函数的概念与基本性质

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前置诊断

这是地基知识点，无前置要求，可以直接学习。

③ 掌握后可解锁数列的极限函数的极限

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 判定两个函数相同的依据：定义域相同且对应法则相同

判断两个函数是否相同，与化简后的表达式在形式上像不像无关，只需核对它们的定义域与对应法则。这是函数

=

定义域

+

对应法则这一本质的直接体现。最容易出错的情形如下：

f (x) = x

与

g (x) = \frac{x ^{2}}{x}

化简后都是

y = x

，但

g

在

x = 0

处没有定义（它的定义域是

x \neq = 0

），因此二者不是同一函数。反过来，

f (x) = l g x^{2}

与

g (x) = 2 l g x

也不相同，因为前者的定义域是

x \neq = 0

，而后者的定义域是

x > 0

。

举例说明

例. 下列各组是否为同一函数？
(1)

f (x) = x^{2}

与

g (x) = x

；(2)

f (x) = ln x^{2}

与

g (x) = 2 ln ∣ x ∣

。
解. (1) 因为

x^{2} = ∣ x ∣

，它的对应法则与

g (x) = x

不同（当

x < 0

时二者的值互为相反数），所以不是同一函数。(2) 两个函数的定义域都是

x \neq = 0

，且

ln x^{2} = ln ∣ x ∣^{2} = 2 ln ∣ x ∣

，对应法则也相同，所以是同一函数。

2. 判定奇偶性的次序：先验证定义域关于原点对称，再计算 $f (- x)$ ★★ 必会

判定奇偶性时常常一上来就计算

f (- x)

，而忽略了一个前提：只有当定义域关于原点对称时，讨论函数的奇偶性才有意义。如果定义域不对称（例如

[0, 1]

、

(1, + \infty)

），就可以直接断定它非奇非偶，而不必计算

f (- x)

。定义域对称这一条满足以后，再计算

f (- x)

，并与

f (x)

相比较：若

= f (x)

则为偶函数，若

= - f (x)

则为奇函数，两者都不成立则非奇非偶。此外还有几条常用的结论：奇函数

\times

奇函数

=

偶函数，奇函数

\times

偶函数

=

奇函数；如果奇函数在

0

处有定义，那么

f (0) = 0

。

证明 / 推导

定义域对称为什么是前提. 称

f

为偶函数，是要求等式

f (- x) = f (x)

对定义域内的每一个

x

都成立，因而

- x

也必须在定义域内。如果有一点

x_{0}

在定义域内而

- x_{0}

不在，那么

f (- x_{0})

根本没有定义，上述等式也就无从谈起。所以定义域必须关于原点对称，否则讨论奇偶性没有意义。

举例说明

例. 判断

f (x) = ln \frac{1 - x}{1 + x}

的奇偶性。
解. 先求定义域：分母非零时商与积同号，故

\frac{1 - x}{1 + x} > 0 ⟺ (1 - x) (1 + x) > 0 ⟺ x^{2} < 1

，得定义域

(- 1, 1)

，它关于原点对称。于是

f (- x) = ln \frac{1 + x}{1 - x} = ln (\frac{1 - x}{1 + x})^{- 1} = - ln \frac{1 - x}{1 + x} = - f (x) .

所以

f

是奇函数。

3. 复合函数的定义域：内外两层的约束必须同时满足★ 要懂

求

y = f (g (x))

的定义域时，不能只看外层，也不能只看内层，而必须逐层传递：(i)

x

应属于内层函数

g

的定义域；(ii) 中间变量的值

g (x)

应属于外层函数

f

的定义域。这两条缺一不可，漏掉任何一条都会把定义域求错，这也是复合函数一类题目中最常见的错误。

举例说明

例. 设

f (u) = ln u

，

g (x) = 4 - x^{2}

，求

y = f (g (x)) = ln (4 - x^{2})

的定义域。
解. 内层

g (x) = 4 - x^{2}

对一切

x

都有定义，故条件 (i) 自然满足；外层

ln u

要求

u > 0

，即须有

g (x) = 4 - x^{2} > 0

，这就是条件 (ii)，解得

- 2 < x < 2

。所以定义域为

(- 2, 2)

。如果把外层函数换成

u

（它要求

u \geq 0

），那么定义域就变为

[- 2, 2]

。由此可见，外层函数的定义域一经改变，复合函数的定义域也随之改变。

4. 反函数存在的充分条件是严格单调，其图形关于 $y = x$ 对称★★ 必会

y = f (x)

存在反函数的充要条件是

f

为一一对应，即单射；而严格单调是保证一一对应的最常用的充分条件。注意，一一对应并不一定要求单调，但在考研范围内一般都用单调性来判定。求反函数，就是从原方程解出

x = f^{- 1} (y)

，再把两个变量的记号互换；原函数与反函数的图形关于直线

y = x

对称，且

f

的定义域与值域恰好分别是

f^{- 1}

的值域与定义域。还须注意

f^{- 1} (x)

是反函数的记号，不是

\frac{1}{f ( x )}

。

证明 / 推导

由严格单调 $\Rightarrow$ 一一对应 $\Rightarrow$ 存在反函数. 设

f

在

D

上严格递增。任取

x_{1} \neq = x_{2}

，不妨设

x_{1} < x_{2}

，则

f (x_{1}) < f (x_{2})

，从而

f (x_{1}) \neq = f (x_{2})

。这说明不同的自变量值对应不同的函数值，即

f

是单射。于是对值域中的每一个

y

，方程

f (x) = y

有唯一的解

x

，这样确定的对应

y \mapsto x

就是反函数

f^{- 1}

。

举例说明

例. 求

f (x) = \frac{e ^{x} - 1}{e ^{x} + 1}

的反函数。
解. 令

y = \frac{e ^{x} - 1}{e ^{x} + 1}

，从中解出

e^{x}

：

y (e^{x} + 1) = e^{x} - 1 \Rightarrow e^{x} (y - 1) = - 1 - y \Rightarrow e^{x} = \frac{1 + y}{1 - y}

。两边取对数，得

x = ln \frac{1 + y}{1 - y}

。再把两个变量的记号互换，即得反函数

y = ln \frac{1 + x}{1 - x}

，其定义域为

(- 1, 1)

，也就是原函数的值域。

💡 小知识

函数一词的中译出自清代数学家李善兰，见于 1859 年他与伟烈亚力合译的《代微积拾级》。他的原话是，凡此变数中函（含）彼变数者，则此为彼之函数。这里的函通含，点出的是一个量里含着另一个量的依赖关系，比英文 function 更传神。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求函数

y = \frac{1}{x - 1} + ln (4 - x)

的定义域。难度 1

解. 定义域是使各部分同时有意义的

x

的集合，逐项列约束：

-

\frac{1}{x - 1}

：根号内非负且作分母不为零，需

x - 1 > 0

，即

x > 1

；
-

ln (4 - x)

：对数真数为正，需

4 - x > 0

，即

x < 4

。

两个条件取交集：

1 < x < 4

。故定义域为

(1, 4)

。

例 2 判断函数

f (x) = \frac{sin x}{x}

的奇偶性。难度 1

解. 第一步看定义域：

x \neq = 0

，即

(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)

，关于原点对称，可继续判断。

第二步算

f (- x)

：

f (- x) = \frac{sin ( - x )}{- x} = \frac{- sin x}{- x} = \frac{sin x}{x} = f (x) .

因

f (- x) = f (x)

，故

f

是偶函数。（本质是「奇函数

\div

奇函数

=

偶函数」：

sin x

与

x

都是奇函数。）

例 3 求函数

y = 2^{x} + 1 (x \in R)

的反函数，并指出其定义域。难度 2

解. 反函数就是把

y = f (x)

反解成

x = f^{- 1} (y)

。

由

y = 2^{x} + 1

得

2^{x} = y - 1

。因

2^{x} > 0

，须

y - 1 > 0

。两边取以

2

为底的对数：

x = lo g_{2} (y - 1) .

习惯上把自变量记为

x

，故反函数为

y = lo g_{2} (x - 1) .

它的定义域是原函数的值域：

2^{x} > 0 \Rightarrow y = 2^{x} + 1 > 1

，即

(1, + \infty)

。

例 4 设

f (x - 1) = x^{2} + 1

，求

f (x)

。难度 2

解. 用换元法：令

t = x - 1

，则

x = t + 1

。代入

f (x - 1) = x^{2} + 1

：

f (t) = (t + 1)^{2} + 1 = t^{2} + 2 t + 2.

把哑变量

t

换回

x

，得

f (x) = x^{2} + 2 x + 2.

验证.

f (x - 1) = (x - 1)^{2} + 2 (x - 1) + 2 = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x - 2 + 2 = x^{2} + 1

，与题设一致。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2024 年 · 数二 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x) = \int_{0}^{s i n x} sin t^{3} d t

，

g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

，则（　　）

A $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是奇函数
B $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数
C $f (x)$ 是偶函数， $g (x)$ 是偶函数
D $f (x)$ 是偶函数， $g (x)$ 是奇函数

2020 年 · 数二 · 第 18 题 · 解答题 · 10 分

设函数

f (x)

的定义域为

(0, + \infty)

且满足

2 f (x) + x^{2} f (\frac{1}{x}) = \frac{x ^{2} + 2 x}{1 + x ^{2}}

。求

f (x)

，并求曲线

y = f (x)

，

y = \frac{1}{2}

，

y = \frac{3}{2}

及

y

轴所围图形绕

x

轴旋转所成旋转体的体积。

2014 年 · 数二 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

设

f (x)

是周期为

4

的可导奇函数，且

f^{'} (x) = 2 (x - 1), x \in [0, 2]

，则

f (7) =

___。

2006 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

f (x)

是奇函数，除

x = 0

外处处连续，

x = 0

是其第一类间断点，则

\int_{0}^{x} f (t) d t

是（　　）

A连续的奇函数.
B连续的偶函数.
C在 $x = 0$ 间断的奇函数.
D在 $x = 0$ 间断的偶函数.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

函数

f (x) = arcsin (x - 1)

的定义域是（）。

A $[0, 2]$
B $[- 1, 1]$
C $[1, 3]$
D $(0, 2)$

练习 2 · 选择题

下列函数中为奇函数的是（）。

A $x sin x$
B $x^{3} - x$
C $∣ x ∣$
D $x^{2} + 1$

练习 3 · 填空题

函数

f (x) = sin \frac{x}{2}

的最小正周期为 ____。

练习 4 · 填空题

设

f (x + 1) = x^{2} - 1

，则

f (x) =

____。

2001 年 · 数二 · 第 6 题 · 选择题 · 3 分

设

f (x) = {1, 0, ∣ x ∣ \leq 1 ∣ x ∣ > 1

，则

f {f [f (x)]}

等于（　　）

A $0$
B $1$
C ${1, 0, ∣ x ∣ \leq 1 ∣ x ∣ > 1$
D ${0, 1, ∣ x ∣ \leq 1 ∣ x ∣ > 1$

1997 年 · 数二 · 第 10 题 · 选择题 · 3 分

设函数

g (x) = {2 - x, x + 2, x \leq 0, x > 0, f (x) = {x^{2}, - x, x < 0, x \geq 0,

则

g [f (x)] =

（　　）

A ${2 + x^{2}, 2 - x, x < 0, x \geq 0$
B ${2 - x^{2}, 2 + x, x < 0, x \geq 0$
C ${2 - x^{2}, 2 - x, x < 0, x \geq 0$
D ${2 + x^{2}, 2 + x, x < 0, x \geq 0$

函数的概念与基本性质

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 判定两个函数相同的依据：定义域相同且对应法则相同

2. 判定奇偶性的次序：先验证定义域关于原点对称，再计算 f(−x)★★ 必会

3. 复合函数的定义域：内外两层的约束必须同时满足★ 要懂

4. 反函数存在的充分条件是严格单调，其图形关于 y=x 对称★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 判定奇偶性的次序：先验证定义域关于原点对称，再计算 $f (- x)$ ★★ 必会

4. 反函数存在的充分条件是严格单调，其图形关于 $y = x$ 对称★★ 必会