函数的极限

§1.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.24 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

20.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）数列的极限函数的概念与基本性质③ 掌握后可解锁极限存在准则（夹逼、单调有界）无穷小与无穷大、阶的比较等价无穷小替换两个重要极限函数的连续性与间断点导数与微分的概念多元函数的极限与连续

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 去心条件 $0 < ∣ x - x_{0} ∣$ 的作用：极限与 $f (x_{0})$ 无关★ 要懂

ε - δ

定义中写的是

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

，其中的

0 <

把

x = x_{0}

这一点排除在外。因此，函数在

x_{0}

处有没有定义、定义成什么数值，都不影响极限。极限所刻画的是

x

趋近过程中

f

的变化趋势，而不是它在终点那一点的取值。正是因为如此，

\frac{sin x}{x}

虽然在

x = 0

处没有定义，却仍有极限

1

。与此形成对照的是后面将要讲的连续

=

极限值恰好等于函数值，那时函数在该点的取值就起作用了。

举例说明

例. 设

f (x) = {x + 2, 100, x \neq = 1 x = 1

，求

x \to 1 lim f (x)

。
解. 求

x \to 1

时的极限，只需考察

x \neq = 1

的那一部分，此时

f (x) = x + 2

，故

x \to 1 lim f (x) = 1 + 2 = 3

。虽然

f (1) = 100

被特意取成一个与趋势毫不相干的数，极限仍然是

3

，因为求极限时根本不涉及

f (1)

。

2. 左极限 $=$ 右极限 $= A$ 是极限存在的判别法：哪些结构必须分左右讨论★★ 必会

x \to x_{0} lim f (x) = A ⟺ f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}^{+}) = A

。如果函数在某点两侧的表达式或性态不同，就应当分别考察左右极限。常见的有四种情形：(1) 含

∣ x ∣

、

\frac{∣ x ∣}{x}

或取整函数

[x]

的分界点；(2) 分段函数的分段点；(3)

e^{1/ x}

、

arctan \frac{1}{x}

在

x \to 0

时，因为

\frac{1}{x} \to \pm \infty

从两侧趋向的方向相反；(4)

x \to \infty

时式中含有

arctan x

、

e^{x}

，它们在

\pm \infty

处的表现不同。只有左右极限相等，极限才存在，否则极限不存在。

证明 / 推导

证. 设

f

在

x_{0}

的某个去心邻域内有定义。按定义，

x \to x_{0} lim f (x) = A

是指：对任意

ε > 0

，存在

δ > 0

，使当

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

时恒有

∣ f (x) - A ∣ < ε

。左、右极限的定义只把

x

的范围换成

x_{0} - δ < x < x_{0}

与

x_{0} < x < x_{0} + δ

。由绝对值的意义，

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ ⟺ x_{0} - δ < x < x_{0} 或 x_{0} < x < x_{0} + δ,

即去心邻域恰由两个半邻域拼成。

（

\Rightarrow

）设极限存在且等于

A

。对任意

ε > 0

，取定义中的

δ

。当

x_{0} < x < x_{0} + δ

时，

x

满足

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

，故

∣ f (x) - A ∣ < ε

，即

f (x_{0}^{+}) = A

；当

x_{0} - δ < x < x_{0}

时同理得

f (x_{0}^{-}) = A

。

（

\Leftarrow

）设

f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}^{+}) = A

。对任意

ε > 0

，由右极限，存在

δ_{2} > 0

，使当

x_{0} < x < x_{0} + δ_{2}

时

∣ f (x) - A ∣ < ε

。由左极限，存在

δ_{1} > 0

，使当

x_{0} - δ_{1} < x < x_{0}

时

∣ f (x) - A ∣ < ε

。这两个数一般并不相等，只取其中之一，另一侧未必受到控制。为此令

δ = min {δ_{1}, δ_{2}} > 0

，两条限制便同时生效。于是当

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

时，

x

必落在某一侧的半邻域内，从而恒有

∣ f (x) - A ∣ < ε

。这就证明了

x \to x_{0} lim f (x) = A

。

■

由此可见，两个单侧极限必须都存在，且必须趋于同一个数。前者保证

δ_{1}

与

δ_{2}

都存在。后者保证推理中全程只用一个

A

。此外，若

f

只在

x_{0}

的一侧有定义，则双侧极限无从谈起。例如

x

在

x = 0

处只能讨论右极限。

举例说明

例. 求

x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x}

与

x \to 0^{+} lim [x]

，并判断

x \to 0 lim \frac{1}{1 + 2 ^{1/ x}}

是否存在。
解. 先看

\frac{∣ x ∣}{x}

。当

x > 0

时它等于

1

，当

x < 0

时它等于

- 1

。因此右极限为

1

，左极限为

- 1

。两者不相等，所以

x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x}

不存在。
再看

[x]

。当

0 < x < 1

时

[x] = 0

，因此

x \to 0^{+} lim [x] = 0

。题中只要求右极限。当

- 1 < x < 0

时

[x] = - 1

，左极限为

- 1

，可见

x = 0

也是

[x]

的分界点，双侧极限并不存在。
最后考察

\frac{1}{1 + 2 ^{1/ x}}

。当

x \to 0^{+}

时

2^{1/ x} \to + \infty

，函数值

\to 0

；当

x \to 0^{-}

时

2^{1/ x} \to 0

，函数值

\to \frac{1}{1 + 0} = 1

。左右极限

0 \neq = 1

，所以该极限不存在，

x = 0

是跳跃间断点。

3. $x \to \infty$ 意味着 $∣ x ∣ \to + \infty$ ：必须 $+ \infty$ 与 $- \infty$ 两侧趋于同一个值★★ 必会

初学时常把

x \to \infty

误认为就是

x \to + \infty

。事实上

x \to \infty

是指

∣ x ∣

无限增大，两个方向都要考虑：

x \to \infty lim f = A ⟺ x \to + \infty lim f = x \to - \infty lim f = A

。凡是式中含有

arctan x

、

e^{x}

、

x^{2} = ∣ x ∣

这类在

\pm \infty

处表现不同的函数，都必须分两侧讨论。

证明 / 推导

反例： $x \to \infty lim arctan x$ 不存在。 根据

arctan

的定义与图像，

x \to + \infty lim arctan x = \frac{π}{2}

，而

x \to - \infty lim arctan x = - \frac{π}{2}

。两侧的极限

\frac{π}{2} \neq = - \frac{π}{2}

，所以

x \to \infty lim arctan x

不存在。如果题目写的是

x \to + \infty

，答案才是

\frac{π}{2}

，因此必须看清趋近的方向。

■

4. 归结原则（海涅定理）：把函数极限化为数列极限，用来证明极限不存在

x \to x_{0} lim f (x) = A ⟺

对任意满足

x_{n} \to x_{0} (x_{n} \neq = x_{0})

的数列都有

f (x_{n}) \to A

。这条定理把函数极限化归为数列极限，从而把两者联系起来。它最常用于证明极限不存在：只要找到两个数列

x_{n} \to x_{0}

与

x_{n}^{'} \to x_{0}

，使

f (x_{n})

与

f (x_{n}^{'})

趋于不同的值即可。

证明 / 推导

例：证 $x \to 0 lim sin \frac{1}{x}$ 不存在。 取两个都趋于

0

的数列：

x_{n} sin \frac{1}{x _{n}} = \frac{1}{2 nπ} \to 0 = sin (2 nπ) = 0 \to 0;

x_{n}^{'} sin \frac{1}{x _{n}^{'}} = \frac{1}{2 nπ + \frac{π}{2}} \to 0 = sin (2 nπ + \frac{π}{2}) = 1 \to 1.

两个数列所对应的函数值分别趋于

0

与

1

，二者不相等，根据归结原则，

x \to 0 lim sin \frac{1}{x}

不存在。这是一个振荡型的例子。

■

💡 小知识

极限记号

lim

源自拉丁文 limes，意思是边界、界限。柯西最早用文字描述极限，而把它锻造成

ε - δ

这套严丝合缝的逻辑语言的是魏尔斯特拉斯。从此说

x

无限趋近某个值，不再是一句含糊的比喻，而是可以逐字验证的数学命题。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

。难度 1

解. 直接代入分母为

0

、分子也为

0

，是

\frac{0}{0}

型。注意极限是去心过程（

x \to 1

但

x \neq = 1

），故

x - 1 \neq = 0

，可约分：

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x + 1 (x \neq = 1) .

于是

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x \to 1 lim (x + 1) = 2.

（能约分正是因为

x \to 1

时不看

x = 1

那一点。）

例 2 设

f (x) = {x + 1, x^{2}, x < 0 x \geq 0

，讨论

x \to 0 lim f (x)

是否存在。难度 1

解.

x = 0

是分段点，左右两侧表达式不同，须分别求左、右极限。

左极限（

x \to 0^{-}

，用

x + 1

）：

x \to 0^{-} lim (x + 1) = 0 + 1 = 1

。

右极限（

x \to 0^{+}

，用

x^{2}

）：

x \to 0^{+} lim x^{2} = 0

。

因

f (0^{-}) = 1 \neq = 0 = f (0^{+})

，左右极限不相等，故

x \to 0 lim f (x)

不存在。

例 3 求

x \to \infty lim \frac{2 x ^{2} - x + 1}{3 x ^{2} + 5}

。难度 2

解.

\frac{\infty}{\infty}

型，分子分母同除以最高次幂

x^{2}

：

\frac{2 x ^{2} - x + 1}{3 x ^{2} + 5} = \frac{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}}}{3 + \frac{5}{x ^{2}}} .

当

x \to \infty

时

\frac{1}{x}, \frac{1}{x ^{2}} \to 0

，故

x \to \infty lim \frac{2 x ^{2} - x + 1}{3 x ^{2} + 5} = \frac{2}{3} .

（结论：

x \to \infty

时抓最高次项，极限为最高次项系数之比

\frac{2}{3}

。）

例 4 讨论

x \to 0 lim e^{1/ x}

是否存在。难度 2

解. 含

e^{1/ x}

，而

\frac{1}{x}

在

x = 0

两侧走向相反，必须分左右。

右极限（

x \to 0^{+}

，

\frac{1}{x} \to + \infty

）：

x \to 0^{+} lim e^{1/ x} = e^{+ \infty} = + \infty

。

左极限（

x \to 0^{-}

，

\frac{1}{x} \to - \infty

）：

x \to 0^{-} lim e^{1/ x} = e^{- \infty} = 0

。

右极限为

+ \infty

（不存在有限值）、左极限为

0

，两侧不一致，故

x \to 0 lim e^{1/ x}

不存在。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数二 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x)

连续，给出下列四个条件：

①

x \to 0 lim \frac{∣ f ( x ) ∣ - f ( 0 )}{x}

存在；　②

x \to 0 lim \frac{f ( x ) - ∣ f ( 0 ) ∣}{x}

存在；

③

x \to 0 lim \frac{∣ f ( x ) ∣}{x}

存在；　④

x \to 0 lim \frac{∣ f ( x ) ∣ - ∣ f ( 0 ) ∣}{x}

存在。

其中能得到「

f (x)

在

x = 0

处可导」的条件个数是（　　）

A $1$
B $2$
C $3$
D $4$

2020 年 · 数二 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

函数

f (x) = \frac{e ^{\frac{1}{x - 1}} ln ∣1 + x ∣}{( e ^{x} - 1 ) ( x - 2 )}

的第二类间断点的个数为（　　）

A $1$
B $2$
C $3$
D $4$

2014 年 · 数二 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

下列曲线中有渐近线的是（　　）

A $y = x + sin x$ .
B $y = x^{2} + sin x$ .
C $y = x + sin \frac{1}{x}$ .
D $y = x^{2} + sin \frac{1}{x}$ .

2010 年 · 数二 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

函数

f (x) = \frac{x ^{2} - x}{x ^{2} - 1} 1 + \frac{1}{x ^{2}}

的无穷间断点的个数为（　　）

A $0$
B $1$
C $2$
D $3$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} =

（）。

A $6$
B $0$
C $3$
D $\infty$

练习 2 · 选择题

设

f (x) = \frac{∣ x - 1∣}{x - 1}

，则

x \to 1 lim f (x)

（）。

A $= 1$
B $= - 1$
C $= 0$
D不存在

练习 3 · 填空题

x \to \infty lim \frac{3 x + 1}{2 x - 5} =

____。

练习 4 · 填空题

x \to 0^{+} lim \frac{x}{∣ x ∣} =

____。

2006 年 · 数二 · 第 1 题 · 填空题 · 4 分

曲线

y = \frac{x + 4 sin x}{5 x - 2 cos x}

的水平渐近线方程为 ___。

1992 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 3 分

当

x \to 1

时，函数

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} e^{\frac{1}{x - 1}}

的极限（　　）

A等于 $2$ .
B等于 $0$ .
C为 $\infty$ .
D不存在但不为 $\infty$ .

函数的极限

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 去心条件 0<∣x−x0​∣ 的作用：极限与 f(x0​) 无关★ 要懂

2. 左极限 = 右极限 =A 是极限存在的判别法：哪些结构必须分左右讨论★★ 必会

3. x→∞ 意味着 ∣x∣→+∞：必须 +∞ 与 −∞ 两侧趋于同一个值★★ 必会

4. 归结原则（海涅定理）：把函数极限化为数列极限，用来证明极限不存在

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 去心条件 $0 < ∣ x - x_{0} ∣$ 的作用：极限与 $f (x_{0})$ 无关★ 要懂

2. 左极限 $=$ 右极限 $= A$ 是极限存在的判别法：哪些结构必须分左右讨论★★ 必会

3. $x \to \infty$ 意味着 $∣ x ∣ \to + \infty$ ：必须 $+ \infty$ 与 $- \infty$ 两侧趋于同一个值★★ 必会