对数与对数运算法则

高等数学 · 预备知识（高中内容）

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 对数的定义：它就是指数的反函数

指数函数

y = a^{x}

（

a > 0

，

a \neq = 1

）单调，故有反函数，称为对数函数，记作

y = lo g_{a} x .

由反函数的定义，下面两式说的是同一件事：

y = lo g_{a} x ⟺ a^{y} = x .

对数就是「指数」：

lo g_{a} x

读作「以

a

为底

x

的对数」，它的值正是「

a

的多少次幂等于

x

」里的那个「多少」。

由「定义域与值域互换」立刻得到对数函数的性质，无须另记：

① 定义域为

(0, + \infty)

——它是指数函数的值域，故真数必须为正；

② 值域为

(- \infty, + \infty)

；

③ 图形恒过

(1, 0)

——它是

a^{0} = 1

的翻译；

④

a > 1

时单调增加，

0 < a < 1

时单调减少；

⑤ 图形与

y = a^{x}

的图形关于直线

y = x

对称——上图中

y = e^{x}

与

y = ln x

正是这样一对。

记号约定：

lo g_{e} x

记作

ln x

（自然对数），

lo g_{10} x

记作

l g x

。常用值

ln 1 = 0

、

ln e = 1

。

2. 对数的运算法则：幂的运算法则的改写

对数的三条运算法则并非新东西，它们是上一节幂的运算法则逐条翻译的结果（设

M > 0

、

N > 0

）：

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

⟹ lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N

\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

⟹ lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N

(a^{m})^{n} = a^{mn}

⟹ lo g_{a} M^{n} = n lo g_{a} M

翻译的办法很直接：令

M = a^{m}

、

N = a^{n}

，则

m = lo g_{a} M

、

n = lo g_{a} N

，把它们代进幂的法则两边取对数即可。

换底公式. 底数不同的对数可以化为同底：

lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}

常取

c = e

，即

lo g_{a} b = \frac{ln b}{ln a}

。

由此还得到两个常用的推论：

lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}

，以及

a^{l o g_{a} x} = x

。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

化简对数式：先统一底数，再按法则合并

第一步：看各项的底数是否相同。不同则用换底公式

lo g_{a} b = \frac{ln b}{ln a}

统一（通常统一到

e

或题中出现最多的那个底）。

第二步：把系数移进真数——

n lo g_{a} M = lo g_{a} M^{n}

，使各项都是单个对数。

第三步：按加合并为积、减合并为商，合成一个对数，再把真数算出来。

次序不能倒：系数不先移进去，合并时就会漏乘。

例例. 化简

2 lo g_{3} 6 - lo g_{3} 4 + lo g_{3} \frac{1}{3}

。

第一步，三项的底都是

3

，不必换底 ✓

第二步，把系数移进真数：

2 lo g_{3} 6 = lo g_{3} 6^{2} = lo g_{3} 36

。现在三项都是单个对数了。

第三步，加合并为积、减合并为商：

lo g_{3} 36 - lo g_{3} 4 + lo g_{3} \frac{1}{3} = lo g_{3} (\frac{36}{4} \cdot \frac{1}{3}) = lo g_{3} 3 = 1.

系数不先移进去会怎样：顺手写成

2 (lo g_{3} 6 - lo g_{3} 4 + lo g_{3} \frac{1}{3})

，那个

2

就乘到了三项上，而它本来只属于第一项。这一步错了，后面每一步都是对的，答案照样是错的。

求具体对数的值：把真数写成底的幂

第一步：观察真数能否写成底数的整数次或分数次幂。

第二步：若能，指数即为所求（

lo g_{9} 3

：

9^{1/2} = 3

，故得

\frac{1}{2}

）。

第三步：若不能，改用换底公式化为

\frac{ln b}{ln a}

，再约分。

全程不必动用计算器——基础阶段出现的对数都是能算尽的。

例例. 求

lo g_{8} \frac{1}{4}

。

第一步，真数能不能写成底数的幂？把两边都化到底数

2

：

8 = 2^{3}

、

\frac{1}{4} = 2^{- 2}

。设

\frac{1}{4} = 8^{k}

，则

2^{- 2} = 2^{3 k}

。

第二步，指数相等得

3 k = - 2

，即

lo g_{8} \frac{1}{4} = - \frac{2}{3} .

第三步，用换底公式核对一遍：

lo g_{8} \frac{1}{4} = \frac{ln \frac{1}{4}}{ln 8} = \frac{- 2 ln 2}{3 ln 2} = - \frac{2}{3} ✓

两条路都没动计算器——基础阶段出现的对数都是算得尽的，算不尽就说明前面哪一步化错了。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

真数可以取零或负数

lo g_{a} x

的定义域是

(0, + \infty)

，故

lo g_{2} 0

、

lo g_{2} (- 4)

都没有意义。

这一点在求定义域时反复出现：

y = ln (x - 1)

要求

x > 1

，而不是

x \geq 1

。真数为正是硬条件，等号取不得。

把 $\frac{lo g _{a} M}{lo g _{a} N}$ 当成 $lo g_{a} \frac{M}{N}$

商的法则说的是

lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N

——对数相减，不是相除。

两个对数相除得到的是换底公式的右端：

\frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} = lo g_{a} b

，它改变的是底数，与真数的商无关。这两件事最容易混。

把系数直接约掉

由

2 ln x = ln 9

不能两边「约去 ln」得

2 x = 9

。正确的做法是先把系数移进真数：

2 ln x = ln x^{2}

，故

x^{2} = 9

，又因真数须为正得

x = 3

。

对数不是可以随意约去的因子，它是一个函数记号。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 照定义读

练 1

lo g_{2} 8 =

________。

练 2

ln e =

________。

练 3

lo g_{a} 1 =

________（

a > 0

，

a \neq = 1

）。

练 4

lo g_{2} (- 8)

的值为（）。

A $- 3$
B $3$
C $\frac{1}{3}$
D不存在

练 5

函数

y = ln (x - 2)

的定义域是 ________。

第二组 · 用运算法则化简

练 6

化简

lo g_{2} 4 + lo g_{2} 8

。

练 7

化简

l g 20 - l g 2

。

练 8

化简

ln (e^{3} x) - ln x

（

x > 0

）。

练 9

下列各式中正确的是（）。

A $lo g_{a} (M + N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$
B $lo g_{a} M^{n} = (lo g_{a} M)^{n}$
C $lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N$
D $\frac{lo g _{a} M}{lo g _{a} N} = lo g_{a} \frac{M}{N}$

练 10

化简

2 ln 3 - ln 9

。

第三组 · 换底与综合

练 11

用换底公式求

lo g_{4} 8

。

练 12

a^{l o g_{a} 7} =