数列的极限

高等数学 · 函数、极限、连续

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 数列与收敛： $n$ 增大之后各项挤向一个定数

按下标排成一列的数

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, \dots

称为数列，记作

{x_{n}}

，

x_{n}

称为它的通项。

若当

n

无限增大时，

x_{n}

无限接近于某个常数

A

，则称数列

{x_{n}}

收敛于

A

，记作

n \to \infty lim x_{n} = A .

不收敛的数列称为发散。

关于这一叙述，有三点须加注意。

① 极限只与 $n$ 充分大以后的项有关. 改动数列的前有限项，不影响其收敛性与极限值。

② 极限不要求取到. 数列

\frac{n}{n + 1}

的各项

\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \dots

恒小于

1

，没有一项等于

1

，但它收敛于

1

。

③ 发散有两种情形. 一种是无界地增大，如

x_{n} = n

，此时虽可记作

n \to \infty lim x_{n} = \infty

，但该记号只是描述其变化趋势，极限并不存在；另一种是有界而不趋于任何定数，如

x_{n} = (- 1)^{n}

在

- 1

与

1

之间反复振荡。

2. $ε - N$ 定义：把「无限接近」写成不等式

上一条中「无限接近」的说法须加精确化。设

{x_{n}}

为一数列，

A

为常数。若对于任意给定的正数

ε

，总存在正整数

N

，使当

n > N

时恒有

∣ x_{n} - A ∣ < ε,

则称

A

为数列

{x_{n}}

的极限。

逐项说明其中各量的地位：

ε

是预先给定的精度，可以任意小，用以衡量

x_{n}

与

A

的接近程度；

N

是随 $ε$ 而定的分界线，

ε

越小，

N

一般越大；

「当

n > N

时恒有」是说该分界线之后的每一项都满足，而非某些项满足；

∣ x_{n} - A ∣ < ε

即

x_{n}

落在区间

(A - ε, A + ε)

之内，如图中的带形区域。

基础阶段不要求用此定义去证明一般的极限，但须能读懂它——以后「极限唯一」「收敛必有界」诸结论，都由这一行推出。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

这一条的「证明 / 推导」里，已经照着

ε - N

定义证过

n \to \infty lim \frac{1}{n} = 0

。它的做法只有三步：把 $∣ x_{n} - A ∣$ 写出来 → 解不等式 $∣ x_{n} - A ∣ < ε$ 看 $n$ 要多大 → 取 $N$ 为那个界的整数部分。先把那一段看懂，再动笔做下面这个。请你照着同一套做法，用

ε - N

定义证明：

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} = 0.

3. 极限的四则运算法则

设

n \to \infty lim x_{n} = A

，

n \to \infty lim y_{n} = B

（两者都存在），则

n \to \infty lim (x_{n} \pm y_{n}) = A \pm B

n \to \infty lim x_{n} y_{n} = A B

n \to \infty lim \frac{x _{n}}{y _{n}} = \frac{A}{B} (B \neq = 0)

前提不可省略. 取

x_{n} = (- 1)^{n}

、

y_{n} = (- 1)^{n + 1}

，两者都发散，但

x_{n} + y_{n} \equiv 0

收敛于

0

。可见由

lim (x_{n} + y_{n})

存在推不出两者各自收敛，使用法则之前必须先确认两边的极限都存在。

乘法一条另有一个常用的加强形式，它不要求两个因子都收敛：

有界量与无穷小之积仍为无穷小. 若

{u_{n}}

有界、

n \to \infty lim v_{n} = 0

，则

n \to \infty lim u_{n} v_{n} = 0

。

4. 几个必须记住的极限与有理分式型的算法

下列各式须能直接写出：

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{k}} n \to \infty lim q^{n} = 0 (k > 0), = 0 (∣ q ∣ < 1)

n \to \infty lim n a = 1 (a > 0), n \to \infty lim n n = 1

有理分式型（分子分母均为

n

的多项式）的算法是固定的：分子分母同除以分母中 $n$ 的最高次幂。除后各项或为常数，或为

\frac{常数}{n ^{k}} \to 0

，极限即可直接读出。

由此可得一条便于记忆的结论：分子分母的最高次相同时，极限为两个最高次系数之比；分母次数高时极限为

0

；分子次数高时数列发散于无穷。该结论是算出来的，不是用来代替计算的——分子分母不是多项式时它并不成立。

5. 收敛数列的两条基本性质

唯一性. 收敛数列的极限是唯一的。

故若用两种方法算得两个不同的值，必有一处有误，不存在「两个答案都对」的情形。

有界性. 收敛数列必有界，即存在

M > 0

使

∣ x_{n} ∣ \leq M

对一切

n

成立。

其逆不成立：

x_{n} = (- 1)^{n}

有界而不收敛。因此有界性只能用于否定收敛（无界必发散），不能用于肯定。

这两条在题目中多半是反过来用的：由「无界」断定「发散」是对的；由「有界」断定「收敛」是错的。

两条性质都由

ε - N

定义直接证出，手法完全相同，是很好的基本功训练。有界性的证明见下面的「证明 / 推导」；唯一性留给你自己照着它写一遍。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

这一条的「证明 / 推导」里，已经证过收敛必有界。那个证明的关键只有一步：

ε

既然是任意的，就取一个方便的具体值（那里取了

ε = 1

），把「无限接近」变成一个能动手的不等式。

下面这条用的是同一个手法，区别只在于：

ε

这次不能随便取

1

，要取一个与 $A$ 、 $B$ 有关的量。先把那一段看懂，再动笔。设

n \to \infty lim x_{n} = A

，同时

n \to \infty lim x_{n} = B

。请证明：

A = B

（即收敛数列的极限是唯一的）。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

有理分式型：上下同除分母里 $n$ 的最高次幂

第一步：看清分子、分母各自的最高次。

第二步：上下同时除以分母的最高次幂（不是分子的）。

第三步：除完之后每一项要么是常数、要么是

\frac{常数}{n ^{k}} \to 0

，直接读出极限。

\frac{3 n ^{2} - n}{2 n ^{2} + 5} = \frac{3 - \frac{1}{n}}{2 + \frac{5}{n ^{2}}} ⟶ \frac{3}{2} .

算熟之后可以直接用口诀（同次看系数比、分母次数高则为

0

），但口诀是算出来的结果，不是跳过第二步的理由——分子分母不是多项式时口诀就不成立了。

例例. 求

n \to \infty lim \frac{2 n ^{3} - n + 1}{5 n ^{3} + n ^{2}}

。

第一步，分子最高次是

3

，分母最高次也是

3

。

第二步，上下同除分母的最高次

n^{3}

——每一项都要除：

\frac{2 - \frac{1}{n ^{2}} + \frac{1}{n ^{3}}}{5 + \frac{1}{n}} .

第三步，带

n

的项全部趋于

0

，直接读出

n \to \infty lim \frac{2 n ^{3} - n + 1}{5 n ^{3} + n ^{2}} = \frac{2}{5} .

检查：除之前分子三项、分母两项，除之后还是三项、两项——项数对上了，没漏。

$\infty - \infty$ ：先变成一个分式，再比次数

第一步：认出来这是

\infty - \infty

，不能分别取极限。

第二步：想办法把两项合成一个分式——带根号就乘共轭有理化，带分母就通分。

第三步：变成分式之后，回到上一条的做法。

n + 1 - n = \frac{1}{n + 1 + n} ⟶ 0.

例例. 求

n \to \infty lim (n^{2} + n - n)

。

第一步，两项都趋于

+ \infty

，是

\infty - \infty

，不能分别取极限。

第二步，带根号就乘共轭有理化，把减号消掉：

n^{2} + n - n = \frac{( n ^{2} + n ) - n ^{2}}{n ^{2} + n + n} = \frac{n}{n ^{2} + n + n} .

第三步，成了分式，回到上一条的做法——上下同除

n

：

\frac{1}{1 + \frac{1}{n} + 1} ⟶ \frac{1}{2} .

若凭感觉说「根号里的

n^{2}

和外面的

n

抵消了，所以是

0

」，就会错——那个

n

的影响恰好留下了

\frac{1}{2}

。

看到「有界的东西 $\div$ 越来越大的东西」就分离因子

第一步：把式子分成「有界的那一块」和「趋于

0

的那一块」。

第二步：确认有界那块真的有界（写出

∣ sin n ∣ \leq 1

这样的一行）。

第三步：套「有界量

\times

无穷小

=

无穷小」直接得

0

。

\frac{sin n}{n}

、

\frac{cos n}{n + 1}

、

\frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

全是这一类。不要去算 $sin n$ 的极限——它根本不存在，而这道题并不需要它。

例例. 求

n \to \infty lim \frac{( - 1 ) ^{n} n}{n ^{2} + 1}

。

第一步，分成两块：

(- 1)^{n}

是有界的那一块，

\frac{n}{n ^{2} + 1}

是趋于

0

的那一块。

第二步，写出界：

(- 1)^{n} \leq 1

。这一行是定理的条件，不能省。

第三步，套「有界量

\times

无穷小

=

无穷小」，极限是

0

。

不能说「

lim (- 1)^{n}

不存在，所以整体不存在」——乘积极限法则在这里用不上，但这条定理用得上。两者是不同的工具。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

对发散的数列用四则运算

「和的极限等于极限的和」前提是两个各自都收敛。

x_{n} = (- 1)^{n}

、

y_{n} = (- 1)^{n + 1}

都发散，但

x_{n} + y_{n} = 0

收敛。

反过来也一样：由

lim (x_{n} + y_{n})

存在推不出两个各自收敛。动笔前先确认两边都收敛，再拆。

把 $lim x_{n} = \infty$ 当成「极限存在」

写

n \to \infty lim n = \infty

是在描述「它无界地增大」，这个数列仍然是发散的。

题目问「极限是否存在」时，答

\infty

等于答「不存在」。两种写法在考场上不是一回事，别混着用。

上下同除时漏项

\frac{3 n ^{2} - n}{2 n ^{2} + 5}

除以

n^{2}

时，分子的

- n

要变成

- \frac{1}{n}

、分母的

5

要变成

\frac{5}{n ^{2}}

——每一项都要除，常数项最容易被忘。

检查办法：除完之后数一数项数，和除之前一样多。

由「有界」断定「收敛」

收敛必有界，反过来不成立：

(- 1)^{n}

有界却发散。

所以有界性只能用来否定收敛（无界

\Rightarrow

发散），不能用来肯定。选择题里「有界数列必收敛」这个选项，直接用

(- 1)^{n}

否掉。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认出收敛与发散

练 1

n \to \infty lim \frac{1}{n} =

________。

练 2

n \to \infty lim x_{n} = A

的意思是（）。

A数列里有一项等于 $A$
B只要 $n$ 足够大， $x_{n}$ 就一直待在 $A$ 旁边，要多近就能多近
C数列一直在变大，最后变成 $A$
D最后一项是 $A$

练 3

数列

x_{n} = (- 1)^{n}

（即

- 1, 1, - 1, 1, \dots

）（）。

A收敛于 $1$
B收敛于 $- 1$
C收敛于 $0$
D发散

练 4

下列数列中收敛的是（）。

A $x_{n} = \frac{1}{n + 1}$
B $x_{n} = n$
C $x_{n} = (- 1)^{n} n$
D $x_{n} = n^{2}$

练 5

数列

x_{n} = \frac{n}{n + 1}

的项是

\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \dots

，它们永远小于

1

。这个数列的极限是 ________。

第二组 · 有理分式型

练 6

n \to \infty lim \frac{n}{n ^{2} + 1} =

（）。

A $1$
B $\infty$
C $0$
D不存在

练 7

n \to \infty lim \frac{2 n + 1}{n + 3} =

________。

练 8

n \to \infty lim \frac{( n + 1 ) ^{2}}{2 n ^{2} - 3} =

________。

练 9

n \to \infty lim \frac{n ^{2} + 1}{3 n + 2} =

（）。

A $\frac{1}{3}$
B $0$
C $\frac{1}{2}$
D不存在（趋于无穷）

练 10

n \to \infty lim \frac{3 n ^{3} - n}{5 n ^{3} + 2 n ^{2}} =

________。

第三组 · 变形之后再算

练 11

n \to \infty lim \frac{sin n}{n} =

（）。

A $1$
B $0$
C不存在
D $\infty$

练 12

n \to \infty lim (n + 2 - n) =

________。

练 13

下列说法正确的是（）。

A有界数列必收敛
B发散数列必无界
C若 $n \to \infty lim (x_{n} + y_{n})$ 存在，则 ${x_{n}}$ 与 ${y_{n}}$ 各自收敛
D收敛数列必有界

练 14

n \to \infty lim \frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2}} =

________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

数列的极限

先打基础

1. 数列与收敛：n 增大之后各项挤向一个定数

2. ε-N 定义：把「无限接近」写成不等式

请你先证

3. 极限的四则运算法则

4. 几个必须记住的极限与有理分式型的算法

5. 收敛数列的两条基本性质

请你先证

常用结构

有理分式型：上下同除分母里 n 的最高次幂

∞−∞：先变成一个分式，再比次数

看到「有界的东西 ÷ 越来越大的东西」就分离因子

基础易错

对发散的数列用四则运算

把 limxn​=∞ 当成「极限存在」

上下同除时漏项

由「有界」断定「收敛」

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

练 13

练 14

1. 数列与收敛： $n$ 增大之后各项挤向一个定数

2. $ε - N$ 定义：把「无限接近」写成不等式

有理分式型：上下同除分母里 $n$ 的最高次幂

$\infty - \infty$ ：先变成一个分式，再比次数

看到「有界的东西 $\div$ 越来越大的东西」就分离因子

把 $lim x_{n} = \infty$ 当成「极限存在」