函数的连续性与间断点

§1.9 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.97 分/卷近 11 年平均

8/11 年出现年份

17.1 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）函数的极限无穷小与无穷大、阶的比较③ 掌握后可解锁闭区间上连续函数的性质导数与微分的概念定积分的概念与性质多元函数的极限与连续

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 连续的实质是极限值 $=$ 函数值，三个条件缺一不可★★ 必会

f

在点

x_{0}

连续，是指

x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})

。这一等式包含三个必须同时成立的条件：(i)

f (x_{0})

有定义；(ii) 极限

x \to x_{0} lim f (x)

存在；(iii) 二者相等。极限只反映函数在

x_{0}

的去心邻域内的变化趋势，而连续还要求这个趋势的目标值恰好等于

f (x_{0})

。必须注意：极限存在并不能保证连续，还必须

f (x_{0})

有定义，并且它的值等于该极限值。

举例说明

例. 设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{sin x}{x}, 0, x \neq = 0 x = 0

，讨论

x = 0

处的连续性。
解.

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

（存在），

f (0) = 0

（有定义），但

1 \neq = 0

，第 (iii) 条不成立，故

f

在

x = 0

处不连续，该点是可去间断点。由此可见，极限存在并不等于连续，还要求极限值

=

函数值。

2. 间断点的分类次序：先判断左、右极限是否都存在，再定第一类或第二类★★ 必会

判定间断点的类型时，次序不能颠倒。第一步总是求左极限与右极限，判断它们是否都存在（有限）：都存在

\to

第一类。第一类还可以再分：若左极限

=

右极限，但其值

\neq = f (x_{0})

，或者

f (x_{0})

无定义，则称为可去间断点；若左极限

\neq =

右极限，则称为跳跃间断点。至少有一侧极限不存在（趋于

\infty

或发生振荡）

\to

第二类。其中趋于

\infty

的是无穷型，像

sin \frac{1}{x}

那样往复摆动的是振荡型。必须注意：可去间断点只要求极限存在，与

f (x_{0})

是否有定义、是否与极限值相等无关；第二类间断点也不等于无穷型，振荡同样属于第二类。

举例说明

例. 判断

x = 0

是

f (x) = \frac{1}{1 + 2 ^{1/ x}}

的哪一类间断点。
解.

x \to 0^{+}

时：

2^{1/ x} \to + \infty

，

f \to 0

；

x \to 0^{-}

时：

2^{1/ x} \to 0

，

f \to \frac{1}{1 + 0} = 1

。左、右极限都存在，属于第一类，但

0 \neq = 1

，所以该点是跳跃间断点。

3. 在含有 $e^{1/ x}$ 、 $arctan \frac{1}{x}$ 、 $∣ x ∣$ 、 $[x]$ 的点处必须分别考察左、右极限★★ 必会

判定间断点的类型，总是先求左、右极限，再按定义归类。凡是在某点两侧变化趋势截然不同的结构，都必须分左、右讨论：

e^{1/ x}

、

arctan \frac{1}{x}

、

\frac{1}{1 + e ^{1/ x}}

在

x \to 0

时（因为

\frac{1}{x} \to \pm \infty

的符号相反）；

∣ x ∣

、取整函数

[x]

在分界点或整数点也是如此。下面列出各类型的典型例子。可去：

\frac{sin x}{x}

在

0

处；跳跃：

\frac{∣ x ∣}{x}

、

[x]

在整数点、

arctan \frac{1}{x}

在

0

处；无穷：

\frac{1}{x}

在

0

处、

tan x

在

\frac{π}{2}

处；振荡：

sin \frac{1}{x}

在

0

处。

举例说明

例. 讨论

f (x) = e^{1/ x}

在

x = 0

处的间断点类型。
解.

x \to 0^{+}

时：

\frac{1}{x} \to + \infty

，

e^{1/ x} \to + \infty

（右极限不存在，趋于

\infty

）；

x \to 0^{-}

时：

\frac{1}{x} \to - \infty

，

e^{1/ x} \to 0

。右极限趋于

\infty

，至少有一侧极限不存在，所以

x = 0

是第二类间断点（无穷型）。如果不分左、右就直接下结论，就会得出错误的答案。

4. 连续函数的四则运算与复合，是直接代入求极限的依据★ 要懂

连续函数经过四则运算（分母不为零）、复合以及取反函数之后仍然连续；并且初等函数在其定义区间内处处连续。正是因为有这些结论，在连续点处才可以直接代入求极限，本章的计算大多以此为落脚点。复合函数的连续性还允许交换极限与函数的次序：如果外层函数

f

连续，那么

x \to x_{0} lim f (g (x)) = f (x \to x_{0} lim g (x))

，即极限符号可以移到连续函数的内部。

证明 / 推导

复合函数的连续性 $\Rightarrow$ 极限可交换次序. 设

x \to x_{0} lim g (x) = u_{0}

，且

f

在

u_{0}

连续（即

u \to u_{0} lim f (u) = f (u_{0})

）。由于

f

在

u_{0}

处连续，故对任意

ε > 0

，存在

η > 0

，使得

∣ u - u_{0} ∣ < η \Rightarrow ∣ f (u) - f (u_{0}) ∣ < ε

成立。再由

g (x) \to u_{0}

知，存在

δ > 0

，使得

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ \Rightarrow ∣ g (x) - u_{0} ∣ < η

。把两步连接起来，即得

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (g (x)) - f (u_{0}) ∣ < ε

，这就证明了

x \to x_{0} lim f (g (x)) = f (u_{0}) = f (x \to x_{0} lim g (x))

。

■

举例说明

例.

x \to 0 lim e^{\frac{s i n x}{x}} = e^{l i m_{x \to 0} \frac{s i n x}{x}} = e^{1} = e

（外层函数

e^{u}

连续，所以可以把极限移入指数）。

💡 小知识

魏尔斯特拉斯在 1872 年构造出一种处处连续却处处不可导的函数，它的图像连绵不断，却没有一处是光滑的。这个例子打破了连续必然光滑的直觉，也成了后来分形几何的先声。可见连续这件事，远比一笔画得出来复杂。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 判断

f (x) = \frac{sin x}{x}

在

x = 0

处间断点的类型。难度 1

解.

f

在

x = 0

处无定义（分母为

0

），故

x = 0

是间断点。求该点极限：

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1 (第一重要极限) .

左、右极限都存在且相等（属第一类），极限值

= 1

是有限数，只是

f (0)

无定义。因此

x = 0

是

f

的可去间断点——只要补充定义

f (0) = 1

，

f

就在

x = 0

连续。

例 2 设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{sin 2 x}{x}, a, x \neq = 0 x = 0

，求常数

a

使

f

在

x = 0

处连续。难度 1

解.

f

在

x = 0

连续

⟺ x \to 0 lim f (x) = f (0) = a

。先求极限：

x \to 0 lim \frac{sin 2 x}{x} = x \to 0 lim \frac{sin 2 x}{2 x} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2.

要使连续，须

a = x \to 0 lim f (x) = 2

。故

a = 2

。

例 3 求

f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 3 x + 2}

的间断点，并判断其类型。难度 2

解. 分母

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)

，故可疑点为

x = 1, 2

。分子

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

，约分（

x \neq = 1

）：

f (x) = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{x + 1}{x - 2} .

在 $x = 1$ ：

x \to 1 lim \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{2}{- 1} = - 2

，极限存在但

f (1)

无定义，故

x = 1

是可去间断点。

在 $x = 2$ ：

x \to 2 lim \frac{x + 1}{x - 2} = \infty

（

x \to 2^{-}

为

- \infty

，

x \to 2^{+}

为

+ \infty

），故

x = 2

是第二类间断点中的无穷间断点。

例 4 判断

f (x) = arctan \frac{1}{x}

在

x = 0

处间断点的类型。难度 2

解.

f

在

x = 0

无定义，且含

\frac{1}{x}

，两侧走向相反，须分左右。

右极限（

x \to 0^{+}

，

\frac{1}{x} \to + \infty

）：

x \to 0^{+} lim arctan \frac{1}{x} = \frac{π}{2}

。

左极限（

x \to 0^{-}

，

\frac{1}{x} \to - \infty

）：

x \to 0^{-} lim arctan \frac{1}{x} = - \frac{π}{2}

。

左、右极限都存在（属第一类），但

\frac{π}{2} \neq = - \frac{π}{2}

，故

x = 0

是

f

的跳跃间断点。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

已知函数

g (x)

连续。设

f (x) = \int_{0}^{x^{2}} g (x t) d t

，求

f^{'} (x)

的表达式，并判断

f^{'} (x)

在

x = 0

处的连续性。

2024 年 · 数二 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

函数

f (x) = ∣ x ∣^{\frac{1}{( 1 - x ) ( x - 2 )}}

的第一类间断点的个数是（　　）

A $3$
B $2$
C $1$
D $0$

2024 年 · 数二 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

已知数列

{a_{n}}

（

a_{n} \neq = 0

）。若

{a_{n}}

发散，则（　　）

A ${a_{n} + \frac{1}{a _{n}}}$ 发散
B ${a_{n} - \frac{1}{a _{n}}}$ 发散
C ${e^{a_{n}} + \frac{1}{e ^{a_{n}}}}$ 发散
D ${e^{a_{n}} - \frac{1}{e ^{a_{n}}}}$ 发散

2022 年 · 数二 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

已知数列

{x_{n}}

，其中

- \frac{π}{2} \leq x_{n} \leq \frac{π}{2}

，则（　　）

A当 $n \to \infty lim cos (sin x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim x_{n}$ 存在.
B当 $n \to \infty lim sin (cos x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim x_{n}$ 存在.
C当 $n \to \infty lim cos (sin x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim sin x_{n}$ 存在，但 $n \to \infty lim x_{n}$ 不一定存在.
D当 $n \to \infty lim sin (cos x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim cos x_{n}$ 存在，但 $n \to \infty lim x_{n}$ 不一定存在.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

x = 2

是函数

f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

的（）。

A连续点
B可去间断点
C跳跃间断点
D无穷间断点

练习 2 · 选择题

设

f (x) = {x + a, e^{x}, x \leq 0 x > 0

在

x = 0

处连续，则

a =

（）。

A $0$
B $1$
C $- 1$
D $e$

练习 3 · 填空题

x = 0

是函数

f (x) = \frac{tan x}{x}

的 ____ 间断点（填「可去 / 跳跃 / 无穷 / 振荡」）。

练习 4 · 填空题

函数

f (x) = \frac{x ^{2} - x}{x ^{2} - 1}

的可去间断点为

x =

____。

练习 5 · 选择题

设

f (x) = n \to \infty lim \frac{x ^{2 n} - 1}{x ^{2 n} + 1}

，则

f (x)

的间断点个数为（）。

A $0$
B $1$
C $2$
D无穷多个

练习 6 · 填空题

函数

f (x) = \frac{x - x ^{3}}{sin π x}

在

(- \infty, + \infty)

内的可去间断点共有 ____ 个。

练习 7 · 解答题

求函数

f (x) = \frac{x - 1}{x ^{2} - 1} arctan \frac{1}{x}

的全部间断点，并判断每个间断点的类型。

2020 年 · 数二 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

函数

f (x) = \frac{e ^{\frac{1}{x - 1}} ln ∣1 + x ∣}{( e ^{x} - 1 ) ( x - 2 )}

的第二类间断点的个数为（　　）

A $1$
B $2$
C $3$
D $4$

2018 年 · 数二 · 第 3 题 · 选择题 · 4 分

设函数

f (x) = {- 1, 1, x < 0, x \geq 0, g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 - a x, x, x - b, x \leq - 1, - 1 < x < 0, x \geq 0.

若

f (x) + g (x)

在

R

上连续，则（　　）

A $a = 3, b = 1$
B $a = 3, b = 2$
C $a = - 3, b = 1$
D $a = - 3, b = 2$

函数的连续性与间断点

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 连续的实质是极限值 = 函数值，三个条件缺一不可★★ 必会

2. 间断点的分类次序：先判断左、右极限是否都存在，再定第一类或第二类★★ 必会

3. 在含有 e1/x、arctanx1​、∣x∣、[x] 的点处必须分别考察左、右极限★★ 必会

4. 连续函数的四则运算与复合，是直接代入求极限的依据★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 连续的实质是极限值 $=$ 函数值，三个条件缺一不可★★ 必会

3. 在含有 $e^{1/ x}$ 、 $arctan \frac{1}{x}$ 、 $∣ x ∣$ 、 $[x]$ 的点处必须分别考察左、右极限★★ 必会