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幂的运算法则与指数函数

高等数学 · 预备知识（高中内容）

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 幂的运算法则与幂函数

设

a > 0

、

b > 0

，

m

、

n

为实数，则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}, \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

(a^{m})^{n} = a^{mn}, (ab)^{n} = a^{n} b^{n}

a^{0} = 1, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}, a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}

这几条是以下一切的根据：指数函数的性质由它们推出，对数的运算法则又是它们的改写。此处记牢，后面可省去大半记忆。

幂函数

y = x^{μ}

（

μ

为常数）的定义域与形状随

μ

而变：

μ = 2

时定义域为

R

，图形关于

y

轴对称；

μ = 3

时定义域为

R

，图形关于原点对称；

μ = \frac{1}{2}

即

y = x

，定义域为

[0, + \infty)

；

μ = - 1

即

y = \frac{1}{x}

，定义域为

x \neq = 0

。无论

μ

为何值，图形恒过点

(1, 1)

。

2. 指数函数：性质由幂的运算法则推出

函数

y = a^{x}

（

a > 0

，

a \neq = 1

）称为指数函数，定义域为

(- \infty, + \infty)

。它的各条性质并非另行记忆，而是由上一条的运算法则直接得出。

① 恒为正，即 $a^{x} > 0$ . 由

a^{x} \cdot a^{- x} = a^{0} = 1

知

a^{x} \neq = 0

；又

a^{x} = (a^{x /2})^{2} \geq 0

，故

a^{x} > 0

。于是值域为

(0, + \infty)

，图形全在

x

轴上方，方程 $a^{x} = 0$ 无解。

② 图形恒过 $(0, 1)$ . 这就是

a^{0} = 1

。

③ 单调性. 设

x_{1} < x_{2}

，则

\frac{a ^{x_{2}}}{a ^{x_{1}}} = a^{x_{2} - x_{1}}

。当

a > 1

时该商大于

1

，故

a^{x_{2}} > a^{x_{1}}

，函数单调增加；当

0 < a < 1

时该商小于

1

，函数单调减少。

④ 底数互为倒数时图形关于 $y$ 轴对称. 由

(\frac{1}{a})^{x} = a^{- x}

可知，

y = (\frac{1}{2})^{x}

的图形即

y = 2^{x}

的图形关于

y

轴作镜像所得。

常用的底数是

e = 2.71828 \dots

，相应的函数记作

y = e^{x}

。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

化简幂的式子：先展开幂的幂，再按底数合并

第一步：把

(a^{m})^{n}

、

(ab)^{n}

这类外层的幂展开，使每个字母只带一个指数。

第二步：同底数的因子合并，乘法用

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

，除法用

\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

。

第三步：把负指数按

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

还原（题目要求正指数时），并核对每个字母的指数是否只剩一处。

次序不可颠倒：先合并再展开，外层的指数会漏乘。

例例. 化简

\frac{( 2 a ^{2} b ^{- 1} ) ^{3}}{4 a ^{- 1} b ^{2}}

，结果写成正指数。

第一步，展开外层的幂：

(2 a^{2} b^{- 1})^{3} = 2^{3} a^{6} b^{- 3} = 8 a^{6} b^{- 3} .

系数 $2$ 也要三次方——这正是「先合并再展开会漏乘」的那一处：若先去合并

a

、

b

，最后补立方时十有八九只写了

2

。

第二步，同底合并，乘除分别用加减指数：

\frac{8 a ^{6} b ^{- 3}}{4 a ^{- 1} b ^{2}} = \frac{8}{4} \cdot a^{6 - (- 1)} \cdot b^{- 3 - 2} = 2 a^{7} b^{- 5} .

a

的指数是

6 - (- 1) = 7

，不是

5

——分母上的负指数减过来要变号。

第三步，负指数还原：

\frac{2 a ^{7}}{b ^{5}}

。核对一遍：

a

只出现一处、

b

只出现一处 ✓

比较同底幂的大小：先看底数与 1 的关系

第一步：确认两个幂同底。不同底时先用

a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}

或换底化为同底。

第二步：看底数

a

与

1

的大小——

a > 1

时幂随指数增大而增大，

0 < a < 1

时反之。

第三步：比较两个指数的大小，按第二步的方向下结论。

全程不必求出幂的数值。

例例. 比较

0. 3^{- 2}

与

0. 3^{- 3}

的大小。

第一步，同底 ✓ 底数都是

0.3

。

第二步，

0 < 0.3 < 1

，所以幂随指数增大而减小——方向是反的。

第三步，指数

- 2 > - 3

，按第二步的反方向：

0. 3^{- 2} < 0. 3^{- 3}

。

验算（不是解法）：

0. 3^{- 2} = \frac{1}{0.09} \approx 11.1

、

0. 3^{- 3} = \frac{1}{0.027} \approx 37

✓

再看一个要先化同底的：比较

34

与

2

。统一到底数

2

：

34 = 4^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}, 2 = 2^{\frac{1}{2}} .

底

2 > 1

，方向是正的，而

\frac{2}{3} > \frac{1}{2}

，故

34 > 2

。全程没有求出任何一个幂的数值。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把 $(a + b)^{n}$ 展成 $a^{n} + b^{n}$

运算法则里的

(ab)^{n} = a^{n} b^{n}

管的是积的幂，没有与和的幂相对应的简化式。

取

a = b = 1

、

n = 2

验算：

(1 + 1)^{2} = 4

，而

1^{2} + 1^{2} = 2

。凡拿不准某个变形，代一组数验算是最快的办法。

把 $a^{- n}$ 当成负数

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

，负号在指数上，不在值上。

a > 0

时

a^{- n}

仍然是正数：

2^{- 3} = \frac{1}{8} > 0

。

这一条与「

a^{x}

恒为正」是同一件事，而后者是指数函数图形全在

x

轴上方的根据。

合并 $a^{m} + a^{n}$

法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

的左端是乘，不是加。

a^{m} + a^{n}

一般化简不了，只能提公因式：

2^{3} + 2^{5} = 2^{3} (1 + 2^{2}) = 2^{3} \cdot 5

。

遇到幂的和式，想的是提公因式，不是用乘法法则。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 照着法则算

练 1

5^{0} =

________。

练 2

2^{- 3} =

________。

练 3

a^{2} \cdot a^{5} =

________（用一个幂表示）。

练 4

(a^{3})^{2} =

（）。

A $a^{6}$
B $a^{5}$
C $a^{9}$
D $a^{8}$

练 5

9^{\frac{1}{2}} =

________。

第二组 · 化简

练 6

化简

\frac{a ^{5}}{a ^{2}}

（

a \neq = 0

）。

练 7

化简

(2 a^{2})^{3}

。

练 8

化简

\frac{( a ^{2} b ^{- 1} ) ^{3}}{a ^{4} b ^{- 2}}

（

a > 0

，

b > 0

），结果用正指数表示。

练 9

下列各式中正确的是（）。

A $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$
B $a^{2} + a^{3} = a^{5}$
C $(a^{2})^{3} = a^{6}$
D $\frac{a ^{6}}{a ^{2}} = a^{3}$

练 10

化简

2^{3} + 2^{5}

，写成一个幂与一个整数之积。

第三组 · 比大小与解方程

练 11

比较

0. 3^{2}

与

0. 3^{3}

的大小，正确的是（）。

A $0. 3^{2} < 0. 3^{3}$
B $0. 3^{2} = 0. 3^{3}$
C $0. 3^{2} > 0. 3^{3}$
D无法比较

练 12

解方程

2^{x} = 8

。

练 13

方程

e^{x} = 0

的解的个数为（）。

A $0$ 个
B $1$ 个
C $2$ 个
D无穷多个

练 14

函数

y = (\frac{1}{2})^{x}

的图形与

y = 2^{x}

的图形关于 ________ 对称。

幂的运算法则与指数函数

先打基础

1. 幂的运算法则与幂函数

2. 指数函数：性质由幂的运算法则推出

常用结构

化简幂的式子：先展开幂的幂，再按底数合并

比较同底幂的大小：先看底数与 1 的关系

基础易错

把 (a+b)n 展成 an+bn

把 a−n 当成负数

合并 am+an

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

练 13

练 14

把 $(a + b)^{n}$ 展成 $a^{n} + b^{n}$

把 $a^{- n}$ 当成负数

合并 $a^{m} + a^{n}$