两个重要极限

高等数学 · 函数、极限、连续

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 第一个重要极限： $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1.

它的来源是单位圆上的一组面积不等式：当

0 < x < \frac{π}{2}

时

sin x < x < tan x,

三边同除

sin x

再取倒数得

cos x < \frac{sin x}{x} < 1

，两边都趋于

1

，由夹逼准则即得。所以这个极限是夹逼准则的产物，不是硬记的公式。

用它时真正要紧的不是式子本身，而是结构：

□ \to 0 lim \frac{sin □}{□} = 1,

其中

□

可以是任何趋于

0

的式子——

3 x

、

x^{2}

、

sin x

都行。判据只有一条： $sin$ 里面的东西和分母上的东西必须是同一个，而且都要趋于 $0$ 。

这也解释了为什么

x \to \infty lim \frac{sin x}{x}

不是

1

：那里

x \to \infty

，结构不对，它等于

0

（有界量除以无穷大）。

2. 由它一并推出的几个常用极限

下面几个不必单独记，都能从第一个重要极限两三步推出来（

x \to 0

）：

x \to 0 lim \frac{tan x}{x} x \to 0 lim \frac{arcsin x}{x} x \to 0 lim \frac{arctan x}{x} x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = 1, = 1, = 1, = \frac{1}{2} .

推法各一句：

\frac{tan x}{x} = \frac{sin x}{x} \cdot \frac{1}{cos x}

，两个因子分别趋于

1

与

1

；

arcsin x

与

arctan x

令

t = arcsin x

（或

arctan x

）换元即化为前面的形式。

最后一个要单独留神，它是二阶的。用半角公式

1 - cos x = 2 sin^{2} \frac{x}{2}

代入即得

\frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2} (\frac{sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})^{2} \to \frac{1}{2}

。

分母是 $x^{2}$ 不是 $x$ ，系数是 $\frac{1}{2}$ 不是 $1$ ——这两处是最常见的错记。

3. 第二个重要极限： $x \to \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$

x \to \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e .

数列版

n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e

的存在性正是用单调有界准则证的——这个数列单调增加且有上界，所以收敛，收敛到的那个数就定义为

e

。

换一个写法常常更好用：令

t = \frac{1}{x}

，当

x \to \infty

时

t \to 0

，于是

t \to 0 lim (1 + t)^{\frac{1}{t}} = e .

两种写法的结构是同一件事：

lim (1 + □)^{\frac{1}{□}} = e (□ \to 0) .

括号里加的那一块与指数互为倒数，而且那一块要趋于

0

。记住这个形状，后面所有

1^{\infty}

型的题都是往它上面凑。

4. $1^{\infty}$ 型的通用做法：先认型，再凑形状

遇到幂指形式

lim u (x)^{v (x)}

，先看底和指数各自的极限：

u \to a > 0, v \to b u \to 1, v \to \infty 其余 直接得 a^{b} 1^{\infty} 型，须变形 按常规处理

认定是

1^{\infty}

之后，做法只有一条路：把底写成

1 + α

（

α \to 0

），再凑成

[(1 + α)^{\frac{1}{α}}]^{α v} .

方括号内趋于

e

，于是整体趋于

e^{l i m α v}

。写成一条公式就是

lim u^{v} = e^{l i m (u - 1) v} (u \to 1, v \to \infty) .

先确认是 $1^{\infty}$ 型再用这条公式，底数不趋于

1

时它是错的。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

用第一个重要极限：让 $sin$ 里的和分母上的一致

第一步：看

sin

里面是什么（记作

□

），确认

□ \to 0

。

第二步：把分母凑成同一个

□

——缺什么乘什么，再在外面除回来。

第三步：

\frac{sin □}{□} \to 1

，剩下的常数就是答案。

\frac{sin 3 x}{x} = 3 \cdot \frac{sin 3 x}{3 x} \to 3

。

例例. 求

x \to 0 lim \frac{sin 5 x}{tan 3 x}

。

第一步，

sin

里是

5 x \to 0

✓。分母先把

tan

拆开：

\frac{sin 5 x}{tan 3 x} = \frac{sin 5 x}{sin 3 x} \cdot cos 3 x .

第二步，上下各自凑成「

sin □

比

□

」——缺什么乘什么，再在外面除回来：

= \frac{\frac{s i n 5 x}{5 x}}{\frac{s i n 3 x}{3 x}} \cdot \frac{5 x}{3 x} \cdot cos 3 x .

第三步，两个商都趋于

1

，

cos 3 x \to 1

，剩下的常数就是答案：

\frac{5}{3}

。

变式：若题目是

x \to π lim \frac{sin x}{π - x}

，第一步就不通过——

x \to π

时

sin

里的

x

不趋于

0

。先换元

t = π - x

，由

sin x = sin (π - t) = sin t

化成

t \to 0 lim \frac{sin t}{t} = 1

。

用第二个重要极限：让括号里加的那块与指数互为倒数

第一步：把底写成

1 + α

的样子，确认

α \to 0

。

第二步：指数上凑出

\frac{1}{α}

——缺什么乘什么，多出来的写在方括号外面。

第三步：方括号内趋于

e

，外面那个指数的极限就是

e

的方次。

(1 + \frac{2}{x})^{x} = [(1 + \frac{2}{x})^{\frac{x}{2}}]^{2} \to e^{2}

。

例例. 求

x \to \infty lim (\frac{x - 1}{x + 1})^{x}

。

第一步，把底凑成

1 + α

：

\frac{x - 1}{x + 1} = 1 + \frac{- 2}{x + 1}, α = \frac{- 2}{x + 1} \to 0 ✓

第二步，指数上凑出

\frac{1}{α} = - \frac{x + 1}{2}

，多出来的写在方括号外面：

(1 + α)^{x} = [(1 + α)^{\frac{1}{α}}]^{α x} .

第三步，方括号内趋于

e

；外面的指数

α x = \frac{- 2 x}{x + 1} ⟶ - 2,

所以极限是

e^{- 2}

。

检查：底是从小于

1

的一侧趋于

1

的，结果

e^{- 2} < 1

，方向对得上。

幂指函数：先定型，再决定走哪条路

第一步：分别求底

u

与指数

v

的极限。

第二步：底趋于一个正的有限数、指数趋于有限数，直接代入收工。

第三步：底趋于

1

、指数趋于

\infty

，是

1^{\infty}

型，用

e^{l i m (u - 1) v}

。

第四步：其余情形（如底趋于

0

或

\infty

）按常规或取对数处理。

例例. 求

x \to 0 lim (cos x)^{\frac{1}{x ^{2}}}

。

第一步，分别求两块：底

cos x \to 1

，指数

\frac{1}{x ^{2}} \to + \infty

。

第二步，底不是趋于「正的有限数」那一档，不能直接代入。

第三步，是

1^{\infty}

型，套

e^{l i m (u - 1) v}

：

(u - 1) v = (cos x - 1) \cdot \frac{1}{x ^{2}},

而

x \to 0

时

cos x - 1 \sim - \frac{x ^{2}}{2}

，于是这个极限是

- \frac{1}{2}

，所以

x \to 0 lim (cos x)^{\frac{1}{x ^{2}}} = e^{- \frac{1}{2}} .

对照：若问的是

x \to 0 lim (\frac{1 + x}{2})^{3 + x}

，底趋于

\frac{1}{2}

、指数趋于

3

，第二步就直接代入得

\frac{1}{8}

，根本不用

1^{\infty}

的公式。定型是为了选路，不是走过场。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

不看过程就套 $\frac{sin x}{x} \to 1$

第一个重要极限要求

sin

里的量趋于 $0$ 。

x \to \infty lim \frac{sin x}{x} = 0

，不是

1

。

动笔前先把箭头抄下来看一眼：

x \to 0

才轮得到这个极限，

x \to \infty

该用有界乘无穷小。

$sin$ 里的和分母上的不是同一个就直接约

\frac{sin 3 x}{x}

的极限是

3

不是

1

。结构式要求两处完全一致，不一致就先凑：缺什么乘什么，再在外面除回来。

检查办法：写完之后指着式子念一遍「

sin

里是

3 x

，分母也是

3 x

」。

$1 - cos □$ 的系数与幂次记错

1 - cos x \sim \frac{x ^{2}}{2}

：分母是 $x$ 的平方，系数是 $\frac{1}{2}$ 。代整块时幂次要一起算——

1 - cos 3 x \sim \frac{9 x ^{2}}{2}

，不是

\frac{3 x ^{2}}{2}

。

这一条在后面做等价代换时天天用，现在记错，后面每道题都跟着错。

$1^{\infty}$ 型直接把底的极限取成 $1$

底只是趋于

1

，不等于

1

；那点差距会被无穷大的指数放大成

e

的方次。

(1 + \frac{1}{x})^{x} \to e

而不是

1

，这正是未定式的意思。认出

1^{\infty}

就老老实实凑形状，或用

e^{l i m (u - 1) v}

。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认出结构

练 1

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} =

________。

练 2

x \to \infty lim \frac{sin x}{x} =

（）。

A $1$
B不存在
C $\infty$
D $0$

练 3

x \to 0 lim \frac{tan x}{x} =

________。

练 4

x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} =

（）。

A $1$
B $2$
C $0$
D $\frac{1}{2}$

第二组 · 凑形状

练 5

x \to 0 lim \frac{sin 5 x}{x} =

________。

练 6

x \to 0 lim \frac{sin 2 x}{sin 3 x} =

________。

练 7

x \to \infty lim (1 + \frac{3}{x})^{x} =

（）。

A $e$
B $3 e$
C $1$
D $e^{3}$

练 8

x \to 0 lim (1 + x)^{\frac{1}{x}} =

________。

第三组 · 定型与综合

练 9

下列极限中，属于

1^{\infty}

型的是（）。

A $x \to 0 lim (1 + x)^{2}$
B $x \to \infty lim (\frac{1}{2})^{x}$
C $x \to 0 lim x^{x}$
D $x \to \infty lim (\frac{x}{x + 1})^{x}$

练 10

x \to 0 lim (1 + 3 x)^{\frac{2}{x}} =

________（用

e

表示）。

练 11

x \to 0 lim \frac{1 - cos 2 x}{x ^{2}} =

（）。

A $\frac{1}{2}$
B $2$
C $1$
D $4$

练 12

x \to \infty lim (\frac{x + 2}{x})^{3 x} =

________（用

e

表示）。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

两个重要极限

先打基础

1. 第一个重要极限：x→0lim​xsinx​=1

2. 由它一并推出的几个常用极限

3. 第二个重要极限：x→∞lim​(1+x1​)x=e

4. 1∞ 型的通用做法：先认型，再凑形状

常用结构

用第一个重要极限：让 sin 里的和分母上的一致

用第二个重要极限：让括号里加的那块与指数互为倒数

幂指函数：先定型，再决定走哪条路

基础易错

不看过程就套 xsinx​→1

sin 里的和分母上的不是同一个就直接约

1−cos□ 的系数与幂次记错

1∞ 型直接把底的极限取成 1

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

1. 第一个重要极限： $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

3. 第二个重要极限： $x \to \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$

4. $1^{\infty}$ 型的通用做法：先认型，再凑形状

用第一个重要极限：让 $sin$ 里的和分母上的一致

不看过程就套 $\frac{sin x}{x} \to 1$

$sin$ 里的和分母上的不是同一个就直接约

$1 - cos □$ 的系数与幂次记错

$1^{\infty}$ 型直接把底的极限取成 $1$