数列的极限

§1.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.73 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

18.1 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）函数的概念与基本性质③ 掌握后可解锁函数的极限极限存在准则（夹逼、单调有界）无穷小与无穷大、阶的比较定积分的概念与性质

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. $ε - N$ 定义的三个要点： $ε$ 具有任意性、 $N$ 依赖于 $ε$ 、极限是数列的尾部性质★ 要懂

定义

\forall ε > 0, \exists N, n > N \Rightarrow ∣ a_{n} - A ∣ < ε

可以这样理解：先任意给定一个精度

ε

，它要多小就可以有多小；随后必须找出一个界限

N

，使得第

N

项以后的所有项都落在相应的误差带内。其中有三点必须注意。(1)

ε

的任意性最为重要，不能只取某个具体的值去验证；(2)

N

依赖于 $ε$ ，一般说来

ε

越小

N

就越大，而且只要求它存在，取得比必需的更大也无妨；(3) 定义只涉及

n > N

以后的项，前面的有限项无论怎样都不影响结论。因此改动或删去有限项，都不改变数列的极限。

举例说明

例. 说明删去数列的前

1000

项不改变它的极限。
解. 设

lim a_{n} = A

，作新数列

b_{k} = a_{k + 1000}

。对任意

ε > 0

，由原数列收敛知存在

N

，使

n > N

时

∣ a_{n} - A ∣ < ε

。取

N^{'} = max {N - 1000, 0}

，则当

k > N^{'}

时有

k + 1000 > N

，故

∣ b_{k} - A ∣ = ∣ a_{k + 1000} - A ∣ < ε

。于是

lim b_{k} = A

，与原来的极限相同。由此可见，极限只取决于数列的尾部。

2. 用定义证明极限的一般方法：把 $∣ a_{n} - A ∣$ 放大为 $\frac{c}{n}$ 型的上界再反解

证明的目标是对给定的

ε

解出

N

，困难在于

∣ a_{n} - A ∣

中往往含有形式复杂的

n

。基本技巧是放大：把

∣ a_{n} - A ∣

放大为形如

\frac{c}{n}

（或

\frac{c}{n}

）的简洁上界，从而摆脱原来复杂的表达式；再令这个上界

< ε

，由此反解出

n

，取

N = [\frac{c}{ε}]

即可。放大时只要不等式成立就行，不必去求最小的

N

。

举例说明

例. 用定义证明

n \to \infty lim \frac{n cos n}{n ^{2} + 1} = 0

。
解. 利用

∣ cos n ∣ \leq 1

与

n^{2} + 1 > n^{2}

作放大：

\frac{n cos n}{n ^{2} + 1} - 0 \leq \frac{n}{n ^{2} + 1} < \frac{n}{n ^{2}} = \frac{1}{n} .

对任意

ε > 0

，取

N = [\frac{1}{ε}]

，则当

n > N

时上式

< \frac{1}{n} < ε

。故所求极限为

0

。放大过程中舍去有界因子

cos n

，并把

n^{2} + 1

缩小为

n^{2}

，都是为了得到形式简洁的

\frac{1}{n}

。

3. 收敛 $\Rightarrow$ 有界是必要条件而非充分条件；证明发散常用子列法★★ 必会

收敛数列必定有界，但由有界推不出收敛，例如

(- 1)^{n}

有界却发散。要由有界得出收敛，还需添上单调这一条件，这就是下一节的单调有界准则。另一方面，收敛数列的任何子列都收敛于同一极限。这一命题的逆否形式常用来证明发散：只要找到两个趋于不同值的子列，原数列就必发散；其中最常用的是奇数项子列与偶数项子列这一对。

证明 / 推导

收敛 $\Rightarrow$ 有界的证明。 设

lim a_{n} = A

。在定义中取

ε = 1

，则存在

N

，使

n > N

时

∣ a_{n} - A ∣ < 1

，从而

∣ a_{n} ∣ < ∣ A ∣ + 1

。而前

N

项

a_{1}, \dots, a_{N}

只有有限个，记

M_{0} = max {∣ a_{1} ∣, \dots, ∣ a_{N} ∣}

。取

M = max {M_{0}, ∣ A ∣ + 1}

，则对一切

n

都有

∣ a_{n} ∣ \leq M

，即数列有界。

■

举例说明

例. 判断

a_{n} = cos \frac{nπ}{3}

是否收敛。
解. 取子列

a_{6 k} = cos (2 k π) = 1 \to 1

；再取子列

a_{6 k + 3} = cos ((2 k + 1) π) = - 1 \to - 1

。两个子列的极限不同，故数列发散。

4. 保号性与保不等式性：符号在数列与极限之间的传递（严格不等号会退化为不严格）★★ 必会

保号性：如果

lim a_{n} = A > 0

，那么存在

N

，使当

n > N

时

a_{n} > 0

，也就是说极限的符号会传递到足够靠后的各项上。保不等式性（反方向）：如果从某项起

a_{n} \geq 0

且数列收敛，那么

lim a_{n} \geq 0

。必须注意：即使

a_{n} > 0

严格成立，取极限后也只能得到

lim a_{n} \geq 0

，严格不等号会退化为不严格的。例如

a_{n} = \frac{1}{n} > 0

，而

lim = 0

。这两条性质是比较判别法与夹逼准则的逻辑基础。

证明 / 推导

保号性的证明（ $A > 0$ 的情形）。 在定义中取

ε = \frac{A}{2} > 0

，则存在

N

，使

n > N

时

∣ a_{n} - A ∣ < \frac{A}{2}

，即

- \frac{A}{2} < a_{n} - A < \frac{A}{2}

，从而

a_{n} > A - \frac{A}{2} = \frac{A}{2} > 0

。所以当

n > N

时

a_{n} > 0

，并且还有正的下界

\frac{A}{2}

。

■

💡 小知识

ε - N

语言由柯西开端、魏尔斯特拉斯定型，结束了微积分诞生后近两百年关于无穷小的争论。哲学家贝克莱曾讥讽无穷小是已逝量的幽灵，而这套要多近有多近的说法，用严密的逻辑把这个幽灵锁进了定义里。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 用

ε - N

定义证明

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2} + 1} = 0

。难度 1

解. 按定义，要对任意

ε > 0

找出

N

，使

n > N

时

\frac{1}{n ^{2} + 1} - 0 < ε

。

放大反解：因

n^{2} + 1 > n

，故

\frac{1}{n ^{2} + 1} - 0 = \frac{1}{n ^{2} + 1} < \frac{1}{n} .

要使

\frac{1}{n} < ε

，只需

n > \frac{1}{ε}

。于是取

N = [\frac{1}{ε}]

，当

n > N

时便有

\frac{1}{n ^{2} + 1} - 0 < \frac{1}{n} < ε .

由定义

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2} + 1} = 0

。

例 2 用

ε - N

定义证明

n \to \infty lim \frac{2 n - 1}{n + 1} = 2

。难度 1

解. 先算距离并放大：

\frac{2 n - 1}{n + 1} - 2 = \frac{2 n - 1 - 2 ( n + 1 )}{n + 1} = \frac{3}{n + 1} < \frac{3}{n} .

对任意

ε > 0

，要使

\frac{3}{n} < ε

，只需

n > \frac{3}{ε}

。取

N = [\frac{3}{ε}]

，则当

n > N

时

\frac{2 n - 1}{n + 1} - 2 < \frac{3}{n} < ε .

由定义

n \to \infty lim \frac{2 n - 1}{n + 1} = 2

。

例 3 求

n \to \infty lim \frac{3 n ^{2} + 2 n}{5 n ^{2} - 1}

。难度 2

解. 分子分母同除以最高次幂

n^{2}

：

\frac{3 n ^{2} + 2 n}{5 n ^{2} - 1} = \frac{3 + \frac{2}{n}}{5 - \frac{1}{n ^{2}}} .

当

n \to \infty

时，

\frac{2}{n} \to 0

、

\frac{1}{n ^{2}} \to 0

，由极限四则运算法则

n \to \infty lim \frac{3 n ^{2} + 2 n}{5 n ^{2} - 1} = \frac{3 + 0}{5 - 0} = \frac{3}{5} .

（口诀：分子分母同次多项式之比，极限等于最高次项系数之比。）

例 4 证明数列

a_{n} = (- 1)^{n}

发散。难度 2

解. 用子列法：若一个数列收敛，则它的任何子列都收敛于同一极限。反过来，只要找到两个子列收敛到不同的值，原数列必发散。

取偶数项子列

a_{2 k} = (- 1)^{2 k} = 1 \to 1

；取奇数项子列

a_{2 k - 1} = (- 1)^{2 k - 1} = - 1 \to - 1

。

两个子列的极限

1 \neq = - 1

，故

{(- 1)^{n}}

发散。（注意：

{(- 1)^{n}}

有界却发散，说明「有界」推不出「收敛」。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2024 年 · 数二 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

已知数列

{a_{n}}

（

a_{n} \neq = 0

）。若

{a_{n}}

发散，则（　　）

A ${a_{n} + \frac{1}{a _{n}}}$ 发散
B ${a_{n} - \frac{1}{a _{n}}}$ 发散
C ${e^{a_{n}} + \frac{1}{e ^{a_{n}}}}$ 发散
D ${e^{a_{n}} - \frac{1}{e ^{a_{n}}}}$ 发散

2023 年 · 数二 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

已知数列

{x_{n}}, {y_{n}}

满足

x_{1} = y_{1} = \frac{1}{2}

，

x_{n + 1} = sin x_{n}

，

y_{n + 1} = y_{n}^{2}

（

n = 1, 2, \dots

），则当

n \to \infty

时，（　　）

A $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的高阶无穷小
B $y_{n}$ 是 $x_{n}$ 的高阶无穷小
C $x_{n}$ 与 $y_{n}$ 是等价无穷小
D $x_{n}$ 与 $y_{n}$ 是同阶但不等价的无穷小

2022 年 · 数二 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

已知数列

{x_{n}}

，其中

- \frac{π}{2} \leq x_{n} \leq \frac{π}{2}

，则（　　）

A当 $n \to \infty lim cos (sin x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim x_{n}$ 存在.
B当 $n \to \infty lim sin (cos x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim x_{n}$ 存在.
C当 $n \to \infty lim cos (sin x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim sin x_{n}$ 存在，但 $n \to \infty lim x_{n}$ 不一定存在.
D当 $n \to \infty lim sin (cos x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim cos x_{n}$ 存在，但 $n \to \infty lim x_{n}$ 不一定存在.

2018 年 · 数二 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分

设数列

{x_{n}}

满足：

x_{1} > 0

，

x_{n} e^{x_{n + 1}} = e^{x_{n}} - 1 (n = 1, 2, \dots)

。证明

{x_{n}}

收敛，并求

n \to \infty lim x_{n}

。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

对

n \to \infty lim \frac{1}{n} = 0

，取

ε = 0.01

，能使「当

n > N

时恒有

\frac{1}{n} < ε

」成立的最小正整数

N

是（）。

A $10$
B $100$
C $99$
D $101$

练习 2 · 选择题

下列数列中收敛的是（）。

A $a_{n} = (- 1)^{n}$
B $a_{n} = sin \frac{nπ}{2}$
C $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$
D $a_{n} = n$

练习 3 · 填空题

n \to \infty lim \frac{2 n ^{3} + 1}{n ^{3} - n} =

____。

练习 4 · 填空题

n \to \infty lim (n^{2} + n - n) =

____。

练习 5 · 选择题

n \to \infty lim n 2^{n} + 3^{n} + n^{5} =

（）。

A $2$
B $3$
C $5$
D $+ \infty$

练习 6 · 填空题

设

a_{1} = 2

，

a_{n + 1} = \frac{2 ( 1 + a _{n} )}{2 + a _{n}} (n = 1, 2, \dots)

，则

n \to \infty lim a_{n} =

____。

练习 7 · 解答题

设

a_{n} = \frac{1}{n} n (n + 1) (n + 2) \dots (2 n) .

(1)

证明：

ln a_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n ln (1 + \frac{k}{n})

；

(2)

求

n \to \infty lim ln a_{n}

；

(3)

求

n \to \infty lim a_{n}

。

2017 年 · 数二 · 第 3 题 · 选择题 · 4 分

设数列

{x_{n}}

收敛，则（　　）

A当 $n \to \infty lim sin x_{n} = 0$ 时， $n \to \infty lim x_{n} = 0$
B当 $n \to \infty lim (x_{n} + ∣ x_{n} ∣) = 0$ 时， $n \to \infty lim x_{n} = 0$
C当 $n \to \infty lim (x_{n} + x_{n}^{2}) = 0$ 时， $n \to \infty lim x_{n} = 0$
D当 $n \to \infty lim (x_{n} + sin x_{n}) = 0$ 时， $n \to \infty lim x_{n} = 0$

2012 年 · 数二 · 第 3 题 · 选择题 · 4 分

设

a_{n} > 0 (n = 1, 2, \dots)

，

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

，则数列

{S_{n}}

有界是数列

{a_{n}}

收敛的（　　）

A充分必要条件
B充分非必要条件
C必要非充分条件
D既非充分也非必要条件

数列的极限

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. ε-N 定义的三个要点：ε 具有任意性、N 依赖于 ε、极限是数列的尾部性质★ 要懂

2. 用定义证明极限的一般方法：把 ∣an​−A∣ 放大为 nc​ 型的上界再反解

3. 收敛 ⇒ 有界是必要条件而非充分条件；证明发散常用子列法★★ 必会

4. 保号性与保不等式性：符号在数列与极限之间的传递（严格不等号会退化为不严格）★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. $ε - N$ 定义的三个要点： $ε$ 具有任意性、 $N$ 依赖于 $ε$ 、极限是数列的尾部性质★ 要懂

2. 用定义证明极限的一般方法：把 $∣ a_{n} - A ∣$ 放大为 $\frac{c}{n}$ 型的上界再反解

3. 收敛 $\Rightarrow$ 有界是必要条件而非充分条件；证明发散常用子列法★★ 必会