函数的概念与基本性质

① 两要素：函数 $y=f(x)$ 由定义域 $D$ 与对应法则 $f$ 完全确定，值域由这两者派生。因此两个函数相同 $⟺$ 定义域与对应法则都相同。例如 $y=x$ 与 $y=(\sqrt{x}{)}^2$ 不是同一个函数，因为二者的定义域分别为 $\mathbb{R}$ 与 $[0,+\infty )$；而 $y=|x|$ 与 $y=\sqrt{x^2}$ 是同一个函数。

② 有界性：$f$ 在数集 $I$ 上有界 $⟺$ 存在 $M>0$，使对一切 $x\in I$ 都有 $|f(x)|\le M$，这等价于它既有上界又有下界。无界是有界的否定，即对任意 $M>0$，总存在 $x_M\in I$，使 $|f(x_M)|>M$。必须注意，有界性总是相对于某个区间而言的。例如 $\frac{1}{x}$ 在 $[1,+\infty )$ 上有界，而在 $(0,1)$ 内无界。

③ 单调性：如果对 $I$ 中任意 $x_1<x_2$ 恒有 $f(x_1)<f(x_2)$，那么称 $f$ 在 $I$ 上单调增加；如果恒有 $f(x_1)>f(x_2)$，那么称单调减少。考研中若不加声明，单调性都指严格不等号的情形。

④ 奇偶性：讨论奇偶性的前提是定义域关于原点对称。如果恒有 $f(-x)=f(x)$，那么称它为偶函数，其图形关于 $y$ 轴对称；如果恒有 $f(-x)=-f(x)$，那么称它为奇函数，其图形关于原点对称。奇函数如果在 $x=0$ 处有定义，那么必有 $f(0)=0$，证明见下。

⑤ 周期性：如果存在 $T>0$，使对定义域内一切 $x$（且 $x\pm T$ 仍在定义域内）恒有$$f(x+T)=f(x),$$那么称 $f$ 为周期函数，$T$ 为它的一个周期。通常所说的周期指最小正周期，但最小正周期未必存在。例如常数函数与 Dirichlet 函数，任何正有理数都是它们的周期，其中并没有最小者。

设 $f$ 的定义域 $D$ 关于原点对称，则 $f$ 可唯一地写成一个偶函数与一个奇函数之和：
$$f(x)=\underset{\text{偶部 }{f}_e}{\underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}}+\underset{\text{奇部 }{f}_o}{\underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}}.$$
这一分解的用处：许多不易直接处理的函数，一经奇偶分解往往就便于讨论。例如指数函数的分解 ${\mathrm{e}}^x=\cosh x+\sinh x$，其中双曲余弦是偶部，双曲正弦是奇部，它就是本定理的一个特例。又如对称区间上的积分 ${\int }_{-a}^{a}f=2{\int }_0^a{f}_e$ 中之所以只留下偶部，是因为奇部在对称区间上的积分恒为 $0$。使用时机：凡遇到 ${\int }_{-a}^a$ 型积分、需要判断复杂函数的奇偶性，或题设中出现 $f(x)+f(-x)$ 型条件，都应先考虑奇偶分解。

复合函数 $y=f(g(x))$ 的单调性由内层与外层单调性的符号相乘决定，通常概括为同增异减：内、外两层同为增或同为减时，复合后递增；一增一减时，复合后递减。
直观解释：单调即保序或反序。增函数保序，减函数反序；反序两次仍为保序，所以减函数与减函数复合反而单调增加。
适用前提：讨论必须限制在适当的区间上，内层 $g$ 的值域应落在所讨论的外层 $f$ 的单调区间之内，两层的区间必须衔接。根据这条法则可以判定复杂函数的单调区间，进而说明反函数的存在性。

如果 $f$ 以 $T$ 为周期，那么 $g(x)=f(ax+b)(a\ne 0)$ 以 $\frac{T}{|a|}$ 为周期，即横向压缩 $|a|$ 倍，周期也缩为原来的 $1/|a|$。因此 $\sin 2x$ 的周期是 $\pi$ 而不是 $2\pi$，$\tan \frac{x}{2}$ 的周期是 $2\pi$。
以下两点必须注意：
1. 取绝对值会使周期折叠：$|\sin x|$ 的最小正周期是 $\pi$，而不是 $2\pi$。这是因为取绝对值后负半周被翻到上方，与正半周重合。
2. 周期函数之和未必是周期函数：设 $f,g$ 的周期分别为 $T_1,T_2$。只有当 $T_1/T_2$ 为有理数时，$f+g$ 才有公共周期，此时取 $T_1,T_2$ 的最小公倍数即可；如果 $T_1/T_2$ 为无理数，例如 $\sin x+\sin \sqrt{2}x$ 中的比值为 $\sqrt{2}$，那么二者之和没有周期。

给出复合关系 $f(g(x))=h(x)$ 而要反求 $f$，有两条途径：
- 凑配法：把右端 $h(x)$ 整体改写成关于 $g(x)$ 的式子，再把 $g(x)$ 看作新的自变量。
- 换元法：令 $t=g(x)$，由此反解出 $x$（用 $t$ 表示），代回 $h(x)$，即得 $f(t)$。
最容易疏忽的是定义域：换元后新自变量 $t=g(x)$ 的取值范围就是所求 $f$ 的定义域，必须一并写出，否则 $f$ 的表达不完整，甚至会导致错误。