无穷小与无穷大、阶的比较

§1.5 · 桥梁概念🌱 基础篇 →

考频价值

2.31 分/卷近 11 年平均

8/11 年出现年份

10.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）函数的极限数列的极限③ 掌握后可解锁等价无穷小替换极限的计算方法综合函数的连续性与间断点

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 无穷小是趋于 $0$ 的变量，不是很小的数，而且必须指明变化过程★ 要懂

这是本章最容易望文生义的概念。

0.0001

无论多小，都只是一个常数，不是无穷小；能够充当无穷小的常数只有

0

。无穷小是处在变化过程中、始终趋于

0

的变量。因此，如果不指明变化过程

x \to

究竟是什么，那么谈论无穷小就没有意义。例如同一个

\frac{1}{x}

：在

x \to \infty

时是无穷小，在

x \to 0

时却是无穷大。必须注意，无穷小

=

极限为

0

的变量；而无穷大

=

绝对值无限增大的变量，并且

\infty

不是数，不能参与约分与移项。

举例说明

例. 判断下列各量在指定的过程中是否为无穷小：(1)

\frac{1}{x} (x \to \infty)

；(2)

\frac{1}{x} (x \to 0)

；(3)

sin \frac{1}{x} (x \to \infty)

；(4)

0.001

。
解. (1)

\to 0

，是无穷小；(2)

\to \infty

，是无穷大；(3)

sin \frac{1}{x} \to sin 0 = 0

，是无穷小；(4) 它是非零常数，不是无穷小。由此可见，同一个表达式在不同的变化过程中结论并不相同。

2. 有界 $\times$ 无穷小 $=$ 无穷小：即使 $lim_{x \to 0} sin \frac{1}{x}$ 不存在也可以使用★★ 必会

这是无穷小运算中很有用的一条性质：只要一个因子有界（不必有极限），另一个因子是无穷小，那么乘积必为无穷小。它适用于其中一个因子有界而极限不存在的场合。这时不能使用乘积的极限等于极限之积这一法则，因为其中一个极限并不存在，只能依据上述性质。如果式中出现

sin \frac{1}{x}

、

cos \frac{1}{x}

、

arctan (\dots)

等有界而振荡、没有极限的因子，那么就应当想到这条性质。

证明 / 推导

证. 设

α (x)

是无穷小（

lim α = 0

），

u (x)

有界（存在

M > 0

使得

∣ u (x) ∣ \leq M

）。于是

0 \leq ∣ u (x) α (x) ∣ \leq M ∣ α (x) ∣

。当

α \to 0

时

M ∣ α ∣ \to 0

，由夹逼准则得

∣ uα ∣ \to 0

，即

uα

是无穷小。

■

举例说明

例. 求

x \to 0 lim x sin \frac{1}{x}

。这里

sin \frac{1}{x}

在

0

附近剧烈振荡，极限不存在，但

∣ sin \frac{1}{x} ∣ \leq 1

有界；又当

x \to 0

时另一个因子是无穷小。由上述性质知乘积为无穷小，故所求极限

= 0

。

3. 无穷大一定无界，但无界不一定是无穷大

无穷大要求变量在整个过程中始终趋于

\infty

（即对任意大的

M

，从某一时刻起

∣ f ∣ > M

恒成立）；而无界只要求它的绝对值能够超过任意给定的界（即存在一串点，在这些点上

∣ f ∣

超过任意给定的界），中间允许回落。所以无穷大

\Rightarrow

无界，反过来则不成立。这一点在选择题中经常考到，必须注意。

举例说明

例. 说明

f (x) = x sin x

在

x \to + \infty

时无界但不是无穷大。
解. 取

x_{n} = 2 nπ + \frac{π}{2} \to + \infty

，则

f (x_{n}) = x_{n} \cdot 1 = 2 nπ + \frac{π}{2} \to + \infty

，可见

f

没有上界，即它是无界的。但是另取

x_{n}^{'} = nπ \to + \infty

，则

f (x_{n}^{'}) = nπ \cdot sin (nπ) = 0

，函数值在这些点上一再回到

0

，并没有始终趋于

\infty

，因此

f

不是无穷大。

4. 阶的比较就是比较两个无穷小趋于零的快慢；等价无穷小 $=$ 泰勒展开的首项★★ 必会

把两个无穷小

α, β

相除，就可以比较它们趋于零的快慢。若

lim \frac{β}{α} = 0

，则

β

是高阶无穷小，即趋于零更快，记作

β = o (α)

；若比值

= \infty

，则是低阶无穷小；若比值

= C \neq = 0

，则二者是同阶无穷小；当

C = 1

时称二者等价，记作

α \sim β

。高阶无穷小

o (α)

的含义是它与

α

相比可以忽略。泰勒公式保留主项，而把余项记作

o

，所根据的就是这一事实。事实上，常用的等价无穷小都是相应函数在

0

处泰勒展开的第一项。例如由

sin x = x - \frac{1}{6} x^{3} + \dots

取首项得

sin x \sim x

；由

1 - cos x = \frac{1}{2} x^{2} - \dots

取首项得

\sim \frac{1}{2} x^{2}

。

证明 / 推导

证. 设

f

在

0

的某个邻域内有泰勒展开

f (x) a_{n} = a_{n} x^{n} + o (x^{n}) \neq = 0.

下面证明

f (x) \sim a_{n} x^{n}

。事实上

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{a _{n} x ^{n}} = x \to 0 lim (1 + \frac{1}{a _{n}} \cdot \frac{o ( x ^{n} )}{x ^{n}}) = 1,

末一步用到

o (x^{n})

的定义，即它与

x^{n}

之比趋于

0

。按等价的定义，这就证明了展开式的首项与

f

等价。

再看阶数。把比值写成

\frac{f ( x )}{x ^{m}} = \frac{f ( x )}{a _{n} x ^{n}} \cdot a_{n} x^{n - m},

其中第一个因子趋于

1

。当

m < n

时第二个因子趋于

0

，当

m > n

时它趋于

\infty

，当

m = n

时它等于

a_{n}

。可见使比值为非零常数的次数只有

m = n

一个，所以

f

是

x

的

n

阶无穷小。这就证明了无穷小的阶等于泰勒展开首项的次数。

必须注意条件

a_{n} \neq = 0

。如果某函数在

0

处的各阶导数全为零，例如

f (x) = e^{- 1/ x^{2}}

（并取

f (0) = 0

），那么它比任何

x^{n}

都高阶，谈不上有限的阶。

■

举例说明

例. 当

x \to 0

时，确定

α = 1 + x - 1 - x

的阶。
解. 先作分子有理化，得

α = \frac{( 1 + x ) - ( 1 - x )}{1 + x + 1 - x} = \frac{2 x}{1 + x + 1 - x}

。于是

x \to 0 lim \frac{α}{x} = \frac{2}{2} = 1

，即

α \sim x

，可见它是

x

的一阶无穷小，且与

x

等价。

💡 小知识

魏尔斯特拉斯用变量说把无穷小严格化，终结了莱布尼茨和牛顿那种把无穷小当作实在的量来使用的模糊做法。可是到了 20 世纪 60 年代，鲁滨逊创立非标准分析，又用严密的逻辑让真正的无穷小以合法的身份复活。数学史在这里绕了一个漂亮的圈。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

x \to \infty lim \frac{arctan x}{x}

。难度 1

解. 用性质「有界函数 $\times$ 无穷小 $=$ 无穷小」。把式子看成

\frac{arctan x}{x} = arctan x \cdot \frac{1}{x} .

其中

arctan x

有界（

∣ arctan x ∣ < \frac{π}{2}

），而

x \to \infty

时

\frac{1}{x}

是无穷小。有界量乘无穷小仍为无穷小，故

x \to \infty lim \frac{arctan x}{x} = 0.

注意：这里不能写成「

lim arctan x \cdot lim \frac{1}{x}

」，因为

x \to \infty lim arctan x

不存在（左右为

\mp \frac{π}{2}

），只能走「有界

\times

无穷小」这条路。

例 2 确定当

x \to 0

时，无穷小

1 - cos 2 x

关于

x

的阶数。难度 1

解. 判断阶数即找出使

x \to 0 lim \frac{1 - cos 2 x}{x ^{k}}

为非零常数的

k

。

用倍角公式

1 - cos 2 x = 2 sin^{2} x

：

\frac{1 - cos 2 x}{x ^{2}} = \frac{2 sin ^{2} x}{x ^{2}} = 2 (\frac{sin x}{x})^{2} x \to 0 2 \cdot 1^{2} = 2.

极限为非零常数

2

，故

1 - cos 2 x

是

x

的二阶无穷小，且

1 - cos 2 x \sim 2 x^{2}

。

例 3 确定当

x \to 0

时，无穷小

3 1 + x - 1

关于

x

的阶数，并写出其等价无穷小。难度 2

解. 考察

x \to 0 lim \frac{3 1 + x - 1}{x ^{k}}

。用公式

(1 + x)^{a} - 1 \sim a x

（此处

a = \frac{1}{3}

）或直接计算：

x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{1/3} - 1}{x} = \frac{1}{3} \neq = 0.

（可用有理化验证：令

u = 3 1 + x

，

u^{3} - 1 = x

，

\frac{u - 1}{x} = \frac{u - 1}{u ^{3} - 1} = \frac{1}{u ^{2} + u + 1} \to \frac{1}{3}

。）

故

k = 1

时极限为非零常数，

3 1 + x - 1

是

x

的一阶无穷小，且

3 1 + x - 1 \sim \frac{1}{3} x

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

已知当

x \to 0

时，

a x^{2} + b x + arcsin x

与

3 1 + x^{2} - 1

是等价无穷小，则（　　）

A $a = \frac{1}{3}, b = - 1$
B $a = \frac{1}{3}, b = 1$
C $a = \frac{2}{3}, b = - 1$
D $a = \frac{2}{3}, b = 1$

2026 年 · 数二 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

设

p

为常数，若反常积分

\int_{0}^{+ \infty} \frac{arctan x}{x ^{p} ( x + 1 )} d x

收敛，则

p

的取值范围是 ___。

2025 年 · 数二 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x), g (x)

在

x = 0

的某去心邻域内有定义且恒不为零。若当

x \to 0

时，

f (x)

是

g (x)

的高阶无穷小，则当

x \to 0

时，（　　）

A $f (x) + g (x) = o (g (x))$
B $f (x) g (x) = o (f^{2} (x))$
C $f (x) = o (e^{g (x)} - 1)$
D $f (x) = o (g^{2} (x))$

2023 年 · 数二 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

已知数列

{x_{n}}, {y_{n}}

满足

x_{1} = y_{1} = \frac{1}{2}

，

x_{n + 1} = sin x_{n}

，

y_{n + 1} = y_{n}^{2}

（

n = 1, 2, \dots

），则当

n \to \infty

时，（　　）

A $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的高阶无穷小
B $y_{n}$ 是 $x_{n}$ 的高阶无穷小
C $x_{n}$ 与 $y_{n}$ 是等价无穷小
D $x_{n}$ 与 $y_{n}$ 是同阶但不等价的无穷小

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

当

x \to 0

时，下列各量中是

x

的高阶无穷小的是（）。

A $sin x$
B $x^{2}$
C $tan x$
D $3 x$

练习 2 · 选择题

当

x \to 0

时，

x^{2} sin \frac{1}{x}

与

x

相比是（）。

A高阶无穷小
B低阶无穷小
C同阶无穷小
D等价无穷小

练习 3 · 填空题

当

x \to 0

时，

1 - cos x

是

x

的 ____ 阶无穷小。

练习 4 · 填空题

当

x \to 0

时，

(1 + x)^{10} - 1 \sim

____（用

k x

形式）。

练习 5 · 选择题

下列命题中正确的是（　）

A两个无穷小之商仍是无穷小
B无穷小与有界函数之积仍是无穷小
C两个无穷大之和仍是无穷大
D若 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某去心邻域内无界，则 $x \to x_{0} lim f (x) = \infty$

练习 6 · 填空题

当

x \to 1

时，

x - 3 x

与

a (x - 1)^{k}

是等价无穷小（

a \neq = 0

），则

a + k =

____。

练习 7 · 解答题

设

g (x) = x (1 + sin x)

，

x \in [0, + \infty)

。

(1) 证明

g

在

[0, + \infty)

上无界；

(2) 证明当

x \to + \infty

时

g (x)

不是无穷大；

(3) 求

x \to + \infty lim \frac{g ( x )}{x ^{2} + 1}

。

2022 年 · 数二 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

当

x \to 0

时，

α (x), β (x)

是非零无穷小量，给出以下四个命题：

① 若

α (x) \sim β (x)

，则

α^{2} (x) \sim β^{2} (x)

；

② 若

α^{2} (x) \sim β^{2} (x)

，则

α (x) \sim β (x)

；

③ 若

α (x) \sim β (x)

，则

α (x) - β (x) = o (α (x))

；

④ 若

α (x) - β (x) = o (α (x))

，则

α (x) \sim β (x)

.

其中所有真命题的序号是（　　）

A①③.
B①④.
C①③④.
D②③④.

2021 年 · 数二 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

当

x \to 0

时，

\int_{0}^{x^{2}} (e^{t^{3}} - 1) d t

是

x^{7}

的（　　）

A低阶无穷小
B等价无穷小
C高阶无穷小
D同阶但非等价无穷小

无穷小与无穷大、阶的比较

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 无穷小是趋于 0 的变量，不是很小的数，而且必须指明变化过程★ 要懂

2. 有界 × 无穷小 = 无穷小：即使 limx→0​sinx1​ 不存在也可以使用★★ 必会

3. 无穷大一定无界，但无界不一定是无穷大

4. 阶的比较就是比较两个无穷小趋于零的快慢；等价无穷小 = 泰勒展开的首项★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 无穷小是趋于 $0$ 的变量，不是很小的数，而且必须指明变化过程★ 要懂

2. 有界 $\times$ 无穷小 $=$ 无穷小：即使 $lim_{x \to 0} sin \frac{1}{x}$ 不存在也可以使用★★ 必会

4. 阶的比较就是比较两个无穷小趋于零的快慢；等价无穷小 $=$ 泰勒展开的首项★★ 必会