函数的概念与基本性质

§1.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.12 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

10.2 分支撑的下游价值

前置诊断

这是地基知识点，无前置要求，可以直接学习。

③ 掌握后可解锁数列的极限函数的极限

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 两个函数相同的条件：定义域相同且对应法则相同

判断两个函数是否相同，与化简后的表达式是否相同无关，只需核对定义域与对应法则。这是因为函数

=

定义域

+

对应法则，两者共同确定一个函数。下面是最容易出错的例子：

f (x) = x

与

g (x) = \frac{x ^{2}}{x}

，化简以后都是

y = x

，但

g

在

x = 0

处没有定义（它的定义域是

x \neq = 0

），故二者不是同一函数。反过来，

f (x) = l g x^{2}

与

g (x) = 2 l g x

也不相同：前者的定义域是

x \neq = 0

，后者的定义域是

x > 0

。

举例说明

例. 下列各组函数是否为同一函数？
(1)

f (x) = x^{2}

与

g (x) = x

；(2)

f (x) = ln x^{2}

与

g (x) = 2 ln ∣ x ∣

。
解. (1) 因为

x^{2} = ∣ x ∣

，其对应法则与

g (x) = x

不同（当

x < 0

时两者的值相反），故不是同一函数。(2) 两者的定义域都是

x \neq = 0

，且

ln x^{2} = ln ∣ x ∣^{2} = 2 ln ∣ x ∣

，对应法则也相同，故是同一函数。

2. 判定奇偶性的步骤：先验定义域是否关于原点对称，再计算 $f (- x)$ ★★ 必会

常常有人一开始就去计算

f (- x)

，却忽略了前提：奇偶性只对定义域关于原点对称的函数才有意义。如果定义域不对称（例如

[0, 1]

、

(1, + \infty)

），就可以直接断定它非奇非偶，根本不必去算

f (- x)

。在这一条满足以后，再计算

f (- x)

，并与

f (x)

相比较。若结果

= f (x)

，则为偶函数；若

= - f (x)

，则为奇函数；两者都不成立，则为非奇非偶函数。常用的推论有：奇函数

\times

奇函数

=

偶函数，奇函数

\times

偶函数

=

奇函数；若奇函数在

0

处有定义，则

f (0) = 0

。

证明 / 推导

为什么定义域对称是前提？

f

为偶函数，要求

f (- x) = f (x)

对定义域内的每一个

x

都成立，这就要求

- x

也在定义域内。如果存在

x_{0}

在定义域内，而

- x_{0}

不在定义域内，那么

f (- x_{0})

根本没有定义，上述等式便无从谈起。所以定义域必须关于原点对称，否则讨论奇偶性没有意义。

举例说明

例（数三 1990 真题）. 设函数

f (x) = x tan x \cdot e^{s i n x}

，判断

f (x)

是（A）偶函数（B）无界函数（C）周期函数（D）单调函数。
解. 先按上述方法判定奇偶性：定义域关于原点对称，而

f (- x) = (- x) tan (- x) e^{s i n (- x)} = x tan x e^{- s i n x}

。它既不等于

f (x)

（指数上相差一个符号），也不等于

- f (x)

，故

f

非奇非偶，(A) 可以排除；因子

x

与

e^{s i n x}

破坏了周期性，(C) 可以排除；

f

在定义域上也不单调，(D) 可以排除。取

x_{n} = 2 nπ + \frac{π}{4}

，则

tan x_{n} = 1

，

f (x_{n}) = x_{n} e^{2 /2} \to + \infty

，故

f

无界，故选 B。本题演示了判定奇偶性的步骤：先验证定义域关于原点对称，再计算

f (- x)

，并与

f (x)

相比较。

3. 复合函数的定义域：内外两层的约束必须同时满足

求

y = f (g (x))

的定义域时，不能只看外层，也不能只看内层，而要逐层传递：(i)

x

落在内层函数

g

的定义域内；(ii) 中间值

g (x)

落在外层函数

f

的定义域内。这两条缺一不可，漏掉其中任何一条都会把定义域算错。这是复合函数中最容易出错的地方。

举例说明

例. 设

f (u) = ln u

，

g (x) = 4 - x^{2}

，求

y = f (g (x)) = ln (4 - x^{2})

的定义域。
解. 内层

g (x) = 4 - x^{2}

对一切

x

都有定义，约束 (i) 自然满足；外层

ln u

要求

u > 0

，即

g (x) = 4 - x^{2} > 0

，这就是约束 (ii)，解得

- 2 < x < 2

。故所求定义域为

(- 2, 2)

。如果把外层换成

u

（它要求

u \geq 0

），则定义域变为

[- 2, 2]

。可见外层的定义域一经改变，整个复合函数的定义域也随之改变。

4. 反函数存在的充分条件是严格单调，其图像关于 $y = x$ 对称★★ 必会

y = f (x)

有反函数的充分必要条件是

f

为一一对应（即单射）；而严格单调是保证一一对应的最常用的充分条件。必须注意，一一对应并不要求单调，但在考研的范围内一般都借助单调性来判定。求反函数就是解出

x = f^{- 1} (y)

，再把记号对换；原函数与反函数的图像关于直线

y = x

对称，并且

f

的定义域与值域分别是

f^{- 1}

的值域与定义域。还须注意，

f^{- 1} (x)

是反函数的记号，不是

\frac{1}{f ( x )}

。

证明 / 推导

严格单调 $\Rightarrow$ 一一对应 $\Rightarrow$ 有反函数。 设

f

在

D

上严格递增。任取

x_{1} \neq = x_{2}

，不妨设

x_{1} < x_{2}

，则

f (x_{1}) < f (x_{2})

，故

f (x_{1}) \neq = f (x_{2})

，即不同的自变量必对应不同的函数值，所以

f

是单射。于是对值域中的每一个

y

，方程

f (x) = y

有唯一的解

x

，这样得到的

y \mapsto x

的对应就是反函数

f^{- 1}

。

举例说明

例（数三 2025 真题）. 设

g (x)

是

f (x) = \frac{1}{2} ln \frac{3 + x}{3 - x}

的反函数，求曲线

y = g (x)

的渐近线方程。
解. 求反函数，就是把

y = f (x)

中的

x

反解出来。由

y = \frac{1}{2} ln \frac{3 + x}{3 - x}

得

e^{2 y} = \frac{3 + x}{3 - x}

，解出

x = \frac{3 ( e ^{2 y} - 1 )}{e ^{2 y} + 1}

，再对换记号，得

g (x) = \frac{3 ( e ^{2 x} - 1 )}{e ^{2 x} + 1}

。它在

R

上连续，没有铅直渐近线，故只需求水平渐近线，即求两端的极限：

x \to - \infty lim g (x) = \frac{3 ( 0 - 1 )}{0 + 1} = - 3

，

x \to + \infty lim g (x) = \frac{3 ( 1 - 0 )}{1 + 0} = 3

。故有两条水平渐近线

y = - 3

与

y = 3

。也可以这样看：原函数

f

的定义域为

(- 3, 3)

，有铅直渐近线

x = \pm 3

，而反函数的图像关于

y = x

对称，因此铅直渐近线变为水平渐近线，同样可以直接得到结论。这也说明反函数与原函数的定义域和值域互相交换。

💡 小知识

函数一词的中译出自清代数学家李善兰，见于 1859 年他与伟烈亚力合译的《代微积拾级》。他在书中写道，凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数。函在这里通含，点出的是一个量里含着另一个量的依赖关系，比英文的 function 更为传神。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求函数

y = \frac{1}{x - 1} + ln (4 - x)

的定义域。难度 1

解. 定义域是使各部分同时有意义的

x

的集合，逐项列约束：

-

\frac{1}{x - 1}

：根号内非负且作分母不为零，需

x - 1 > 0

，即

x > 1

；
-

ln (4 - x)

：对数真数为正，需

4 - x > 0

，即

x < 4

。

两个条件取交集：

1 < x < 4

。故定义域为

(1, 4)

。

例 2 判断函数

f (x) = \frac{sin x}{x}

的奇偶性。难度 1

解. 第一步看定义域：

x \neq = 0

，即

(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)

，关于原点对称，可继续判断。

第二步算

f (- x)

：

f (- x) = \frac{sin ( - x )}{- x} = \frac{- sin x}{- x} = \frac{sin x}{x} = f (x) .

因

f (- x) = f (x)

，故

f

是偶函数。（本质是「奇函数

\div

奇函数

=

偶函数」：

sin x

与

x

都是奇函数。）

例 3 求函数

y = 2^{x} + 1 (x \in R)

的反函数，并指出其定义域。难度 2

解. 反函数就是把

y = f (x)

反解成

x = f^{- 1} (y)

。

由

y = 2^{x} + 1

得

2^{x} = y - 1

。因

2^{x} > 0

，须

y - 1 > 0

。两边取以

2

为底的对数：

x = lo g_{2} (y - 1) .

习惯上把自变量记为

x

，故反函数为

y = lo g_{2} (x - 1) .

它的定义域是原函数的值域：

2^{x} > 0 \Rightarrow y = 2^{x} + 1 > 1

，即

(1, + \infty)

。

例 4 设

f (x - 1) = x^{2} + 1

，求

f (x)

。难度 2

解. 用换元法：令

t = x - 1

，则

x = t + 1

。代入

f (x - 1) = x^{2} + 1

：

f (t) = (t + 1)^{2} + 1 = t^{2} + 2 t + 2.

把哑变量

t

换回

x

，得

f (x) = x^{2} + 2 x + 2.

验证.

f (x - 1) = (x - 1)^{2} + 2 (x - 1) + 2 = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x - 2 + 2 = x^{2} + 1

，与题设一致。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

设

g (x)

是函数

f (x) = \frac{1}{2} ln \frac{3 + x}{3 - x}

的反函数，则曲线

y = g (x)

的渐近线方程为______。

2020 年 · 数三 · 第 3 题 · 选择题 · 4 分

设奇函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上具有连续导数，则（　　）

A $\int_{0}^{x} [cos f (t) + f^{'} (t)] d t$ 是奇函数
B $\int_{0}^{x} [cos f (t) + f^{'} (t)] d t$ 是偶函数
C $\int_{0}^{x} [cos f^{'} (t) + f (t)] d t$ 是奇函数
D $\int_{0}^{x} [cos f^{'} (t) + f (t)] d t$ 是偶函数

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

函数

f (x) = arcsin (x - 1)

的定义域是（）。

A $[0, 2]$
B $[- 1, 1]$
C $[1, 3]$
D $(0, 2)$

练习 2 · 选择题

下列函数中为奇函数的是（）。

A $x sin x$
B $x^{3} - x$
C $∣ x ∣$
D $x^{2} + 1$

练习 3 · 填空题

函数

f (x) = sin \frac{x}{2}

的最小正周期为 ____。

练习 4 · 填空题

设

f (x + 1) = x^{2} - 1

，则

f (x) =

____。

2004 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

函数

f (x) = \frac{∣ x ∣ sin ( x - 2 )}{x ( x - 1 ) ( x - 2 ) ^{2}}

在下列哪个区间内有界（　　）

A $(- 1, 0)$ .
B $(0, 1)$ .
C $(1, 2)$ .
D $(2, 3)$ .

1990 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 3 分

设函数

f (x) = x tan x \cdot e^{s i n x}

，则

f (x)

是（　　）。

A偶函数
B无界函数
C周期函数
D单调函数

函数的概念与基本性质

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 两个函数相同的条件：定义域相同且对应法则相同

2. 判定奇偶性的步骤：先验定义域是否关于原点对称，再计算 f(−x)★★ 必会

3. 复合函数的定义域：内外两层的约束必须同时满足

4. 反函数存在的充分条件是严格单调，其图像关于 y=x 对称★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 判定奇偶性的步骤：先验定义域是否关于原点对称，再计算 $f (- x)$ ★★ 必会

4. 反函数存在的充分条件是严格单调，其图像关于 $y = x$ 对称★★ 必会