数列的极限

§1.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.56 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

11.9 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）函数的概念与基本性质③ 掌握后可解锁函数的极限极限存在准则（夹逼、单调有界）无穷小与无穷大、阶的比较定积分的概念与性质常数项级数的概念与性质

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 数列极限的 $ε - N$ 定义：任意 $ε$ -邻域之外至多只有有限项★★ 必会

① 定义：设

{x_{n}}

为数列，

A

为常数。如果对任意

ε > 0

，总存在正整数

N

，使当

n > N

时恒有

∣ x_{n} - A ∣ < ε,

那么称

{x_{n}}

收敛于

A

，记作

n \to \infty lim x_{n} = A

；如果不存在这样的

A

，那么称

{x_{n}}

发散。阅读定义时应按下述次序理解：

ε

先行给定，且要多小有多小，它刻画精度；

N

随

ε

而定，它刻画从第几项起；而当

n > N

时恒有上述不等式，是说第

N

项以后的全体项都落入区间

(A - ε, A + ε)

之内。

② 几何意义：

n \to \infty lim x_{n} = A ⟺

对任意

ε > 0

，在邻域

(A - ε, A + ε)

之外至多只有有限多项，至多是前

N

项。由此立即得到两条推论：改动或增删数列的有限多项，不影响它的敛散性与极限值；反之，如果在某个

ε_{0}

-邻域之外落有无穷多项，那么极限必不是

A

。例如

x_{n} = (- 1)^{n}

，在

1

的小邻域之外有全部奇数项，在

- 1

的小邻域之外有全部偶数项，因此它不收敛。

③ 由定义直接得到的几条结论：极限唯一；收敛必有界，证明见后面取定

ε = 1

的一条；保号性，即如果

n \to \infty lim x_{n} = A > 0

，那么取

ε = \frac{A}{2}

即知存在

N

，使

n > N

时

x_{n} > \frac{A}{2} > 0

。这一取法在真题中反复出现，见下面的例题。

证明 / 推导

用定义证 $n \to \infty lim \frac{n}{n + 1} = 1$ 。 对任意

ε > 0

，要使

\frac{n}{n + 1} - 1 = \frac{1}{n + 1} < ε,

只需

n + 1 > \frac{1}{ε}

。取

N = [\frac{1}{ε}] + 1

，则

N > \frac{1}{ε}

，于是当

n > N

时

\frac{n}{n + 1} - 1 = \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{N} < ε,

因此

n \to \infty lim \frac{n}{n + 1} = 1

。

■

注意：不必求出最精确的

N

，给出一个可用的即可。当

∣ x_{n} - A ∣

的形式较复杂时，可以先把它放大成仍趋于

0

的简单式子，再解不等式定出

N

。

举例说明

真题（2003 数一）：设

{a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}}

均为非负数列，且

n \to \infty lim a_{n} = 0

，

n \to \infty lim b_{n} = 1

，

n \to \infty lim c_{n} = \infty

，则必有（A）

a_{n} < b_{n}

对任意

n

成立；（B）

b_{n} < c_{n}

对任意

n

成立；（C）

n \to \infty lim a_{n} c_{n}

不存在；（D）

n \to \infty lim b_{n} c_{n}

不存在。

解：极限所刻画的只是

n

充分大以后的情形，对前面的有限项并无限制。取

a_{n} = \frac{3}{n}, b_{n} = 1, c_{n} = \frac{n}{3}

：由

a_{1} = 3 > b_{1} = 1

排除 A；由

b_{1} = 1 > c_{1} = \frac{1}{3}

排除 B；又

a_{n} c_{n} \equiv 1

收敛，排除 C。下面再证 D 成立：按定义取

ε = \frac{1}{2}

，则存在

N

，使

n > N

时

∣ b_{n} - 1∣ < \frac{1}{2}

，从而

b_{n} > \frac{1}{2}

，于是

b_{n} c_{n} > \frac{1}{2} c_{n} \to \infty

，极限不存在（为

\infty

）。选 D。

易错之处：由

lim a_{n} = 0 < lim b_{n} = 1

只能推出充分大以后有

a_{n} < b_{n}

，而要求对任意

n

都成立则是不可能的。

ε

-邻域之外允许有有限多项任意分布，这就是几何意义 ② 所说的内容。

2. 两个不易着手的极限： $lim q^{n} = 0 (∣ q ∣ < 1)$ 与 $lim n n = 1$ ★ 要懂

有些极限形式简单，但用定义证明时不易着手放大，

lim q^{n} (∣ q ∣ < 1)

与

lim n n

就是两个典型的例子。如果直接由

∣ q ∣^{n} < ε

反解，就要用到对数，过程颇为迂回；较好的办法是利用伯努利不等式或二项式定理，把 $n$ 从指数的位置上降下来。这一放大方法是后面正项级数的根值判别法以及

n a \to 1

、

n n!

等一系列结论的共同来源，应当切实掌握。

证明 / 推导

(1) $n \to \infty lim q^{n} = 0 (∣ q ∣ < 1)$ 。

q = 0

时结论显然。设

0 < ∣ q ∣ < 1

，则

\frac{1}{∣ q ∣} > 1

，可以写成

\frac{1}{∣ q ∣} = 1 + h (h > 0)

。由伯努利不等式

(1 + h)^{n} \geq 1 + nh > nh

，得

∣ q^{n} - 0∣ = ∣ q ∣^{n} = \frac{1}{( 1 + h ) ^{n}} < \frac{1}{nh} .

对任意

ε > 0

，取

N = [\frac{1}{h ε}]

，则当

n > N

时

∣ q^{n} ∣ < \frac{1}{nh} < ε

。因此

q^{n} \to 0

。

(2) $n \to \infty lim n n = 1$ 。 由于

n \geq 1

时

n n \geq 1

，可设

n n = 1 + t_{n} (t_{n} \geq 0)

。两端

n

次方，并用二项式定理只保留第三项（

n \geq 2

），得

n = (1 + t_{n})^{n} \geq (2 n) t_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2} t_{n}^{2} ⟹ t_{n}^{2} \leq \frac{2}{n - 1} .

于是

0 \leq t_{n} \leq \frac{2}{n - 1} \to 0

，由夹逼准则得

t_{n} \to 0

，从而

n n = 1 + t_{n} \to 1

。

■

3. 收敛必有界的证明：取定 $ε = 1$ 的常用方法★ 要懂

收敛数列必有界是收敛的一条必要条件，反过来并不成立，例如

{(- 1)^{n}}

有界却发散。它的证明中用到一个反复出现的方法：在任意的 $ε$ 中取定一个便于使用的值 $ε = 1$ 。这与验证极限时不能取定

ε

并不矛盾。验证极限要求对一切

ε

都成立；而这里是已知极限存在，从中借用一个

ε = 1

去推出有界性。

证明 / 推导

设

n \to \infty lim a_{n} = A

。在极限定义中取 $ε = 1$ ：存在

N

，使当

n > N

时

∣ a_{n} - A ∣ < 1

，从而

∣ a_{n} ∣ = ∣ (a_{n} - A) + A ∣ \leq ∣ a_{n} - A ∣ + ∣ A ∣ < 1 + ∣ A ∣.

这说明第

N

项以后的所有项都以

1 + ∣ A ∣

为界。而

a_{1}, \dots, a_{N}

只有有限个。取

M = max {∣ a_{1} ∣, ∣ a_{2} ∣, \dots, ∣ a_{N} ∣, 1 + ∣ A ∣},

则对一切

n

都有

∣ a_{n} ∣ \leq M

，因此

{a_{n}}

有界。

■

注：尾部用极限加以控制、头部的有限项取最大值，这一方法在数列的证明中经常出现，应当熟练掌握。

4. 奇、偶子列收敛到同一值 $⟺$ 原数列收敛★★ 必会

由单个子列收敛推不出原数列收敛，例如

{(- 1)^{n}}

的偶子列收敛于

1

，而原数列发散。但下面这条充分必要条件很便于使用：

a_{n} \to A ⟺ a_{2 k} \to A 且 a_{2 k - 1} \to A (同一个 A) .

即只有奇、偶两个子列都收敛且极限相同时，原数列才收敛。它有两方面的用途：(1) 对按奇偶分段定义的数列，分别求奇、偶子列的极限；(2) 证明发散，只要找到两个极限不同的子列即可，这是判定发散最常用的方法。

证明 / 推导

（

\Rightarrow

）这是显然的，因为收敛数列的任何子列都收敛于同一极限。
（

\Leftarrow

）设

a_{2 k} \to A, a_{2 k - 1} \to A

。对任意

ε > 0

：存在

K_{1}

，使

k > K_{1}

时

∣ a_{2 k} - A ∣ < ε

；存在

K_{2}

，使

k > K_{2}

时

∣ a_{2 k - 1} - A ∣ < ε

。取

N = 2 max {K_{1}, K_{2}} + 1

。当

n > N

时，若

n = 2 k

为偶数则

k > K_{1}

，若

n = 2 k - 1

为奇数则

k > K_{2}

，两种情形都有

∣ a_{n} - A ∣ < ε

。因此

a_{n} \to A

。

■

举例说明

例：判断

a_{n} = (- 1)^{n} \frac{n}{n + 1}

的敛散性。
解：偶子列

a_{2 k} = \frac{2 k}{2 k + 1} \to 1

，奇子列

a_{2 k - 1} = - \frac{2 k - 1}{2 k} \to - 1

。两个子列的极限

1 \neq = - 1

，由上述判据的逆否形式即知

{a_{n}}

发散。

■

5. 数列的洛必达，Stolz 定理与算术平均极限

数列不可导，不能直接使用洛必达法则；与之相当的是 Stolz 定理，即数列形式的洛必达法则：设

{b_{n}}

严格单调增加且

\to + \infty

，如果

n \to \infty lim \frac{a _{n} - a _{n - 1}}{b _{n} - b _{n - 1}} = L

，那么

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = L

（

\frac{*}{\infty}

型）。由它可以得到一条很有用的推论，即算术平均定理：如果

x_{n} \to A

，那么

\frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n} \to A

。凡遇到累加求和

/ n

的平均值型数列极限，都应首先考虑它。

证明 / 推导

证算术平均定理（不必使用 Stolz 定理，直接作

ε

论证）。记

σ_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} x_{k}

。由

x_{n} \to A

知，对任意

ε > 0

，存在

N_{1}

，使

k > N_{1}

时

∣ x_{k} - A ∣ < \frac{ε}{2}

。于是当

n > N_{1}

时，

∣ σ_{n} - A ∣ = \frac{1}{n} k = 1 \sum n (x_{k} - A) \leq = C / n \frac{1}{n} k = 1 \sum N_{1} ∣ x_{k} - A ∣ + < \frac{n - N _{1}}{n} \cdot \frac{ε}{2} < \frac{ε}{2} \frac{1}{n} k = N_{1} + 1 \sum n ∣ x_{k} - A ∣,

其中

C = \sum_{k = 1}^{N_{1}} ∣ x_{k} - A ∣

是固定的常数。由

C / n \to 0

知，存在

N_{2}

，使

n > N_{2}

时

C / n < \frac{ε}{2}

。取

N = max {N_{1}, N_{2}}

，则当

n > N

时

∣ σ_{n} - A ∣ < ε

。

■

举例说明

例：求

n \to \infty lim \frac{1 + 2 + 3 3 + \dots + n n}{n}

。
解：已知

x_{n} = n n \to 1

，见本节要点一。由算术平均定理，它的前

n

项的平均值也趋于同一极限：

n \to \infty lim \frac{1 + 2 + \dots + n n}{n} = 1.

Stolz 定理的另一处应用：求

n \to \infty lim \frac{1 ^{p} + 2 ^{p} + \dots + n ^{p}}{n ^{p + 1}} (p > 0)

，取

a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k^{p}, b_{n} = n^{p + 1}

，则

\frac{a _{n} - a _{n - 1}}{b _{n} - b _{n - 1}} = \frac{n ^{p}}{n ^{p + 1} - ( n - 1 ) ^{p + 1}} \to \frac{1}{p + 1},

因此原极限

= \frac{1}{p + 1}

。

■

💡 小知识

ε - N

语言由柯西开端、魏尔斯特拉斯定型，结束了微积分诞生后近两百年关于无穷小的争论。哲学家贝克莱曾讥讽无穷小是已逝量的幽灵，而这套要多近有多近的说法，用严密的逻辑把这个幽灵锁进了定义里。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 用

ε - N

定义证明

n \to \infty lim \frac{n}{n + 1} = 1

。难度 1

解. 用定义证极限的关键是「放大反解」：把

∣ a_{n} - A ∣

放大成简单式子，再令其

< ε

解出

N

。

第一步（算距离并放大）.

\frac{n}{n + 1} - 1 = \frac{n - ( n + 1 )}{n + 1} = \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n} .

第二步（反解 $N$ ）. 对任意

ε > 0

，要使

\frac{1}{n} < ε

，只需

n > \frac{1}{ε}

。取

N = [\frac{1}{ε}]

。

第三步（验证）. 当

n > N

时，

\frac{n}{n + 1} - 1 < \frac{1}{n} < ε

。由定义得

n \to \infty lim \frac{n}{n + 1} = 1

。

例 2 求极限

n \to \infty lim \frac{3 n ^{2} + 2 n - 1}{2 n ^{2} - n + 5}

。难度 1

解. 分子分母都是

n

的二次式，属

\frac{\infty}{\infty}

型。同除以最高次幂 $n^{2}$ ：

\frac{3 n ^{2} + 2 n - 1}{2 n ^{2} - n + 5} = \frac{3 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n ^{2}}}{2 - \frac{1}{n} + \frac{5}{n ^{2}}} .

当

n \to \infty

时，

\frac{1}{n} \to 0, \frac{1}{n ^{2}} \to 0

，故极限为

\frac{3 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = \frac{3}{2}

。

例 3 证明数列

a_{n} = (- 1)^{n} \frac{n}{n + 1}

发散。难度 2

解. 「找两个收敛到不同值的子列」是证明数列发散的利器。

取偶数项子列

n = 2 k

：

a_{2 k} = \frac{2 k}{2 k + 1} k \to \infty 1;

取奇数项子列

n = 2 k - 1

：

a_{2 k - 1} = - \frac{2 k - 1}{2 k} k \to \infty - 1.

两个子列分别收敛于

1

与

- 1

，极限不同。若原数列收敛，则其任何子列都应收敛于同一极限，矛盾。故

{a_{n}}

发散。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2022 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

已知数列

{x_{n}}

，其中

- \frac{π}{2} \leq x_{n} \leq \frac{π}{2}

，则（　　）

A当 $n \to \infty lim cos (sin x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim x_{n}$ 存在.
B当 $n \to \infty lim sin (cos x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim x_{n}$ 存在.
C当 $n \to \infty lim cos (sin x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim sin x_{n}$ 存在，但 $n \to \infty lim x_{n}$ 不一定存在.
D当 $n \to \infty lim sin (cos x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim cos x_{n}$ 存在，但 $n \to \infty lim x_{n}$ 不一定存在.

2019 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 4 分

设

{u_{n}}

是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（　　）

A $n = 1 \sum \infty \frac{u _{n}}{n}$ .
B $n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{1}{u _{n}}$ .
C $n = 1 \sum \infty (1 - \frac{u _{n}}{u _{n + 1}})$ .
D $n = 1 \sum \infty (u_{n + 1}^{2} - u_{n}^{2})$ .

2018 年 · 数一 · 第 19 题 · 解答题 · 10 分

设数列

{x_{n}}

满足：

x_{1} > 0

，

x_{n} e^{x_{n + 1}} = e^{x_{n}} - 1 (n = 1, 2, \dots)

。证明数列

{x_{n}}

收敛，并求

n \to \infty lim x_{n}

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

n \to \infty lim \frac{n ^{2} - 1}{2 n ^{2} + 3} =

（）。

A $0$
B $\frac{1}{2}$
C $1$
D $\infty$

练习 2 · 选择题

下列关于数列的说法正确的是（）。

A有界数列一定收敛
B收敛数列一定有界
C单调数列一定收敛
D发散数列一定无界

练习 3 · 填空题

n \to \infty lim (n^{2} + n - n) =

____。

练习 4 · 填空题

n \to \infty lim \frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{3 ^{n + 1}} =

____。

练习 5 · 选择题

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2} + 1} + \frac{1}{n ^{2} + 2} + \dots + \frac{1}{n ^{2} + n}) =

（　）。

A $0$
B $\frac{1}{2}$
C $1$
D $+ \infty$

练习 6 · 填空题

设

n \to \infty lim a_{n} = a

，则

n \to \infty lim \frac{a _{1} + 2 a _{2} + 3 a _{3} + \dots + n a _{n}}{n ^{2}} =

____。

练习 7 · 解答题

设数列

{x_{n}}

由

x_{1} = 1, x_{n + 1} = \frac{3 ( 1 + x _{n} )}{3 + x _{n}} (n = 1, 2, \dots)

确定。

(1) 证明：对一切

n

有

0 < x_{n} < 3

；

(2) 证明

{x_{n}}

单调增加，从而收敛，并求

n \to \infty lim x_{n}

；

(3) 求

n \to \infty lim \frac{x _{n + 1} - 3}{x _{n} - 3}

。

2003 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

{a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}}

均为非负数列，且

n \to \infty lim a_{n} = 0, n \to \infty lim b_{n} = 1, n \to \infty lim c_{n} = \infty

，则必有（　　）

A $a_{n} < b_{n}$ 对任意 $n$ 成立.
B $b_{n} < c_{n}$ 对任意 $n$ 成立.
C极限 $n \to \infty lim a_{n} c_{n}$ 不存在.
D极限 $n \to \infty lim b_{n} c_{n}$ 不存在.

数列的极限

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 数列极限的 ε-N 定义：任意 ε-邻域之外至多只有有限项★★ 必会

2. 两个不易着手的极限：limqn=0(∣q∣<1) 与 limnn​=1★ 要懂

3. 收敛必有界的证明：取定 ε=1 的常用方法★ 要懂

4. 奇、偶子列收敛到同一值 ⟺ 原数列收敛★★ 必会

5. 数列的洛必达，Stolz 定理与算术平均极限

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 数列极限的 $ε - N$ 定义：任意 $ε$ -邻域之外至多只有有限项★★ 必会

2. 两个不易着手的极限： $lim q^{n} = 0 (∣ q ∣ < 1)$ 与 $lim n n = 1$ ★ 要懂

3. 收敛必有界的证明：取定 $ε = 1$ 的常用方法★ 要懂

4. 奇、偶子列收敛到同一值 $⟺$ 原数列收敛★★ 必会