反函数

高等数学 · 预备知识（高中内容）

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 反函数：定义、存在条件与图形的对称性

设函数

y = f (x)

在集合

D

上有定义，值域为

R

。若对

R

中每一个

y

，

D

中有唯一的

x

使

f (x) = y

，则这一对应本身确定了一个以

R

为定义域的函数，称为

f

的反函数，记作

x = f^{- 1} (y)

。习惯上仍以

x

表示自变量，故改写为

y = f^{- 1} (x) .

存在条件. 若

f

在

D

上单调，则反函数必存在——单调保证了「每一个

y

只来自一个

x

」。不单调的函数须先限制在某个单调区间上，才谈得上反函数。

三条须记住的事实.

①

f

与

f^{- 1}

的定义域与值域互换：

f

的值域就是

f^{- 1}

的定义域。

②

f^{- 1} (f (x)) = x

，

f (f^{- 1} (x)) = x

——两者互相抵消。

③ 在同一坐标系中，

y = f (x)

与

y = f^{- 1} (x)

的图形关于直线 $y = x$ 对称。

第 ③ 条是下一节的全部来源：对数函数的图形，就是指数函数的图形关于

y = x

翻折所得。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求反函数：解出 $x$ → 交换字母 → 写定义域

第一步：把

y = f (x)

当作关于

x

的方程，解出

x

，用

y

表示。

第二步：交换字母

x

与

y

，得

y = f^{- 1} (x)

。

第三步：写出反函数的定义域——它等于原函数的值域，不能照抄原函数的定义域。

第三步最容易略去，而略去之后答案在形式上毫无异常。

例例. 求

y = \frac{2 x - 1}{x + 3}

的反函数。

第一步，把它当作关于

x

的方程解出来：

y (x + 3) = 2 x - 1 \Rightarrow x (y - 2) = - 1 - 3 y \Rightarrow x = \frac{3 y + 1}{2 - y} .

第二步，交换字母：

y = \frac{3 x + 1}{2 - x}

。

第三步，定义域取原函数的值域。把原式改写成

y = \frac{2 ( x + 3 ) - 7}{x + 3} = 2 - \frac{7}{x + 3},

x \neq = - 3

时

\frac{7}{x + 3}

取遍一切非零值，所以值域是

y \neq = 2

。故反函数的定义域是

x \neq = 2

。

两边对上了：这个

2

恰好是第二步那个式子的分母零点 ✓ 略去第三步，答案在形式上一点异常都没有——所以它才容易丢。

判断反函数是否存在：先看单调

第一步：求出（或看出）函数在所给区间上的单调性。

第二步：单调则反函数存在；不单调则先分段，在每个单调区间上分别讨论。

第三步：若题目没有给区间，默认在整个定义域上判断，此时像

y = x^{2}

这样的函数要答「不存在」。

例例. 问

y = x^{2}

的反函数是否存在？

第一步，题目没给区间，就在整个定义域

R

上判断。它在

R

上不单调：

- 1

与

1

都映到

1

。

第二步，不单调

\Rightarrow

反函数不存在。

第三步，若题目改成「在

[0, + \infty)

上」，那里单调递增，反函数存在，是

y = x

；改成

(- \infty, 0]

，反函数是

y = - x

。

所以「

x^{2}

的反函数是

x

」这句话脱离区间就是错的——区间是题目的一半，不是附注。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把 $f^{- 1} (x)$ 当成 $\frac{1}{f ( x )}$

右上角的

- 1

是反函数的记号，不表示

- 1

次幂。

f (x) = 2 x

时

f^{- 1} (x) = \frac{x}{2}

，而

[f (x)]^{- 1} = \frac{1}{2 x}

。

凡看到

f^{- 1}

，先问「这是在说反函数还是倒数」，而判据是它写在函数名上还是函数值上。

求完反函数不写定义域

反函数的定义域是原函数的值域。例如

y = x

（

x \geq 0

）的值域为

[0, + \infty)

，故其反函数

y = x^{2}

的定义域必须限定为

[0, + \infty)

，而不是全体实数。

不写定义域，得到的

y = x^{2}

并不是原函数的反函数。

对不单调的函数直接求反函数

由

y = x^{2}

形式地解出

x = \pm y

，带着

\pm

的式子不是函数（一个

y

对两个

x

）。

正确的做法是先限制区间：在

[0, + \infty)

上取

x = y

，在

(- \infty, 0]

上取

x = - y

。 $\pm$ 出现时就是在提醒你没有限制区间。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认出反函数

练 1

记号

f^{- 1} (x)

表示（）。

A $f$ 的反函数
B $f (x)$ 的倒数
C $f (x)$ 的相反数
D $f (x)$ 的导数

练 2

下列函数中，在其定义域上有反函数的是（）。

A $y = x^{2}$
B $y = ∣ x ∣$
C $y = 3 x - 1$
D $y = cos x$

练 3

若

f (2) = 5

，则

f^{- 1} (5) =

________。

练 4

函数

y = f (x)

与它的反函数的图形关于直线 ________ 对称。

第二组 · 求反函数

练 5

求

y = 3 x - 2

的反函数。

练 6

求

y = x^{3}

的反函数。

练 7

求

y = \frac{1}{x}

（

x \neq = 0

）的反函数。

练 8

函数

y = x

（

x \geq 0

）的反函数是（）。

A $y = x^{2}$ ， $x \geq 0$
B $y = x^{2}$ ， $x \in (- \infty, + \infty)$
C $y = - x^{2}$ ， $x \geq 0$
D $y = \pm x^{2}$

练 9

求

y = \frac{2 x + 1}{x - 1}

（

x \neq = 1

）的反函数。

第三组 · 对称性与存在条件

练 10

点

(2, 7)

在

y = f (x)

的图形上，则下列各点中必在

y = f^{- 1} (x)

图形上的是（）。

A $(2, 7)$
B $(- 2, - 7)$
C $(7, 2)$
D $(\frac{1}{2}, \frac{1}{7})$

练 11

若

f

在区间

I

上单调增加，则

f^{- 1}

在相应区间上（）。

A单调增加
B单调减少
C不单调
D无法判断

练 12

函数

y = x^{2}

限制在区间 ________ 上时，其反函数为

y = - x

。

练 13

下列说法错误的是（）。

A单调函数必有反函数
B有反函数的函数必单调
C $f$ 与 $f^{- 1}$ 的定义域与值域互换
D $f$ 与 $f^{- 1}$ 的图形关于 $y = x$ 对称

反函数