乐思数学通 › 先打基础 › 常数项级数的概念与性质

常数项级数的概念与性质

高等数学 · 无穷级数

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 级数的和：部分和数列的极限

给一个数列

a_{1}, a_{2}, \dots

，把前

n

项加起来：

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n},

叫部分和。若数列

{S_{n}}

收敛于

S

，就说级数

n = 1 \sum \infty a_{n}

收敛，并把

S

叫它的和；否则叫发散。

要害在这句话上：级数的收敛性，就是部分和数列的收敛性。
它不是「无穷多个数相加」——那件事没法做；定义是先加有限项，再取极限。

发散有两种样子：

S_{n} \to \infty

（越加越大），或者

S_{n}

来回振荡（如

1 - 1 + 1 - \dots

）。

2. 必要条件：收敛则通项趋于零

定理. 若

\sum a_{n}

收敛，则

n \to \infty lim a_{n} = 0.

它是必要条件，不是充分条件。 调和级数

\sum \frac{1}{n}

的通项趋于

0

，
级数却发散（下一节会用积分判别法证）。

所以这条定理只能逆着用：

a_{n} \neq \to 0 ⟹ 级数发散 .

这是它唯一的正面用处，而且是判断发散最快的一招——
拿到一个级数，先看一眼通项趋不趋于零。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

上面那条证明的手法是：把级数的说法翻译成部分和数列的说法，
再用数列极限的运算法则。那里用的是差，这次要用的是和。设

\sum a_{n}

收敛于

A

，

\sum b_{n}

收敛于

B

。证明

\sum (a_{n} + b_{n}) 收敛，且和为 A + B .

照着刚才那条证明的样子，自己写一遍。

3. 三条性质：线性、去掉有限项、加括号

① 线性. 两个级数都收敛时，

\sum (k a_{n} + l b_{n}) = k \sum a_{n} + l \sum b_{n} .

由此得一条常用的推论：收敛 $+$ 发散 $=$ 发散；
而发散

+

发散不一定发散（两个可以互相抵消）。

② 去掉、添加或改变有限项，不改变敛散性（但会改变和）。

这就是为什么判别法总写「当

n

充分大时」——前面几项是什么样无所谓。

③ 收敛级数可以任意加括号，加完仍收敛于原来的和。

反过来不成立：

1 - 1 + 1 - 1 + \dots

加了括号是

0

，但原级数发散。
所以不能靠加括号去证明收敛。

4. 两把标尺：等比级数与 $p$ -级数

后面所有的比较判别法，都要拿一个「已知敛散性的级数」去比。常用的只有两把尺子：

等比级数

\sum q^{n}

：

∣ q ∣ < 1

收敛，

∣ q ∣ \geq 1

发散。

$p$ -级数

\sum \frac{1}{n ^{p}}

：

p > 1 收敛, p \leq 1 发散 .

p = 1

就是调和级数

\sum \frac{1}{n}

，发散——这个结论要记死，
它是无数道题的分界点。

这两把尺子必须背到条件反射：看到分式就想

p

-级数（比最高次），
看到

n

次幂就想等比级数。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

判断敛散性的起手三步

第一步：看通项是否趋于零。不趋于零，直接写「发散」，收工。

第二步：认一认它是不是那两把标尺（等比、

p

-级数），是就直接下结论。

第三步：是两个级数之和时，分别判断——收敛

+

发散

=

发散。

第四步：都不是的话，进下一节的正项级数判别法。

例例. 判断

n = 1 \sum \infty \frac{n}{2 n + 1}

与

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{2 ^{n}} + \frac{1}{n})

。

第一步，第一个：

\frac{n}{2 n + 1} \to \frac{1}{2} \neq = 0

，通项不趋于零，直接写发散，收工。

第二步，第二个的通项趋于零，这一关过不掉，往下看。

第三步，它是两个级数之和：

\sum \frac{1}{2 ^{n}}

是公比

\frac{1}{2}

的等比级数，收敛；

\sum \frac{1}{n}

是

p = 1

的

p

-级数，发散。收敛 $+$ 发散 $=$ 发散。

第四步，所以第二个也发散。

第一步只能用来否定：通项趋于零推不出收敛，

\sum \frac{1}{n}

就是现成的反例。它是筛子，不是判据。

用定义求级数的和

第一步：写出部分和

S_{n}

——能化简成封闭式子才走这条路。

第二步：常用两招：等比求和公式；裂项相消（

\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

）。

第三步：对

S_{n}

取极限。

第四步：答「收敛，和为…」；极限不存在就答发散。

例例. 求

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 1 )}

。

第一步，写部分和

S_{n}

。

第二步，裂项：

\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

，于是

S_{n} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} .

中间全部相消，只剩头尾——这就是「裂项相消」该长的样子。

第三步，

n \to \infty lim S_{n} = 1

。

第四步，答：收敛，和为 $1$ 。

另一招是等比：

n = 0 \sum \infty a q^{n} = \frac{a}{1 - q}

（

∣ q ∣ < 1

）。写得出封闭

S_{n}

的基本只有这两类，写不出就别走定义这条路。

用性质拆开来看

第一步：把通项拆成几项之和（部分分式、分组）。

第二步：逐个判断每一部分的敛散性。

第三步：全收敛则和可以相加；一收一发则整体发散。

第四步：两个都发散时不能下结论，要回到原级数另想办法。

例例. 判断

n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n} + n}{3 ^{n}}

。

第一步，拆开：

\frac{2 ^{n} + n}{3 ^{n}} = (\frac{2}{3})^{n} + \frac{n}{3 ^{n}}

。

第二步，逐个判：前者是公比

\frac{2}{3} < 1

的等比级数，收敛；后者用比值判别法，

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{n + 1}{3 n} \to \frac{1}{3} < 1

，收敛。

第三步，两个都收敛，和可以相加，所以原级数收敛。

第四步，两个都发散时不能下结论：

\sum (\frac{1}{n} - \frac{1}{n})

拆出来的两部分都发散，而它本身恒为

0

、收敛得很。

拆开只在「至少一个收敛」时能用来定论。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

由通项趋于零断定收敛

这是本章第一号错误。调和级数

\sum \frac{1}{n}

就是反例。

这条定理只能逆着用：通项不趋于零

\Rightarrow

发散。

通项趋于零是入场券，不是毕业证。

靠加括号证明收敛

收敛级数可以加括号，但加括号后收敛推不出原级数收敛。

1 - 1 + 1 - 1 + \dots

加括号得

0

，原级数却发散（部分和在

0

与

1

之间振荡）。

去括号更是危险动作——只有在原级数收敛时才允许。

「发散 $+$ 发散 $=$ 发散」

不一定。

\sum \frac{1}{n}

与

\sum (- \frac{1}{n})

都发散，
相加后每项为零，收敛。

能用的只有：收敛

+

收敛

=

收敛；收敛

+

发散

=

发散。

两个都发散时，必须回到原级数本身去判断。

把 $p$ -级数的分界记成 $p \geq 1$ 收敛

正确的是

p > 1

收敛、

p \leq 1

发散， $p = 1$ 落在发散那一边。

\sum \frac{1}{n}

发散、

\sum \frac{1}{n ^{1.01}}

收敛——
分界线卡得非常紧。

记法：调和级数发散，而它正是

p = 1

。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认定义

练 1

级数

\sum a_{n}

收敛，指的是数列 ________ 收敛。

练 2

等比级数

\sum q^{n}

收敛的充要条件是（）。

A $∣ q ∣ < 1$
B $q > 0$
C $∣ q ∣ \leq 1$
D $q \neq = 1$

练 3

p

-级数

\sum \frac{1}{n ^{p}}

收敛的条件是

p

________。

练 4

若

n \to \infty lim a_{n} \neq = 0

，则级数

\sum a_{n}

（）。

A收敛
B发散
C可能收敛也可能发散
D无法判断

第二组 · 用性质

练 5

级数

\sum \frac{n}{n + 1}

（）。

A收敛于 $1$
B收敛于 $0$
C发散
D无法判断

练 6

\sum (\frac{1}{2 ^{n}} + \frac{1}{n})

的敛散性是 ________。

练 7

等比级数

n = 1 \sum \infty \frac{1}{2 ^{n}}

的和为 ________。

练 8

下列说法正确的是（）。

A两个发散级数之和必发散
B去掉级数的前 $10$ 项不改变敛散性
C加括号后收敛，则原级数收敛
D通项趋于零则级数收敛

第三组 · 求和与综合

练 9

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 1 )}

的和为 ________。

练 10

下列级数中收敛的是（）。

A $\sum \frac{1}{n}$
B $\sum \frac{1}{n}$
C $\sum \frac{1}{n ^{2}}$
D $\sum \frac{n}{n + 1}$

练 11

若

\sum a_{n}

收敛于

A

、

\sum b_{n}

收敛于

B

，则

\sum (2 a_{n} - b_{n})

收敛于 ________。

练 12

级数

1 - 1 + 1 - 1 + \dots

（）。

A收敛于 $0$
B收敛于 $\frac{1}{2}$
C收敛于 $1$
D发散

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解