两个重要极限

§1.7 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.11 分/卷近 11 年平均

1/11 年出现年份

1.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）极限存在准则（夹逼、单调有界）函数的极限③ 掌握后可解锁极限的计算方法综合

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. $lim (1 + \frac{1}{n})^{n}$ 为什么存在：用单调有界准则的严格证明★ 要懂

复利的例子说明结算越频繁所得越多，却又不会无限增大。但为什么它一定收敛，而不是逐渐趋于

+ \infty

呢？这必须用单调有界准则加以严格证明：

x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}

单调增加且有上界（

< 3

），因而收敛，其极限就定义为

e

。这就是常数

e

的严格来源，也是第二个重要极限的基础。

证明 / 推导

记

x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}

，用二项式定理展开：

x_{n} = k = 0 \sum n (k n) \frac{1}{n ^{k}} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !} \cdot \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{n ^{k}} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !} j = 1 \prod k - 1 (1 - \frac{j}{n}) .

(i) 单调增加。 由

x_{n}

到

x_{n + 1}

：一方面，和式中多出第

k = n + 1

项，它是非负的；另一方面，对每个

k \leq n

，由

1 - \frac{j}{n} < 1 - \frac{j}{n + 1}

知相应的乘积

\prod_{j = 1}^{k - 1} (1 - \frac{j}{n})

变大。因此各项都不减小，总和严格增加，即

x_{n} < x_{n + 1}

。
(ii) 有上界。 每个因子都

\leq 1

，又

k! \geq 2^{k - 1} (k \geq 1)

，于是

x_{n} \leq k = 0 \sum n \frac{1}{k !} \leq 1 + k = 1 \sum n \frac{1}{2 ^{k - 1}} < 1 + 2 = 3.

又

x_{n} \geq 1 + 1 = 2

，这只需取

k = 0, 1

两项。
(iii) 结论。

{x_{n}}

单调增加且有上界，由单调有界准则知它收敛；其极限定义为

e

，且

2 < e < 3

。

■

2. 第一个重要极限的一组推论：可一并推出，不必硬记

由

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

可以导出一族常用的极限：

\frac{tan x}{x} \to 1

、

\frac{arcsin x}{x} \to 1

、

\frac{arctan x}{x} \to 1

、

\frac{1 - cos x}{x ^{2}} \to \frac{1}{2}

。它们都由第一个重要极限经简单的代数变形或换元得到，掌握了推导的方法，就不必逐条硬记，考试时也不致混淆。

证明 / 推导

以下均设

x \to 0

。
$\frac{tan x}{x}$ ：

\frac{tan x}{x} = \frac{sin x}{x} \cdot \frac{1}{cos x} \to 1 \cdot 1 = 1

。
$\frac{1 - cos x}{x ^{2}}$ ：用

1 - cos x = 2 sin^{2} \frac{x}{2}

，得

\frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{2 sin ^{2} ( x /2 )}{x ^{2}} = \frac{1}{2} (\frac{sin ( x /2 )}{x /2})^{2} \to \frac{1}{2} \cdot 1^{2} = \frac{1}{2} .

$\frac{arcsin x}{x}$ ：令

t = arcsin x

，则

x \to 0 \Rightarrow t \to 0

，且

x = sin t

，于是

\frac{arcsin x}{x} = \frac{t}{sin t} \to 1

。
$\frac{arctan x}{x}$ ：令

t = arctan x

，则

x = tan t

，于是

\frac{arctan x}{x} = \frac{t}{tan t} \to 1

。

■

3. $1^{\infty}$ 型的通用公式：先识别底 $\to 1$ 、指数 $\to \infty$ ★★ 必会

凡底数

\to 1

、指数

\to \infty

的

1^{\infty}

型极限，都可以用公式

lim u^{v} = e^{l i m v (u - 1)}

，从而化为求一个普通的极限

lim v (u - 1)

。困难只在于识别类型，并把底数写成

1 +

无穷小的形式。对底数含三角函数或幂函数的复杂情形，这一公式尤为便利。

证明 / 推导

证设在所论的极限过程中

u \to 1

，

v \to \infty

，并设

u > 0

。记

α = u - 1

，则

α \to 0

。先设

α \neq = 0

，把幂改写为

u^{v} = (1 + α)^{v} = [(1 + α)^{\frac{1}{α}}]^{α v} .

由第二个重要极限，当

α \to 0

时

(1 + α)^{1/ α} \to e

。设

lim α v = A

存在且为有限数。上式的底趋于

e

，指数趋于

A

，由幂指函数的连续性得

lim u^{v} = e^{A} = e^{l i m v (u - 1)} .

如果在该过程中

α

可以取到

0

，那么相应地

u = 1

，

u^{v} = 1

，而公式右端为

e^{0} = 1

，二者仍相符。这就证明了所用的公式。

取对数是同一条路. 取对数得

ln u^{v} = v ln (1 + α)

。由

ln (1 + α) \sim α (α \to 0)

得

v ln (1 + α) = α v \cdot \frac{ln ( 1 + α )}{α} ⟶ A \cdot 1 = A,

再由

e^{t}

的连续性得

u^{v} = e^{v l n u} \to e^{A}

。两种做法所依据的是同一件事。

公式的适用条件. 底趋于

1

与指数趋于

\infty

缺一不可。如果

u \to c

而

c \neq = 1

，那么它已不是未定式，可由

c

与指数的趋向直接判定，不能套用此式。如果

v

趋于有限数，那么直接代入即可。又若

lim v (u - 1)

不存在，那么公式给不出结论，应另作处理；若该极限为

+ \infty

或

- \infty

，则同样的推理给出所求极限为

+ \infty

或

0

。

■

举例说明

例 1：求

x \to 0 lim (cos x)^{1/ x^{2}}

。
底数

cos x \to 1

，指数

\frac{1}{x ^{2}} \to + \infty

，故为

1^{\infty}

型。先算指数部分：

v (u - 1) = \frac{1}{x ^{2}} (cos x - 1) = \frac{cos x - 1}{x ^{2}} \to - \frac{1}{2} .

因此

x \to 0 lim (cos x)^{1/ x^{2}} = e^{- 1/2}

。

例 2：求

x \to 0 lim (\frac{sin x}{x})^{1/ x^{2}}

。
底数

\frac{sin x}{x} \to 1

，指数

\to + \infty

，仍为

1^{\infty}

型。

v (u - 1) = \frac{1}{x ^{2}} (\frac{sin x}{x} - 1) = \frac{sin x - x}{x ^{3}} \to - \frac{1}{6} (因 sin x - x \sim - \frac{1}{6} x^{3}) .

因此极限为

e^{- 1/6}

。

■

4. 重要极限的一种变形： $n (n a - 1) \to ln a$

第二个重要极限有一个常被单独考查的对数形式：对

a > 0

，

n \to \infty lim n (n a - 1) = ln a, 等价地 x \to 0 lim \frac{a ^{x} - 1}{x} = ln a .

它表明，开

n

次方后再放大

n

倍，极限恰为

ln a

。许多含根号或含指数的数列极限都可由它求得。就其实质而言，它就是

a^{x} - 1 \sim x ln a

在整数情形下的形式。

证明 / 推导

n a - 1 = e^{(l n a) / n} - 1

。令

u = \frac{ln a}{n} \to 0

，则

n (n a - 1) = n (e^{u} - 1) = ln a \cdot \frac{e ^{u} - 1}{u} u \to 0 ln a \cdot 1 = ln a,

末步用到

\frac{e ^{u} - 1}{u} \to 1

。

■

举例说明

例：求

n \to \infty lim n (n a - n b) (a, b > 0)

。
解：把它拆成上述变形的两个差：

n (n a - n b) = n (n a - 1) - n (n b - 1) \to ln a - ln b = ln \frac{a}{b} .

■

💡 小知识

数 e 最早是雅各布·伯努利在 1683 年研究复利时遇到的。他想知道连续复利到底能赚多少，答案就是 (1+1/n)^n 的极限。后来欧拉用字母 e 为它命名，并把它算到了小数点后十几位。如今它是自然对数的底，也是无处不在的自然常数。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

x \to 0 lim \frac{tan 3 x}{x}

。难度 1

解.

\frac{0}{0}

型且含正切，凑第一个重要极限

□ \to 0 lim \frac{sin □}{□} = 1

。

\frac{tan 3 x}{x} = \frac{sin 3 x}{x cos 3 x} = \frac{sin 3 x}{3 x} \cdot \frac{3}{cos 3 x} .

当

x \to 0

：

\frac{sin 3 x}{3 x} \to 1

，

cos 3 x \to 1

，故极限

= 1 \cdot \frac{3}{1} = 3

。

例 2 求

x \to 0 lim \frac{1 - cos 2 x}{x ^{2}}

。难度 2

解. 用倍角公式

1 - cos 2 x = 2 sin^{2} x

把它化到第一个重要极限的形式：

\frac{1 - cos 2 x}{x ^{2}} = \frac{2 sin ^{2} x}{x ^{2}} = 2 (\frac{sin x}{x})^{2} x \to 0 2 \cdot 1^{2} = 2.

（也可由

1 - cos 2 x \sim \frac{1}{2} (2 x)^{2} = 2 x^{2}

直接得

2

。）

例 3 求

x \to \infty lim (1 + \frac{3}{x})^{2 x}

。难度 2

解. 底数

1 + \frac{3}{x} \to 1

，指数

2 x \to \infty

，是

1^{\infty}

型，用万能公式

lim u^{v} = e^{l i m v (u - 1)}

。

计算指数部分：

v (u - 1) = 2 x \cdot \frac{3}{x} = 6

。故

x \to \infty lim (1 + \frac{3}{x})^{2 x} = e^{6} .

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2018 年 · 数一 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

若

x \to 0 lim (\frac{1 - tan x}{1 + tan x})^{\frac{1}{s i n k x}} = e

，则

k =

______.

2010 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

极限

x \to \infty lim [\frac{x ^{2}}{( x - a ) ( x + b )}]^{x} =

（　　）

A $1$ .
B $e$ .
C $e^{a - b}$ .
D $e^{b - a}$ .

2003 年 · 数一 · 第 1 题 · 填空题 · 4 分

x \to 0 lim (cos x)^{\frac{1}{l n ( 1 + x ^{2} )}} =

___.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

x \to 0 lim \frac{sin 5 x}{3 x} =

（）。

A $\frac{5}{3}$
B $\frac{3}{5}$
C $1$
D $5$

练习 2 · 选择题

x \to \infty lim (1 - \frac{1}{x})^{x} =

（）。

A $e$
B $e^{- 1}$
C $1$
D $e^{2}$

练习 3 · 填空题

x \to 0 lim \frac{sin x}{tan 3 x} =

____。

练习 4 · 填空题

x \to 0 lim (1 + 3 x)^{\frac{1}{x}} =

____。

练习 5 · 选择题

x \to 0 lim (\frac{sin x}{x})^{\frac{1}{x ^{2}}} =

（）。

A $1$
B $e^{- \frac{1}{6}}$
C $e^{- \frac{1}{3}}$
D $e^{\frac{1}{6}}$

练习 6 · 填空题

x \to 0 lim (\frac{1 + tan x}{1 + sin x})^{\frac{1}{x ^{3}}} =

____。

练习 7 · 解答题

求下列极限：

（1）

x \to 0 lim (\frac{1 ^{x} + 2 ^{x} + 3 ^{x}}{3})^{\frac{1}{x}}

；

（2）

n \to \infty lim n [(1 + \frac{1}{n})^{n} - e]

。

1996 年 · 数一 · 第 1 题 · 填空题 · 3 分

设

x \to \infty lim (\frac{x + 2 a}{x - a})^{x} = 8

，则

a =

___.

1995 年 · 数一 · 第 1 题 · 填空题 · 3 分

x \to 0 lim (1 + 3 x)^{\frac{2}{s i n x}} =

___.

1990 年 · 数一 · 第 2 题 · 填空题 · 3 分

设

a

为非零常数，则

x \to \infty lim (\frac{x + a}{x - a})^{x} =

___.

两个重要极限

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. lim(1+n1​)n 为什么存在：用单调有界准则的严格证明★ 要懂

2. 第一个重要极限的一组推论：可一并推出，不必硬记

3. 1∞ 型的通用公式：先识别底 →1、指数 →∞★★ 必会

4. 重要极限的一种变形：n(na​−1)→lna

基础例题

真题精选

随堂练习

1. $lim (1 + \frac{1}{n})^{n}$ 为什么存在：用单调有界准则的严格证明★ 要懂

3. $1^{\infty}$ 型的通用公式：先识别底 $\to 1$ 、指数 $\to \infty$ ★★ 必会

4. 重要极限的一种变形： $n (n a - 1) \to ln a$