两个重要极限

§1.7 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.56 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

1.8 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）极限存在准则（夹逼、单调有界）函数的极限③ 掌握后可解锁极限的计算方法综合

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 第二个重要极限中的 $e$ 为什么存在：用单调有界准则给出严格证明

按复利的说法，结算越频繁，所得的本利和越多，但又不会无限增大。那么为什么

(1 + \frac{1}{n})^{n}

一定收敛，而不是趋于

+ \infty

呢？这需要用单调有界准则证明它单调增加且有上界（

< 3

），因而收敛，并把它的极限定义为

e

。这就是常数

e

的严格来源，也是第二个重要极限的基础。

证明 / 推导

记

x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}

，用二项式定理把它展开成有限项之和：

x_{n} = k = 0 \sum n (k n) \frac{1}{n ^{k}} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !} \cdot \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{n ^{k}} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !} j = 1 \prod k - 1 (1 - \frac{j}{n}) .

(i) 单调增加. 由

x_{n}

到

x_{n + 1}

，一方面求和中多出第

k = n + 1

项，而该项非负；另一方面对每个

k

，因

1 - \frac{j}{n} < 1 - \frac{j}{n + 1}

，相应的乘积也变大。故

x_{n} < x_{n + 1}

。
(ii) 有上界. 每个因子都

\leq 1

，又

k! \geq 2^{k - 1} (k \geq 1)

，于是

x_{n} \leq k = 0 \sum n \frac{1}{k !} \leq 1 + k = 1 \sum n \frac{1}{2 ^{k - 1}} < 1 + 2 = 3.

(iii) 结论. 数列单调增加且有上界，由单调有界准则知它收敛，把这个极限记为

e

，且

2 < e < 3

。

■

2. 第一个重要极限的几何夹逼证明，以及它为什么不能用洛必达法则

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

的标准证法是几何夹逼，即比较三块面积的大小。这里有一点必须注意：这个极限是推导

(sin x)^{'} = cos x

的依据，因此在证明它时不能使用洛必达法则，否则就成了用结论去证明前提的循环论证。凡是涉及这一极限的证明题，都必须用夹逼准则，不能改用求导。

证明 / 推导

取较小的圆心角

x \in (0, \frac{π}{2})

，在单位圆中比较三块面积的大小：

△ O A B <

扇形

O A B < △ O A C

，即

\frac{1}{2} sin x < \frac{1}{2} x < \frac{1}{2} tan x .

各式同除以

\frac{1}{2} sin x > 0

，得

1 < \frac{x}{sin x} < \frac{1}{cos x}

，再取倒数，得

cos x < \frac{sin x}{x} < 1.

当

x \to 0^{+}

时

cos x \to 1

，由夹逼准则知右极限为

1

；又

\frac{sin x}{x}

是偶函数，故左极限也是

1

。所以

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

。

■

3. $1^{\infty}$ 型的通用公式 $lim u^{v} = e^{l i m v (u - 1)}$ ：比人工配凑更有章可循，也更不易出错★★ 必会

凡是底

\to 1

、指数

\to \infty

的

1^{\infty}

型极限，一律使用

lim u^{v} = e^{l i m v (u - 1)}

，就把问题化为求一个普通极限

lim v (u - 1)

。对底数中含有三角函数或幂函数的复杂情形，这一公式尤为方便，可以避免人工配凑

(1 + \frac{1}{□})^{□}

这一容易出错的过程。

证明 / 推导

公式的推导. 对

u^{v}

取对数，得

u^{v} = e^{v l n u}

。当

u \to 1

时，令

u - 1 \to 0

，由等价无穷小

ln u = ln (1 + (u - 1)) \sim u - 1

，故指数

v ln u \sim v (u - 1)

，于是

lim u^{v} = e^{l i m v l n u} = e^{l i m v (u - 1)} .

■

举例说明

例. 求

x \to 0 lim (cos x)^{1/ x^{2}}

。
解. 这里底

cos x \to 1

，指数

\frac{1}{x ^{2}} \to + \infty

，属

1^{\infty}

型。因

v (u - 1) = \frac{1}{x ^{2}} (cos x - 1) = \frac{cos x - 1}{x ^{2}} \to - \frac{1}{2} (因 1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}) .

故

x \to 0 lim (cos x)^{1/ x^{2}} = e^{- 1/2}

。

4. 两个重要极限最常见的混用错误★ 要懂

第一个极限的误用：

x \to \infty lim \frac{sin x}{x} = 0

（这里是有界函数

\times

无穷小，且

x \to \infty

），它不是第一个重要极限；后者要求分子与分母是同一个趋于 $0$ 的量，且极限过程是

x \to 0

。第二个极限的误用：使用

e

以前，必须核实它确实是底

\to 1

、指数

\to \infty

的

1^{\infty}

型；如果底数并不趋于

1

（例如

2^{x}

），那么与这个公式无关。因此在使用之前先看清类型与极限过程，才能避免出错。

举例说明

例（对比）. (1)

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

（第一个重要极限，

x \to 0

）。(2)

x \to \infty lim \frac{sin x}{x} = 0

（有界函数

\times

无穷小，

x \to \infty

）。(3)

x \to 0 lim (1 + x)^{1/ x} = e

，而

x \to 0 lim (1 + x)^{x} = 1

（后者的指数

x \to 0

，底

\to 1

，属

1^{0}

型而非

1^{\infty}

型，故直接得

1

）。这三组式子写法上只差一点，结论却完全不同。

💡 小知识

数 e 最早是雅各布·伯努利在 1683 年研究复利时碰上的。他问的是连续复利到底能赚多少，答案就是 (1+1/n)^n 的极限。后来欧拉用字母 e 给它命名，还把它算到了小数点后十几位。如今它是自然对数的底，也是各个领域里到处都能遇到的常数。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

x \to 0 lim \frac{sin 4 x}{sin 3 x}

。难度 1

解.

\frac{0}{0}

型，凑第一个重要极限

□ \to 0 lim \frac{sin □}{□} = 1

。给分子分母各配上「同一个趋于

0

的角」：

\frac{sin 4 x}{sin 3 x} = \frac{sin 4 x}{4 x} \cdot \frac{3 x}{sin 3 x} \cdot \frac{4 x}{3 x} .

当

x \to 0

：

\frac{sin 4 x}{4 x} \to 1

、

\frac{3 x}{sin 3 x} \to 1

，故

x \to 0 lim \frac{sin 4 x}{sin 3 x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3} .

（也可直接等价替换

sin 4 x \sim 4 x, sin 3 x \sim 3 x

得

\frac{4}{3}

。）

例 2 求

x \to 0 lim \frac{1 - cos 3 x}{x ^{2}}

。难度 1

解. 用第一重要极限的推论

□ \to 0 lim \frac{1 - cos □}{□ ^{2}} = \frac{1}{2}

，取

□ = 3 x

：

\frac{1 - cos 3 x}{x ^{2}} = \frac{1 - cos 3 x}{( 3 x ) ^{2}} \cdot \frac{( 3 x ) ^{2}}{x ^{2}} = \frac{1 - cos 3 x}{( 3 x ) ^{2}} \cdot 9.

当

x \to 0

，第一个因子

\to \frac{1}{2}

，故

x \to 0 lim \frac{1 - cos 3 x}{x ^{2}} = \frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{9}{2} .

（即

1 - cos 3 x \sim \frac{1}{2} (3 x)^{2} = \frac{9}{2} x^{2}

。）

例 3 求

x \to \infty lim (1 + \frac{2}{x})^{3 x}

。难度 2

解. 底数

1 + \frac{2}{x} \to 1

、指数

3 x \to \infty

，是

1^{\infty}

型，用万能公式

lim u^{v} = e^{l i m v (u - 1)}

。

算指数部分：

v (u - 1) = 3 x \cdot \frac{2}{x} = 6.

故

x \to \infty lim (1 + \frac{2}{x})^{3 x} = e^{6} .

例 4 求

x \to 0 lim (1 + sin x)^{1/ x}

。难度 2

解. 底数

1 + sin x \to 1

、指数

\frac{1}{x} \to \infty

，是

1^{\infty}

型，套

lim u^{v} = e^{l i m v (u - 1)}

。

算指数部分（用

sin x \sim x

）：

v (u - 1) = \frac{1}{x} \cdot sin x = \frac{sin x}{x} x \to 0 1.

故

x \to 0 lim (1 + sin x)^{1/ x} = e^{1} = e .

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2022 年 · 数二 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

x \to 0 lim (\frac{1 + e ^{x}}{2})^{c o t x} =

___。

2020 年 · 数二 · 第 15 题 · 解答题 · 10 分

求曲线

y = \frac{x ^{1 + x}}{( 1 + x ) ^{x}} (x > 0)

的斜渐近线方程。

2019 年 · 数二 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

x \to 0 lim (x + 2^{x})^{\frac{2}{x}} =

___。

2015 年 · 数二 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

函数

f (x) = t \to 0 lim (1 + \frac{sin t}{x})^{\frac{x ^{2}}{t}}

在

(- \infty, + \infty)

内（　　）

A连续
B有可去间断点
C有跳跃间断点
D有无穷间断点

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

x \to 0 lim \frac{tan 5 x}{x} =

（）。

A $5$
B $1$
C $\frac{1}{5}$
D $0$

练习 2 · 选择题

x \to \infty lim (1 + \frac{1}{2 x})^{x} =

（）。

A $e$
B $e$
C $e^{2}$
D $1$

练习 3 · 填空题

x \to 0 lim \frac{sin x ^{2}}{x ^{2}} =

____。

练习 4 · 填空题

x \to 0 lim (1 - 2 x)^{1/ x} =

____。

练习 5 · 选择题

x \to 0 lim (\frac{sin x}{x})^{\frac{1}{1 - c o s x}} =

（　　）。

A $e^{- \frac{1}{3}}$
B $e^{- \frac{1}{6}}$
C $e^{- \frac{1}{2}}$
D $1$

练习 6 · 填空题

x \to 0 lim (\frac{1 + tan x}{1 + sin x})^{\frac{1}{x ^{3}}} =

____。

练习 7 · 解答题

设

f (x) = (\frac{1 + x}{1 - x})^{\frac{1}{x}} (x \neq = 0, ∣ x ∣ < 1)

。

(1) 求

x \to 0 lim f (x)

，并补充定义

f (0)

使

f

在

x = 0

处连续；

(2) 在 (1) 的定义下，求

x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x ^{2}}

。

2013 年 · 数二 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

x \to 0 lim [2 - \frac{ln ( 1 + x )}{x}]^{\frac{1}{x}} =

___。

2006 年 · 数二 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

设数列

{x_{n}}

满足

0 < x_{1} < π

，

x_{n + 1} = sin x_{n} (n = 1, 2, \dots)

。

（Ⅰ）证明

n \to \infty lim x_{n}

存在，并求该极限；
（Ⅱ）计算

n \to \infty lim (\frac{x _{n + 1}}{x _{n}})^{\frac{1}{x _{n}^{2}}}

。

两个重要极限

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 第二个重要极限中的 e 为什么存在：用单调有界准则给出严格证明

2. 第一个重要极限的几何夹逼证明，以及它为什么不能用洛必达法则

3. 1∞ 型的通用公式 limuv=elimv(u−1)：比人工配凑更有章可循，也更不易出错★★ 必会

4. 两个重要极限最常见的混用错误★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 第二个重要极限中的 $e$ 为什么存在：用单调有界准则给出严格证明

3. $1^{\infty}$ 型的通用公式 $lim u^{v} = e^{l i m v (u - 1)}$ ：比人工配凑更有章可循，也更不易出错★★ 必会