

应当收敛，与假设矛盾。

举例说明

真题（数三 2006） 若级数

n = 1 \sum \infty a_{n}

收敛，则下列级数必收敛的是（　　）：(A)

\sum ∣ a_{n} ∣

；(B)

\sum (- 1)^{n} a_{n}

；(C)

\sum a_{n} a_{n + 1}

；(D)

\sum \frac{a _{n} + a _{n + 1}}{2}

。

解. 用线性性质正面确认 (D)，其余各项用反例排除。由

\sum a_{n}

收敛知

\sum \frac{1}{2} a_{n}

收敛；对它增删有限项（即作一次平移）得

\sum \frac{1}{2} a_{n + 1}

也收敛（改变有限项不影响敛散性）。两个收敛级数相加，得

\sum \frac{a _{n} + a _{n + 1}}{2} = \sum (\frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2} a_{n + 1})

收敛，故选 D。

反例排除：取

a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

，

\sum a_{n}

收敛，但

\sum ∣ a_{n} ∣ = \sum \frac{1}{n}

发散（否定 A），

\sum (- 1)^{n} a_{n} = \sum \frac{1}{n}

发散（否定 B）；取

a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

，则

a_{n} a_{n + 1} \sim - \frac{1}{n}

，

\sum a_{n} a_{n + 1}

发散（否定 C）。由此可见，收敛性只对线性组合封闭，而对取绝对值、改变符号、逐项相乘都不封闭。

2. 柯西收敛准则：级数收敛 $⟺$ 尾部任意一段的和都可以任意小

收敛的必要条件

u_{n} \to 0

太弱，调和级数满足它却发散。真正刻画收敛性的充要条件是柯西准则：

\sum u_{n}

收敛

⟺

对任意

ε > 0

，存在

N

，使当

n > N

时，尾部任意连续的一段都有

∣ u_{n + 1} + u_{n + 2} + \dots + u_{n + p} ∣ < ε

（对一切

p \geq 1

）。它就是把部分和数列为柯西列这一条件用级数的语言写出来。它有两个用处：一是取

p = 1

立得必要条件

u_{n} \to 0

（可见必要条件只是它的特例，所以要弱得多）；二是用来证明发散：只要找到尾部的一段，其和不趋于零，就可以断定级数发散。下面证明调和级数发散，用的就是这个办法。

证明 / 推导

证.

\sum u_{n}

收敛

⟺

部分和

{S_{n}}

收敛。由实数的完备性，

{S_{n}}

收敛

⟺

{S_{n}}

是柯西列，即

\forall ε > 0, \exists N, \forall m > n > N : ∣ S_{m} - S_{n} ∣ < ε

。取

m = n + p

，则

∣ S_{n + p} - S_{n} ∣ = ∣ u_{n + 1} + u_{n + 2} + \dots + u_{n + p} ∣ < ε .

这就是柯西准则。取

p = 1

得

∣ u_{n + 1} ∣ < ε

，即

u_{n} \to 0

，可见必要条件只是

p = 1

时的特殊情形。

■

3. 调和级数发散的严格证明（奥雷姆分组放缩）：由此可知，仅有 $u_{n} \to 0$ 并不能保证级数收敛★ 要懂

调和级数

\sum \frac{1}{n}

的通项趋于

0

却发散，它是说明必要条件并非充分条件的最重要的反例，必须会证。经典的证法是奥雷姆分组：把

\frac{1}{3} + \frac{1}{4}

、

\frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8}

…… 依次按

2

的幂分块，每块都不小于

\frac{1}{2}

，无穷多个

\frac{1}{2}

相加，其和发散。用柯西准则来看更为直接：取尾部的一段

u_{n + 1} + \dots + u_{2 n}

，它恒

\geq \frac{1}{2}

，不趋于零，违反柯西准则，级数发散。这种 $\geq \frac{1}{2}$ 的放缩是级数比较与证明发散的常用手法，必须掌握。

证明 / 推导

证. 考察从第

n + 1

项到第

2 n

项这一段（共

n

项，每项

\geq \frac{1}{2 n}

）：

\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{2 n} \geq n 项 \frac{1}{2 n} + \dots + \frac{1}{2 n} = n \cdot \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2} .

即

S_{2 n} - S_{n} \geq \frac{1}{2}

对一切

n

成立。如果

{S_{n}}

收敛于

S

，那么

S_{2 n} - S_{n} \to S - S = 0

，与恒

\geq \frac{1}{2}

矛盾。故

{S_{n}}

发散，

\sum \frac{1}{n}

发散。

■

举例说明

例. 用同样的方法可以判定

\sum \frac{1}{2 n - 1} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots

发散：它的尾部一段

\frac{1}{2 n + 1} + \dots + \frac{1}{4 n - 1}

（

n

项）中每一项都

\geq \frac{1}{4 n}

，其和

\geq n \cdot \frac{1}{4 n} = \frac{1}{4} \neq \to 0

，违反柯西准则，故级数发散。

4. 几何级数是少数能直接求出和的级数：用错位相减法推出部分和，并注意首项的下标★★ 必会

几何级数

\sum a q^{n}

是极少数能写出闭合形式的和的级数，也是比值判别法、根值判别法与阿贝尔定理的原型。它的部分和用错位相减法求出：

S_{n} - q S_{n} =

首项减去错开后的尾项。最常见的错误是弄不清求和公式中的首项是哪一项：

\sum_{n = 0}^{\infty} a q^{n} = \frac{a}{1 - q}

，但若从

n = 1

起，则

\sum_{n = 1}^{\infty} a q^{n} = \frac{a q}{1 - q}

，分子是级数的第一项，而不是

a

。稳妥的记法是：

\frac{首项}{1 - 公比}

（

∣ q ∣ < 1

）。

证明 / 推导

证. 设

S_{n} = a + a q + a q^{2} + \dots + a q^{n - 1}

（

n

项，

q \neq = 1

）。两边乘以

q

，得

q S_{n} = a q + a q^{2} + \dots + a q^{n}

。两式错位相减，得

S_{n} - q S_{n} = a - a q^{n} \Rightarrow S_{n} = a \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q} .

当

∣ q ∣ < 1

时

q^{n} \to 0

，故

S_{n} \to \frac{a}{1 - q}

。当

∣ q ∣ > 1

时

q^{n}

无界，级数发散；当

q = 1

时

S_{n} = na \to \infty

；当

q = - 1

时

S_{n}

在

0, a

两值之间振荡。

■

举例说明

真题（数三 1993） 求级数

n = 0 \sum \infty \frac{( ln 3 ) ^{n}}{2 ^{n}}

的和。

解. 先把它化成几何级数：

\frac{( ln 3 ) ^{n}}{2 ^{n}} = (\frac{ln 3}{2})^{n}

，公比

q = \frac{ln 3}{2}

。因为

ln 3 \approx 1.099

，

∣ q ∣ = \frac{ln 3}{2} \approx 0.55 < 1

，故级数收敛。这里

n

从

0

起，首项

= 1

，由

n = 0 \sum \infty q^{n} = \frac{1}{1 - q}

，得

n = 0 \sum \infty (\frac{ln 3}{2})^{n} = \frac{1}{1 - \frac{l n 3}{2}} = \frac{2}{2 - ln 3} .

容易出错之处：使用

\frac{首项}{1 - 公比}

这一公式之前必须先确认

∣ q ∣ < 1

（这里由

ln 3 < 2

保证）；下标从

n = 0

起时，首项是

1

而不是

\frac{ln 3}{2}

，不要把公比误当作首项。

5. 加括号定理：收敛级数任意加括号仍收敛且和不变，但逆命题不成立★ 要懂

加括号相当于对部分和数列

{S_{n}}

抽取一个子列

{S_{n_{k}}}

（每个括号的末项对应一个部分和）。如果原级数收敛，那么

{S_{n}}

有极限，它的任何子列有同一极限，所以加括号以后仍收敛，且和不变。这就是收敛级数可以任意加括号的道理。但反方向不成立：加括号后收敛（即子列收敛）并不能推出原数列收敛，因为发散数列也可能有收敛的子列。经典的反例是

1 - 1 + 1 - 1 + \dots

：加括号成

(1 - 1) + (1 - 1) + \dots = 0

收敛，但原级数的部分和在

0, 1

两值之间振荡，级数发散。由此得到：不能用加括号的办法去证明级数收敛；但若加括号后发散，则原级数必发散，这是上述结论的逆否命题。

证明 / 推导

证. 设

\sum u_{n}

收敛，

S_{n} \to S

。加括号后的级数，其部分和为

T_{k} = S_{n_{k}}

，其中

n_{1} < n_{2} < \dots

是各个括号末项的下标。

{S_{n_{k}}}

是收敛数列

{S_{n}}

的子列，故

T_{k} = S_{n_{k}} \to S

，即加括号后的级数收敛于同一个

S

。

■

反例（说明不可逆）：设

u_{n} = (- 1)^{n - 1}

，则

S_{n} = {1, 0, n 奇 n 偶

发散；但按

(u_{1} + u_{2}) + (u_{3} + u_{4}) + \dots

加括号，每个括号内的和为

0

，

T_{k} = S_{2 k} = 0 \to 0

收敛。子列收敛而原数列发散，可见由加括号后收敛不能反推原级数收敛。

举例说明

真题（数三 2011） 设

{u_{n}}

是数列，则下列命题正确的是（　　）：(A) 若

\sum u_{n}

收敛，则

\sum (u_{2 n - 1} + u_{2 n})

收敛；(B) 若

\sum (u_{2 n - 1} + u_{2 n})

收敛，则

\sum u_{n}

收敛；(C) 若

\sum u_{n}

收敛，则

\sum (u_{2 n - 1} - u_{2 n})

收敛；(D) 若

\sum (u_{2 n - 1} - u_{2 n})

收敛，则

\sum u_{n}

收敛。

解. 记

S_{n} = u_{1} + \dots + u_{n}

。(A) 正确：

\sum (u_{2 n - 1} + u_{2 n})

的前

n

项和恰是

S_{2 n}

，也就是对

{S_{n}}

每两项加一个括号。这相当于取收敛数列

{S_{n}}

的子列

{S_{2 n}}

，它必收敛于同一极限，这就是收敛级数可以任意加括号的结论。(B) 不正确（加括号不可逆）：取

u_{n} = (- 1)^{n}

，则

u_{2 n - 1} + u_{2 n} = 0

，

\sum 0

收敛，但

\sum (- 1)^{n}

发散。(C)(D) 不正确：取

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}

，

\sum u_{n}

收敛，而

\sum (u_{2 n - 1} - u_{2 n}) = \sum (\frac{1}{2 n - 1} + \frac{1}{2 n})

发散。故选 A。

容易出错之处：这条定理是单向的，即收敛

\Rightarrow

加括号后收敛；反过来，加括号后收敛不能推回原级数收敛（发散数列也可以有收敛的子列，例如

\sum (- 1)^{n}

加括号后得

0

）。

💡 小知识

调和级数发散得极其缓慢：要让它的和超过

100

，大约需要

1 0^{43}

项，把宇宙的年龄折算成秒也不够你一项项加完，可它终究还是会发散到无穷。早在十四世纪，奥雷姆就用一种巧妙的分组放缩证明了这一点。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求下列几何级数的和：(1)

n = 1 \sum \infty \frac{1}{3 ^{n}}

；(2)

n = 0 \sum \infty (\frac{2}{5})^{n}

。难度 1

几何级数

\sum a q^{n}

当

∣ q ∣ < 1

时收敛，和为

\frac{首项}{1 - q}

。 (1) 首项

\frac{1}{3}

（

n

从

1

起），公比

q = \frac{1}{3}

：

n = 1 \sum \infty \frac{1}{3 ^{n}} = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2} .

(2) 首项

1

（

n

从

0

起），公比

q = \frac{2}{5}

：

n = 0 \sum \infty (\frac{2}{5})^{n} = \frac{1}{1 - 2/5} = \frac{1}{3/5} = \frac{5}{3} .

例 2 用裂项（望远镜求和）求级数

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 1 )}

的和。难度 1

先裂项：

\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

。写出部分和

S_{n} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} .

中间项全部抵消。令

n \to \infty

：

S = n \to \infty lim (1 - \frac{1}{n + 1}) = 1.

故级数收敛，和为

1

。

例 3 判断下列级数的敛散性：(1)

n = 1 \sum \infty \frac{n}{3 n + 1}

；(2)

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{2 ^{n}} + \frac{1}{n})

。难度 2

(1) 先查收敛的必要条件（通项是否趋于

0

）：

n \to \infty lim \frac{n}{3 n + 1} = \frac{1}{3} \neq = 0.

通项不趋于

0

，故级数发散。 (2) 用级数的线性性质分析：

\sum \frac{1}{2 ^{n}}

是公比

\frac{1}{2}

的几何级数，收敛；

\sum \frac{1}{n}

是调和级数，发散。「收敛

+

发散

=

发散」，故原级数发散。提示：若两个级数都发散，其和不一定发散，须具体分析；但收敛与发散之和一定发散。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数三 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

已知

k

为常数，则级数

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} [\frac{1}{n} - ln (1 + \frac{k}{n ^{2}})]

（　　）。

A绝对收敛
B条件收敛
C发散
D敛散性与 $k$ 的取值相关

2020 年 · 数三 · 第 4 题 · 选择题 · 4 分

设幂级数

n = 1 \sum \infty n a_{n} (x - 2)^{n}

的收敛区间为

(- 2, 6)

，则

n = 1 \sum \infty a_{n} (x + 1)^{2 n}

的收敛区间为（　　）

A $(- 2, 6)$
B $(- 3, 1)$
C $(- 5, 3)$
D $(- 17, 15)$

2020 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

设函数

y = f (x)

满足

y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = 0

，且

f (0) = 1, f^{'} (0) = - 1

.（Ⅰ）求

f (x)

的表达式；（Ⅱ）设

a_{n} = \int_{nπ}^{+ \infty} f (x) d x

，求

n = 1 \sum \infty a_{n}

2019 年 · 数三 · 第 4 题 · 选择题 · 4 分

若

n = 1 \sum \infty n u_{n}

绝对收敛，

n = 1 \sum \infty \frac{v _{n}}{n}

条件收敛，则（　　）

A $n = 1 \sum \infty u_{n} v_{n}$ 条件收敛
B $n = 1 \sum \infty u_{n} v_{n}$ 绝对收敛
C $\sum (u_{n} + v_{n})$ 收敛
D $\sum (u_{n} + v_{n})$ 发散

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

几何级数

n = 1 \sum \infty (\frac{2}{3})^{n}

的和为

A $2$
B $3$
C $\frac{3}{2}$
D $\frac{2}{3}$

练习 2 · 选择题

下列级数中发散的是

A $n = 1 \sum \infty \frac{1}{2 ^{n}}$
B $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}}$
C $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n}$
D $n = 1 \sum \infty \frac{1}{3 ^{n}}$

练习 3 · 填空题

级数

n = 1 \sum \infty \frac{1}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )}

的和为 ____。

练习 4 · 选择题

设级数

\sum u_{n}

收敛，

\sum v_{n}

发散，则级数

\sum (u_{n} + v_{n})

A必收敛
B必发散
C可能收敛也可能发散
D和一定为 $0$

练习 5 · 填空题

级数

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 2 )}

的和为 ____。

练习 6 · 选择题

设级数

n = 1 \sum \infty u_{n}

收敛，则下列级数中一定收敛的是（　　）。

A $n = 1 \sum \infty u_{n}^{2}$
B $n = 1 \sum \infty n u_{n}$
C $n = 1 \sum \infty (u_{2 n - 1} + u_{2 n})$
D $n = 1 \sum \infty (u_{n} + \frac{1}{n})$

练习 7 · 填空题

设级数

n = 1 \sum \infty u_{n}

的前

n

项部分和为

S_{n} = \frac{3 n ^{2} + 1}{n ^{2} + n + 2},

则

n = 1 \sum \infty (u_{n} + u_{n + 1}) =

____。

练习 8 · 解答题

考察级数

n = 1 \sum \infty ln (1 + \frac{1}{n ( n + 2 )}) .

(1) 证明该级数收敛；

(2) 求它的前

N

项部分和

S_{N}

的封闭表达式；

(3) 求该级数的和。

2019 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 10 分

求曲线

y = e^{- x} sin x (x \geq 0)

与

x

轴之间图形的面积.

2011 年 · 数三 · 第 3 题 · 选择题 · 4 分

设

{u_{n}}

是数列，则下列命题正确的是（　　）

A若 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 收敛，则 $n = 1 \sum \infty (u_{2 n - 1} + u_{2 n})$ 收敛
B若 $n = 1 \sum \infty (u_{2 n - 1} + u_{2 n})$ 收敛，则 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 收敛
C若 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 收敛，则 $n = 1 \sum \infty (u_{2 n - 1} - u_{2 n})$ 收敛
D若 $n = 1 \sum \infty (u_{2 n - 1} - u_{2 n})$ 收敛，则 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 收敛

常数项级数的概念与性质

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 级数收敛的定义：部分和 Sn​ 有极限 S=n→∞lim​Sn​，以及线性性质与增删有限项这两条基本性质★★ 必会

2. 柯西收敛准则：级数收敛 ⟺ 尾部任意一段的和都可以任意小

3. 调和级数发散的严格证明（奥雷姆分组放缩）：由此可知，仅有 un​→0 并不能保证级数收敛★ 要懂

4. 几何级数是少数能直接求出和的级数：用错位相减法推出部分和，并注意首项的下标★★ 必会

5. 加括号定理：收敛级数任意加括号仍收敛且和不变，但逆命题不成立★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 级数收敛的定义：部分和 $S_{n}$ 有极限 $S = n \to \infty lim S_{n}$ ，以及线性性质与增删有限项这两条基本性质★★ 必会

2. 柯西收敛准则：级数收敛 $⟺$ 尾部任意一段的和都可以任意小

3. 调和级数发散的严格证明（奥雷姆分组放缩）：由此可知，仅有 $u_{n} \to 0$ 并不能保证级数收敛★ 要懂