函数的极限

§1.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.46 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

13.1 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）数列的极限函数的概念与基本性质③ 掌握后可解锁极限存在准则（夹逼、单调有界）无穷小与无穷大、阶的比较等价无穷小替换两个重要极限函数的连续性与间断点导数与微分的概念多元函数的极限与连续

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 函数极限的定义： $ε - δ$ （ $x \to x_{0}$ ）、 $ε - X$ （ $x \to \infty$ ）与存在 $⟺$ 左右极限相等★★ 必会

① $x \to x_{0}$ 的 $ε - δ$ 定义：设

f (x)

在

x_{0}

的某去心邻域内有定义。如果存在常数

A

，使得对任意

ε > 0

，总存在

δ > 0

，当

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

时恒有

∣ f (x) - A ∣ < ε,

那么称

A

为

f (x)

当

x \to x_{0}

时的极限，记作

x \to x_{0} lim f (x) = A

。这里有三点值得注意：

ε

先行给定且可以任意小，它刻画函数值与极限的接近程度；

δ

随

ε

而定；条件中的

0 < ∣ x - x_{0} ∣

表明极限与 $f$ 在 $x_{0}$ 处是否有定义、取什么值完全无关。

单侧极限：把

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

换成

x_{0} - δ < x < x_{0}

，便得左极限

f (x_{0}^{-}) = x \to x_{0}^{-} lim f (x)

；换成

x_{0} < x < x_{0} + δ

，便得右极限

f (x_{0}^{+})

。

② $x \to \infty$ 的 $ε - X$ 定义：如果对任意

ε > 0

，总存在

X > 0

，当

∣ x ∣ > X

时恒有

∣ f (x) - A ∣ < ε

，那么

x \to \infty lim f (x) = A

。把

∣ x ∣ > X

换成

x > X

（或

x < - X

），即得

x \to + \infty

（或

x \to - \infty

）时的定义。必须注意：考研中

x \to \infty

是指

∣ x ∣ \to + \infty

，即两个方向同时考虑，因此

x \to \infty lim f (x)

存在，要求

x \to + \infty

与

x \to - \infty

时的极限都存在且相等。据此，

x \to \infty lim arctan x

不存在，因为两侧的极限

\pm \frac{π}{2}

不相等；

x \to \infty lim e^{x}

也不存在，因为一侧为

+ \infty

，另一侧为

0

。

③ 存在 $⟺$ 左右极限相等：

x \to x_{0} lim f (x) = A ⟺ f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}^{+}) = A .

处理分段函数的分界点，以及含有

e^{1/ (x - x_{0})}

、

∣ x - x_{0} ∣

、

arctan \frac{1}{x - x _{0}}

、

[x]

这类在两侧表现不同的因子时，都以此为依据，遇到就应分别计算左、右极限。

证明 / 推导

证 ③。（

\Rightarrow

）如果

x \to x_{0} lim f (x) = A

，那么对任意

ε > 0

，存在

δ > 0

，使

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

时

∣ f (x) - A ∣ < ε

。这一条件已经包含了

x_{0} - δ < x < x_{0}

与

x_{0} < x < x_{0} + δ

两侧的情形，因此左、右极限都存在且都等于

A

。

（

\Leftarrow

）设

f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}^{+}) = A

。对任意

ε > 0

：由左极限，存在

δ_{1} > 0

，当

x_{0} - δ_{1} < x < x_{0}

时

∣ f (x) - A ∣ < ε

；由右极限，存在

δ_{2} > 0

，当

x_{0} < x < x_{0} + δ_{2}

时

∣ f (x) - A ∣ < ε

。取

δ = min {δ_{1}, δ_{2}}

，则当

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

时

x

必落在上述两侧之一，从而恒有

∣ f (x) - A ∣ < ε

，这就证明了

x \to x_{0} lim f (x) = A

。

■

举例说明

真题（1992 数一）：当

x \to 1

时，函数

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} e^{\frac{1}{x - 1}}

的极限（A）等于

2

；（B）等于

0

；（C）为

\infty

；（D）不存在但不是

\infty

。

解：先约分，

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1

。因子

e^{\frac{1}{x - 1}}

在两侧的表现不同，故须分别计算：当

x \to 1^{-}

时

\frac{1}{x - 1} \to - \infty

，

e^{\frac{1}{x - 1}} \to 0

，故左极限

= 2 \cdot 0 = 0

；当

x \to 1^{+}

时

\frac{1}{x - 1} \to + \infty

，故右极限为

+ \infty

。左、右极限不相等，由 ③ 知极限不存在；又左侧趋于有限值

0

，并非两侧同时趋于无穷，因此也不是 $\infty$ 。选 D。

易错之处：遇到

e^{\frac{1}{x - x _{0}}}

型因子，必须分别考察左、右两侧，直接代入或笼统地写成

\infty

都是错误的。

2. $ε - δ$ 证明的一般步骤：先限制 $δ$ 以控制系数

用

ε - δ

定义证明

x \to x_{0} lim f (x) = A

时，困难在于

∣ f (x) - A ∣

中除主要因子

∣ x - x_{0} ∣

之外，往往还带有一个随

x

变化的系数因子。通常的做法是让

δ

同时起两个作用：先约定

δ \leq 1

（或另一常数），把

x

限制在

x_{0}

附近，从而把系数因子预先控制成一个常数界；再由

∣ x - x_{0} ∣ < \frac{ε}{界}

使误差小于所给的精度。最后取二者中较小的一个作为

δ

。

证明 / 推导

证 $x \to x_{0} lim x^{2} = x_{0}^{2}$ 。 由

∣ x^{2} - x_{0}^{2} ∣ = ∣ x - x_{0} ∣ ∣ x + x_{0} ∣

可见，

∣ x + x_{0} ∣

就是需要控制的系数。
第一步（控制系数）：先限定

δ \leq 1

。则由

∣ x - x_{0} ∣ < 1 \Rightarrow ∣ x ∣ < ∣ x_{0} ∣ + 1

，于是

∣ x + x_{0} ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ x_{0} ∣ < 2∣ x_{0} ∣ + 1.

第二步（估计误差）：此时

∣ x^{2} - x_{0}^{2} ∣ < (2∣ x_{0} ∣ + 1) ∣ x - x_{0} ∣

。要使它

< ε

，只需

∣ x - x_{0} ∣ < \frac{ε}{2∣ x _{0} ∣ + 1}

。
取 $δ$ ：令

δ = min {1, \frac{ε}{2∣ x _{0} ∣ + 1}}

，则当

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

时两条限制同时成立，从而

∣ x^{2} - x_{0}^{2} ∣ < ε

。

■

3. 海涅归结原则的证明：函数极限 $⟺$ 一切数列极限★ 要懂

归结原则（海涅定理）把函数极限化归为数列极限：

x \to x_{0} lim f (x) = A ⟺ \forall x_{n} \to x_{0} (x_{n} \neq = x_{0}), f (x_{n}) \to A .

正向（

\Rightarrow

）容易理解；用处更大的是反向的逆否形式：要证明函数极限不存在或不等于 $A$ ，只需作出一列

x_{n} \to x_{0}

使

f (x_{n}) \neq \to A

，或者作出两列使

f

的值趋于不同的数。判断振荡型极限（例如

sin \frac{1}{x}

）不存在时，通常都用这一方法。

证明 / 推导

（ $\Rightarrow$ ） 设

x \to x_{0} lim f = A

。任给

x_{n} \to x_{0} (x_{n} \neq = x_{0})

与

ε > 0

：由极限的定义，存在

δ > 0

，使

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

时

∣ f (x) - A ∣ < ε

；又由

x_{n} \to x_{0}

知，存在

N

，使

n > N

时

0 < ∣ x_{n} - x_{0} ∣ < δ

，于是

∣ f (x_{n}) - A ∣ < ε

。因此

f (x_{n}) \to A

。

（ $\Leftarrow$ ，反证） 如果

x \to x_{0} lim f \neq = A

，那么存在

ε_{0} > 0

，使对每个

δ > 0

都有点

x

满足

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

而

∣ f (x) - A ∣ \geq ε_{0}

。依次取

δ = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots

，便得到

x_{n}

满足

0 < ∣ x_{n} - x_{0} ∣ < \frac{1}{n}

（因而

x_{n} \to x_{0}, x_{n} \neq = x_{0}

）且

∣ f (x_{n}) - A ∣ \geq ε_{0}

。于是

f (x_{n}) \neq \to A

，这与一切这样的数列都有

f (x_{n}) \to A

相矛盾。因此

x \to x_{0} lim f = A

。

■

举例说明

例：证

x \to 0 lim cos \frac{1}{x}

不存在。
解：取

x_{n} = \frac{1}{2 nπ} \to 0

，得

cos \frac{1}{x _{n}} = cos 2 nπ = 1 \to 1

；再取

x_{n}^{'} = \frac{1}{( 2 n + 1 ) π} \to 0

，得

cos \frac{1}{x _{n}^{'}} = cos (2 n + 1) π = - 1 \to - 1

。两列都趋于

0

，而相应的函数值却分别趋于

1

与

- 1

，故由归结原则知

x \to 0 lim cos \frac{1}{x}

不存在。

■

4. $lim (f + g)$ 存在， $lim f$ 、 $lim g$ 却可能都不存在★ 要懂

四则运算法则

lim (f \pm g) = lim f \pm lim g

的大前提是 $lim f, lim g$ 各自存在。由此可以得到两条常被忽视的推论：
1. 反向不成立：

lim (f + g)

存在时，

lim f

与

lim g

可能都不存在。例如当

x \to 0

时

\frac{1}{x} + (- \frac{1}{x}) \equiv 0

，极限为

0

，但两项各自都是无穷大。
2. 补一项的方法（这一方向成立）：如果

lim (f + g)

存在且

lim f

存在，那么

lim g = lim (f + g) - lim f

必存在，这是因为

g = (f + g) - f

。
由此可见：遇到复杂的式子，不要急于把它拆成几块分别求极限。只要其中有一块的极限不存在，这样拆分就是不合法的，必须先通分或有理化，把相消的无穷大处理掉。

证明 / 推导

反向不成立的反例：取

f (x) = \frac{1}{x}, g (x) = - \frac{1}{x}

，则

(f + g) (x) \equiv 0

，

x \to 0 lim (f + g) = 0

存在；但

x \to 0 lim f = \infty

与

x \to 0 lim g = \infty

都不是有限数，即都不存在。由此可见，由和的极限存在推不出各加项的极限存在。

补一项这一方向的证明：设

lim (f + g) = S

与

lim f = P

均存在。由于

g = (f + g) - f

，右端两项的极限都存在，故由差的四则运算法则得

lim g = S - P

存在。

■

举例说明

例：求

x \to 0 lim (\frac{1}{sin x} - \frac{1}{x})

。
解：

\frac{1}{sin x}, \frac{1}{x}

当

x \to 0

时各自都是无穷大，不能拆开分别求极限，因为这是

\infty - \infty

型未定式。先通分化成商：

\frac{1}{sin x} - \frac{1}{x} = \frac{x - sin x}{x sin x} .

分子

x - sin x \sim \frac{1}{6} x^{3}

，分母

x sin x \sim x^{2}

，因此

x \to 0 lim \frac{x - sin x}{x sin x} = x \to 0 lim \frac{\frac{1}{6} x ^{3}}{x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{x}{6} = 0.

■

5. 复合函数求极限的换元法则及其前提★★ 必会

求

x \to x_{0} lim f (g (x))

时，常想令

u = g (x)

而化为

u \to u_{0} lim f (u)

（其中

g (x) \to u_{0}

），但这一换元并非无条件成立。下列两个充分条件有其一即可：
(i) 外层 $f$ 在 $u_{0}$ 连续；或
(ii) 在

x_{0}

的某去心邻域内 $g (x) \neq = u_{0}$ 。
为什么要加上这些条件：如果内层

g

在

x_{0}

附近取到了外层的可去间断点

u_{0}

，即

g (x) = u_{0}

而

f (u_{0}) \neq = lim_{u \to u_{0}} f

，那么换元就会得出错误的结果。考研题中

f

多为初等函数，因而连续，条件 (i) 自动满足，可以放心换元；但对抽象函数的题目则须格外注意。

证明 / 推导

下面用反例说明这些条件不可缺少。 设

f (u) = {1, 0, u \neq = 0, u = 0, g (x) \equiv 0.

则

u \to 0 lim f (u) = 1

，但

f (g (x)) = f (0) \equiv 0

，故

x \to 0 lim f (g (x)) = 0 \neq = 1

。这里

f

在

u_{0} = 0

处不连续，且

g (x) \equiv 0

恒等于

u_{0}

，两个条件都不满足，因而换元失效。

■

举例说明

例（条件满足时可放心换元）：求

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + sin x )}{sin x}

。
解：令

u = sin x

，当

x \to 0

时

u \to 0

，且在

0

的去心邻域内

sin x \neq = 0

，即条件 (ii) 成立，故可以换元：

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + sin x )}{sin x} = u \to 0 lim \frac{ln ( 1 + u )}{u} = 1.

■

💡 小知识

lim

这个记号源自拉丁文 limes，意思是边界、界限。柯西最早用文字描述极限，而把它锻造成

ε - δ

这套严丝合缝的逻辑语言的是魏尔斯特拉斯。从此说

x

无限趋近于某个值，不再是含糊其辞的说法，而是可以逐字验证的数学命题。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

f (x) = {2 x + 1, x^{2} - 1, x < 0, x \geq 0,

讨论

x \to 0 lim f (x)

是否存在。难度 1

解.

x = 0

是分段点，两侧表达式不同，必须分左右极限。

左极限（

x \to 0^{-}

，用

2 x + 1

）：

x \to 0^{-} lim (2 x + 1) = 1

。

右极限（

x \to 0^{+}

，用

x^{2} - 1

）：

x \to 0^{+} lim (x^{2} - 1) = - 1

。

由于

f (0^{-}) = 1 \neq = - 1 = f (0^{+})

，左右极限不相等，故

x \to 0 lim f (x)

不存在。

例 2 求

x \to \infty lim \frac{3 x ^{2} - x}{x ^{2} + 1}

。难度 1

解.

x \to \infty

指

∣ x ∣ \to + \infty

，有理分式同除以最高次幂

x^{2}

：

\frac{3 x ^{2} - x}{x ^{2} + 1} = \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x ^{2}}} x \to \infty \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3.

当

x \to + \infty

与

x \to - \infty

时结果都是

3

，故极限存在且等于

3

。

例 3 讨论

x \to 0 lim e^{1/ x}

是否存在。难度 2

解. 含

e^{1/ x}

，

x \to 0

两侧

\frac{1}{x}

走向相反，须分左右。

右极限（

x \to 0^{+}

）：

\frac{1}{x} \to + \infty

，故

e^{1/ x} \to + \infty

；

左极限（

x \to 0^{-}

）：

\frac{1}{x} \to - \infty

，故

e^{1/ x} \to 0

。

右侧趋于

+ \infty

（不是有限值），与左侧的

0

不一致，故

x \to 0 lim e^{1/ x}

不存在。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x)

在区间

[0, + \infty)

上可导，则（　　）

A当 $x \to + \infty lim f (x)$ 存在时， $x \to + \infty lim f^{'} (x)$ 存在.
B当 $x \to + \infty lim f^{'} (x)$ 存在时， $x \to + \infty lim f (x)$ 存在.
C当 $x \to + \infty lim \frac{\int _{0}^{x} f ( t ) d t}{x}$ 存在时， $x \to + \infty lim f (x)$ 存在.
D当 $x \to + \infty lim f (x)$ 存在时， $x \to + \infty lim \frac{\int _{0}^{x} f ( t ) d t}{x}$ 存在.

2022 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x)

满足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{ln x} = 1

，则（　　）

A $f (1) = 0$ .
B $x \to 1 lim f (x) = 0$ .
C $f^{'} (1) = 1$ .
D $x \to 1 lim f^{'} (x) = 1$ .

2022 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

已知数列

{x_{n}}

，其中

- \frac{π}{2} \leq x_{n} \leq \frac{π}{2}

，则（　　）

A当 $n \to \infty lim cos (sin x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim x_{n}$ 存在.
B当 $n \to \infty lim sin (cos x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim x_{n}$ 存在.
C当 $n \to \infty lim cos (sin x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim sin x_{n}$ 存在，但 $n \to \infty lim x_{n}$ 不一定存在.
D当 $n \to \infty lim sin (cos x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim cos x_{n}$ 存在，但 $n \to \infty lim x_{n}$ 不一定存在.

2014 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

下列曲线中有渐近线的是（　　）

A $y = x + sin x$
B $y = x^{2} + sin x$
C $y = x + sin \frac{1}{x}$
D $y = x^{2} + sin \frac{1}{x}$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

x \to \infty lim \frac{sin x}{x} =

（）。

A $1$
B $0$
C不存在
D $\infty$

练习 2 · 选择题

下列极限存在的是（）。

A $x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x}$
B $x \to \infty lim arctan x$
C $x \to 0 lim \frac{1}{x}$
D $x \to 0 lim x sin \frac{1}{x}$

练习 3 · 填空题

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} =

____。

练习 4 · 填空题

x \to - \infty lim \frac{2 x}{x ^{2} + 1} =

____。

1992 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 3 分

当

x \to 1

时，函数

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} e^{\frac{1}{x - 1}}

的极限（　　）

A等于 $2$
B等于 $0$
C为 $\infty$
D不存在但不是 $\infty$

函数的极限

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 函数极限的定义：ε-δ（x→x0​）、ε-X（x→∞）与存在 ⟺ 左右极限相等★★ 必会

2. ε-δ 证明的一般步骤：先限制 δ 以控制系数

3. 海涅归结原则的证明：函数极限 ⟺ 一切数列极限★ 要懂

4. lim(f+g) 存在，limf、limg 却可能都不存在★ 要懂

5. 复合函数求极限的换元法则及其前提★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 函数极限的定义： $ε - δ$ （ $x \to x_{0}$ ）、 $ε - X$ （ $x \to \infty$ ）与存在 $⟺$ 左右极限相等★★ 必会

2. $ε - δ$ 证明的一般步骤：先限制 $δ$ 以控制系数

3. 海涅归结原则的证明：函数极限 $⟺$ 一切数列极限★ 要懂

4. $lim (f + g)$ 存在， $lim f$ 、 $lim g$ 却可能都不存在★ 要懂