函数的概念与基本性质

高等数学 · 函数、极限、连续

这一条要先会：幂的运算法则与指数函数、对数与对数运算法则、三角函数与反三角函数、反函数

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 函数的概念：一个 $x$ 只对应一个 $y$

设数集

D \subset R

。如果对

D

中每一个

x

，按某一确定的法则

f

都有唯一确定的实数

y

与之对应，则称

f

为定义在

D

上的函数，记作

y = f (x), x \in D .

D

称为定义域，记作

D_{f}

；函数值的全体

{y ∣ y = f (x), x \in D}

称为值域，记作

R_{f}

。

关于这个定义，有三点须加注意。

① $f$ 与 $f (x)$ 的区别.

f

是对应法则本身，

f (x)

是该法则作用于

x

所得的函数值。习惯上称「函数

f (x)

」，但确定一个函数的是法则

f

与定义域

D

这两样。

② 「唯一」是定义的要求. 一个

x

不能对应两个

y

。故关系式

x^{2} + y^{2} = 1

在

(- 1, 1)

上并不确定一个函数（

x = 0

时

y

可取

1

与

- 1

）；须分解为

y = 1 - x^{2}

与

y = - 1 - x^{2}

，每式各确定一个函数。反之，不同的

x

对应同一个

y

是允许的。

③ 自变量用什么字母无关紧要.

f (x) = x^{2}

与

f (t) = t^{2}

是同一个函数。记号中的字母只是占位符，代入时整体替换：设

f (x) = x^{2} + 1

，则

f (a + 1) = (a + 1)^{2} + 1

，而非

a^{2} + 1 + 1

。此项是以后讨论复合函数、求导与换元积分的基础。

2. 定义域的求法：逐项列出限制，再取交集

求定义域的步骤是固定的：先找出表达式中每一个有限制的部件，各写出一个不等式，最后取交集。 常见的限制只有四类：

分母 偶次根号内的式子 对数的真数 arcsin u, arccos u \neq = 0 \geq 0 > 0 - 1 \leq u \leq 1

同一个式子可能同时受两类限制。例如

\frac{1}{ln ( x + 1 )}

中的

ln (x + 1)

：作为对数要求

x + 1 > 0

，作为分母又要求

ln (x + 1) \neq = 0

，即

x \neq = 0

。两条缺一不可。

又如

\frac{1}{x - 1}

：根号要求

x - 1 \geq 0

，而它位于分母，还要求

x - 1 \neq = 0

，二者合并即

x - 1 > 0

。凡偶次根号出现在分母上，不等号一律不取等。

3. 复合函数：由外向内分解，定义域逐层限制

设

u = g (x)

的值域含于

y = f (u)

的定义域之内，则称

y = f (g (x))

为由

f

与

g

复合而成的复合函数，

u

称为中间变量。

分解的方法：考察最后一步施行的是哪一种运算，该运算即为最外层；去掉最外层，对余下部分重复此问。 例如

y = sin^{2} (3 x + 1)

，最后一步为平方，故外层为

u^{2}

，中层为

sin v

，内层为

v = 3 x + 1

，共三层。分解的层次即以后使用链式法则求导时相乘的层次。

复合函数的定义域须逐层限制：内层算得的

u

必须落在外层的定义域内。仅考虑内层是常见的疏漏，且所得结果形式上并无异常。

4. 函数的四种性质：奇偶性、单调性、有界性、周期性

奇偶性. 设

f

的定义域

D

关于原点对称。若对一切

x \in D

有

f (- x) = f (x)

，称

f

为偶函数，其图形关于

y

轴对称；若

f (- x) = - f (x)

，称

f

为奇函数，其图形关于原点对称。

判断时先验定义域是否关于原点对称：若不对称，则

f

既非奇函数也非偶函数，无须再算。又，奇函数若在

x = 0

处有定义，必有

f (0) = 0

。

单调性. 若对区间

I

内任意

x_{1} < x_{2}

恒有

f (x_{1}) < f (x_{2})

，称

f

在

I

上单调增加；反之称单调减少。单调性是对某一区间而言的：

y = \frac{1}{x}

在

(- \infty, 0)

与

(0, + \infty)

上分别单调减少，但在其整个定义域上并不单调减少（取

x_{1} = - 1 < x_{2} = 1

，却有

f (x_{1}) = - 1 < 1 = f (x_{2})

）。

有界性. 若存在常数

M > 0

，使

∣ f (x) ∣ \leq M

在区间

I

上恒成立，称

f

在

I

上有界。同样须指明区间：

y = \frac{1}{x}

在

(0, 1)

上无界，在

(1, + \infty)

上有界。

周期性. 若存在

T > 0

，使

f (x + T) = f (x)

对一切

x

成立，称

f

为周期函数，

T

为其周期。

sin x

与

cos x

的最小正周期为

2 π

，

tan x

为

π

。由

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

可知

sin^{2} x

的最小正周期为

π

。

5. 六类基本初等函数

常数函数、幂函数

x^{μ}

、指数函数

a^{x}

、对数函数

lo g_{a} x

、三角函数与反三角函数，这六类称为基本初等函数。由基本初等函数经有限次四则运算与复合所得、并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

须注意的是，同一类之中图形可以形状相反：指数函数在

a > 1

时单调增加、

0 < a < 1

时单调减少；对数函数同理；幂函数

x^{μ}

在

μ

为偶数时关于

y

轴对称、为奇数时关于原点对称。因此记忆时须连同参数的范围一并记住，不可只记一条曲线。

以下各条分别给出幂、指数、对数、三角与反三角的性质与运算法则。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求定义域：先列条件，再取交集

第一步：把式子里每个「有要求」的部件圈出来——分母、偶次根号、对数、反三角。

第二步：一个部件写一行不等式，不要在脑子里合并。

第三步：把所有行取交集，写成区间。

这个顺序之所以要紧：合并留到最后一步，错了能一眼看出是哪一行错；边列边合并，错了只能从头再来。

例例. 求

y = \frac{ln ( x + 1 )}{4 - x ^{2}}

的定义域。

第一步，圈出有要求的部件：

ln (x + 1)

、

4 - x^{2}

，以及这个根号还站在分母上。

第二步，一个部件一行，不在脑子里合并：

① 对数的真数为正：

x + 1 > 0

，即

x > - 1

；

② 偶次根号非负：

4 - x^{2} \geq 0

，即

- 2 \leq x \leq 2

；

③ 分母不为零：

4 - x^{2} \neq = 0

，即

x \neq = \pm 2

。

第三步，取交集。②③ 合起来是

- 2 < x < 2

，再与 ① 取交：

(- 1, 2) .

②③ 必须分开写——只写 ② 会把

x = \pm 2

留下，而那里分母是

0

。

判断奇偶性：先看定义域，再算 $f (- x)$

第一步：看定义域是否关于原点对称。不对称就到此为止——既不是奇函数也不是偶函数，不必再算。

第二步：写出

f (- x)

，整块代入，别跳步。

第三步：和

f (x)

、

- f (x)

比：等于前者是偶，等于后者是奇，都不等就是非奇非偶。

第一步常被跳过，而它是唯一能提前结束的一步。

例例. 判断

f (x) = ln (x + 1 + x^{2})

的奇偶性。

第一步，先看定义域。因

1 + x^{2} > ∣ x ∣ \geq - x

，真数

x + 1 + x^{2} > 0

对一切实数成立，定义域是

R

，关于原点对称 ✓（不对称就到此为止了）。

第二步，整块代入：

f (- x) = ln (- x + 1 + x^{2}) .

第三步，和

f (x)

比。注意两个真数相乘：

(x + 1 + x^{2}) (- x + 1 + x^{2}) = 1 + x^{2} - x^{2} = 1,

所以

- x + 1 + x^{2} = \frac{1}{x + 1 + x ^{2}}

，于是

f (- x) = - f (x)

——奇函数。

拆复合函数：从最后一步往里剥

第一步：问自己「拿到

x

之后，最后算的是哪一步」——那是最外层。

第二步：把最外层去掉，对剩下的再问一遍。

第三步：剥到只剩

x

为止，按从外到内记下来。

例：

y = sin^{2} (3 x + 1)

最后算平方，外层是

u^{2}

；剩下

sin (3 x + 1)

最后算正弦，中层是

sin v

；再剩

3 x + 1

。一共三层。

求导时链式法则就是照这个顺序往下乘，拆错层就必然乘错。

例例. 拆

y = e^{l n x}

。

第一步，拿到

x

之后最后算的是什么？是取指数——最外层

y = e^{u}

。

第二步，去掉最外层，剩

ln x

，它最后算的是开方——中层

u = v

。

第三步，再剩

ln x

，到底了——最里层

v = ln x

。

一共三层：

y = e^{u}

、

u = v

、

v = ln x

。

拆对了，求导时照这个顺序连乘就行：

y^{'} = e^{l n x} \cdot \frac{1}{2 ln x} \cdot \frac{1}{x} .

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

根号在分母上，却写成 $\geq 0$

\frac{1}{x - 1}

里的

x - 1

有两个身份：作为偶次根号要求

x - 1 \geq 0

，作为分母要求它自己

\neq = 0

。两条合起来是

x - 1 > 0

。

只写

\geq

的话答案会多出

x = 1

这一个点，而那里分母是

0

。

$f (a + 1)$ 只替换了一处

f (x) = x^{2} - 2 x

时，

f (a + 1)

要把每一个

x

都换成整块

a + 1

：

(a + 1)^{2} - 2 (a + 1)

。

常见写法

(a + 1)^{2} - 2 x

是只换了第一处；

a^{2} + 1 - 2 (a + 1)

是把

(a + 1)^{2}

当成了

a^{2} + 1

。动笔时先把

x

全部圈出来，再一个个换。

说单调、说有界，却不说在哪个区间上

y = \frac{1}{x}

在

(- \infty, 0)

上单调减、在

(0, + \infty)

上也单调减，但在整个定义域上不是单调减：取

x_{1} = - 1 < x_{2} = 1

，却有

f (x_{1}) = - 1 < 1 = f (x_{2})

。

有界性同理：它在

(0, 1)

上无界，在

(1, + \infty)

上有界。答题时「在……上」这几个字不能省。

$ln$ 站在分母上，只写了真数大于零

\frac{1}{ln ( x + 1 )}

要同时写两条：

x + 1 > 0

（对数本身的要求）和

ln (x + 1) \neq = 0

，后者给出

x \neq = 0

。

漏掉第二条，答案里会混进

x = 0

，而那里分母是

0

。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 把定义读懂

练 1

设

f (x) = 3 x - 2

，则

f (a + 1) =

________。

练 2

下列对应中，不是函数的是（）。

A每个实数 $x$ 对应 $x^{2}$
B每个正数 $x$ 对应 $x$
C每个实数 $x$ 对应「平方等于 $x^{2}$ 的数」
D每个实数 $x$ 对应 $3$

练 3

函数

y = x

的定义域是 ________。

练 4

设

f (x) = x^{2}

，则

f (- x)

与

f (x)

的关系是（）。

A $f (- x) = f (x)$
B $f (- x) = - f (x)$
C $f (- x) = - x^{2}$
D无法比较

练 5

设

f (x) = x + 1

，则

f (f (0)) =

________。

第二组 · 求定义域

练 6

函数

y = \frac{1}{x - 3}

的定义域是 ________。

练 7

函数

y = 2 - x + \frac{1}{x}

的定义域是（）。

A $(- \infty, 0) \cup (0, 2]$
B $(- \infty, 2]$
C $(0, 2]$
D $(- \infty, 2)$

练 8

函数

y = ln (x - 1)

的定义域是 ________。

练 9

函数

y = \frac{1}{x - 1}

的定义域是（）。

A $x \geq 1$
B $x > 1$
C $x \neq = 1$
D $x \leq 1$

练 10

函数

y = arcsin (x - 1)

的定义域是 ________。

练 11

函数

y = \frac{x}{ln ( x + 1 )}

的定义域是（）。

A $x \geq 0$
B $x > - 1$
C $x > 0$
D $x \geq 0$ 且 $x \neq = 1$

第三组 · 性质与复合

练 12

下列函数中为偶函数的是（）。

A $y = x sin x$
B $y = x cos x$
C $y = sin x + cos x$
D $y = ln x$

练 13

设

f (x) = 2 x - 1

，则

f (f (x)) =

________。

练 14

y = ln (ln x)

的定义域是（）。

A $(0, + \infty)$
B $(1, + \infty)$
C $(e, + \infty)$
D $(- \infty, + \infty)$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

函数的概念与基本性质

先打基础

1. 函数的概念：一个 x 只对应一个 y

2. 定义域的求法：逐项列出限制，再取交集

3. 复合函数：由外向内分解，定义域逐层限制

4. 函数的四种性质：奇偶性、单调性、有界性、周期性

5. 六类基本初等函数

常用结构

求定义域：先列条件，再取交集

判断奇偶性：先看定义域，再算 f(−x)

拆复合函数：从最后一步往里剥

基础易错

根号在分母上，却写成 ≥0

f(a+1) 只替换了一处

说单调、说有界，却不说在哪个区间上

ln 站在分母上，只写了真数大于零

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

练 13

练 14

1. 函数的概念：一个 $x$ 只对应一个 $y$

判断奇偶性：先看定义域，再算 $f (- x)$

根号在分母上，却写成 $\geq 0$

$f (a + 1)$ 只替换了一处

$ln$ 站在分母上，只写了真数大于零