数列的极限

§1.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.51 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

13.5 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）函数的概念与基本性质③ 掌握后可解锁函数的极限极限存在准则（夹逼、单调有界）无穷小与无穷大、阶的比较定积分的概念与性质常数项级数的概念与性质

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. $ε - N$ 定义的三个要点： $ε$ 是任意的， $N$ 依赖于 $ε$ ，而极限只与数列的尾部有关★ 要懂

把定义

\forall ε > 0, \exists N, n > N \Rightarrow ∣ a_{n} - A ∣ < ε

可以这样理解：先给定一个精度

ε

，它可以任意小；然后要找出一个项数

N

，使得第

N

项以后的一切项都落在以极限为中心、以该精度为半径的邻域内。这里有三点要注意：(1)

ε

的任意性最为要紧，不能只取某个具体的值去验证；(2)

N

依赖 $ε$ ，一般

ε

越小

N

越大，而且只要求它存在，取更大的数同样可以；(3) 定义只涉及

n > N

的项，前面的有限项取什么值都没有影响。因此改动或删去有限项都不改变极限。

举例说明

例. 说明删去数列前

1000

项不改变极限。
解. 设

lim a_{n} = A

，新数列

b_{k} = a_{k + 1000}

。对任意

ε > 0

，由原数列的收敛性，存在

N

使

n > N

时

∣ a_{n} - A ∣ < ε

。取

N^{'} = max {N - 1000, 0}

，当

k > N^{'}

时

k + 1000 > N

，故

∣ b_{k} - A ∣ = ∣ a_{k + 1000} - A ∣ < ε

。于是

lim b_{k} = A

，与原极限相同。这就说明极限只与数列的尾部有关。

2. 用定义证明极限的一般方法：把 $∣ a_{n} - A ∣$ 放大成 $\frac{c}{n}$ 这样的形式再反解

证明的目标是对给定的

ε

解出

N

，难点在于

∣ a_{n} - A ∣

中常含有复杂的

n

。主要的方法是放大：把

∣ a_{n} - A ∣

放大为一个形如

\frac{c}{n}

（或

\frac{c}{n}

）的简洁上界，从而摆脱复杂的表达式，再令它

< ε

反解出

n

，取

N = [\frac{c}{ε}]

即可。放大时只要不等式成立即可，不必追求最小的

N

，够用就行。

举例说明

例. 用定义证明

n \to \infty lim \frac{n cos n}{n ^{2} + 1} = 0

。
解. 放大（利用

∣ cos n ∣ \leq 1

、

n^{2} + 1 > n^{2}

）：

\frac{n cos n}{n ^{2} + 1} - 0 \leq \frac{n}{n ^{2} + 1} < \frac{n}{n ^{2}} = \frac{1}{n} .

对任意

ε > 0

，取

N = [\frac{1}{ε}]

，则

n > N

时上式

< \frac{1}{n} < ε

。故极限为

0

。放大时舍去有界因子

cos n

、把

n^{2} + 1

缩成

n^{2}

，都是为了得到简洁的

\frac{1}{n}

。

3. 收敛 $\Rightarrow$ 有界是必要条件而非充分条件；子列法常用来证明发散★★ 必会

收敛数列必有界，但有界推不出收敛（

(- 1)^{n}

有界却发散）。要由有界得到收敛，还须加上单调这一条件，这就是下一节的单调有界准则。此外，收敛数列的任何子列都收敛于同一极限。这一结论的逆否命题常用来证明发散：只要找到两个子列趋于不同的值，原数列就必发散；奇数项与偶数项构成的子列是最常用的一对。

证明 / 推导

收敛 $\Rightarrow$ 有界的证明。 设

lim a_{n} = A

。取

ε = 1

，存在

N

使

n > N

时

∣ a_{n} - A ∣ < 1

，从而

∣ a_{n} ∣ < ∣ A ∣ + 1

。而前

N

项

a_{1}, \dots, a_{N}

只有有限个，记

M_{0} = max {∣ a_{1} ∣, \dots, ∣ a_{N} ∣}

。取

M = max {M_{0}, ∣ A ∣ + 1}

，则对一切

n

有

∣ a_{n} ∣ \leq M

，即数列有界。

■

举例说明

例（数三2015真题）. 设

{x_{n}}

是数列，下列命题不正确的是（）。(A) 若

n \to \infty lim x_{n} = a

，则

n \to \infty lim x_{2 n} = n \to \infty lim x_{2 n + 1} = a

；(B) 若

n \to \infty lim x_{2 n} = n \to \infty lim x_{2 n + 1} = a

，则

n \to \infty lim x_{n} = a

；(C) 若

n \to \infty lim x_{n} = a

，则

n \to \infty lim x_{3 n} = n \to \infty lim x_{3 n + 1} = a

；(D) 若

n \to \infty lim x_{3 n} = n \to \infty lim x_{3 n + 1} = a

，则

n \to \infty lim x_{n} = a

。
解. 依据是：收敛数列的任意子列都收敛于同一极限；反之，若干子列都收敛于

a

，只有当它们的下标合起来覆盖了全部的项时，才能反过来推出

x_{n} \to a

。(A)(C) 都是由整体收敛

\Rightarrow

子列收敛，故正确；(B) 中偶数项

{x_{2 n}}

与奇数项

{x_{2 n + 1}}

恰好覆盖了全部下标，故也正确。(D) 中

{x_{3 n}}, {x_{3 n + 1}}

只覆盖了下标

\equiv 0, 1 (mod 3)

，漏掉

\equiv 2

的那一支。例如取

x_{n} = 1 (n \neq \equiv 2)

、

x_{n} = 0 (n \equiv 2 mod 3)

，则

x_{3 n}, x_{3 n + 1} \to 1

而

x_{3 n + 2} \to 0

，

lim x_{n}

不存在。故 (D) 不正确，选 D。由此可见，若各子列的极限不一致，或者它们没有覆盖全部的项，就不能断言原数列收敛。

4. 保号性与保不等式性：不等号可以传给极限，但严格不等号会变为不严格★★ 必会

保号性：若

lim a_{n} = A > 0

，则存在

N

，当

n > N

时

a_{n} > 0

，也就是说，极限的符号可以传给足够靠后的各项。保不等式性（反过来的情形）：若从某项起

a_{n} \geq 0

且收敛，则

lim a_{n} \geq 0

。这里必须注意：即使

a_{n} > 0

严格成立，取极限后也只能得到

lim a_{n} \geq 0

，严格不等号会退化为不严格的。例如

a_{n} = \frac{1}{n} > 0

，但

lim = 0

。这两条性质是比较判别法与夹逼准则的依据。

证明 / 推导

保号性的证明（ $A > 0$ 情形）。 在定义中取

ε = \frac{A}{2} > 0

，存在

N

使

n > N

时

∣ a_{n} - A ∣ < \frac{A}{2}

，即

- \frac{A}{2} < a_{n} - A < \frac{A}{2}

，从而

a_{n} > A - \frac{A}{2} = \frac{A}{2} > 0

。故

n > N

时

a_{n} > 0

，并且还有正的下界

\frac{A}{2}

。

■

举例说明

例（数三2014真题）. 设

n \to \infty lim a_{n} = a

且

a \neq = 0

，则当

n

充分大时有（）。(A)

∣ a_{n} ∣ > \frac{∣ a ∣}{2}

；(B)

∣ a_{n} ∣ < \frac{∣ a ∣}{2}

；(C)

a_{n} > a - \frac{1}{n}

；(D)

a_{n} < a + \frac{1}{n}

。
解. 这是保号性的直接应用。由

lim a_{n} = a

得

lim ∣ a_{n} ∣ = ∣ a ∣ > 0

。在定义中取

ε_{0} = \frac{∣ a ∣}{2} > 0

，存在

N

，当

n > N

时

∣ a_{n} ∣ - ∣ a ∣ < \frac{∣ a ∣}{2}

，即

\frac{∣ a ∣}{2} < ∣ a_{n} ∣ < \frac{3∣ a ∣}{2}

，于是

∣ a_{n} ∣ > \frac{∣ a ∣}{2}

，选 A。(C)(D) 中的

\frac{1}{n}

不是固定的正数，它随

n

而变，因此不能由极限的定义（对固定的

ε

找

N

）来保证。本题说明了保号性的用法：由极限不为零，可以断定足够靠后的各项也不为零。

💡 小知识

ε - N

语言由柯西开端、魏尔斯特拉斯定型，终结了微积分诞生之后近两百年关于无穷小的争论。哲学家贝克莱曾经讥讽无穷小是已逝量的幽灵，而这套要多近就有多近的说法，把幽灵牢牢关进了严密的逻辑里。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 用

ε - N

定义证明

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2} + 1} = 0

。难度 1

解. 按定义，要对任意

ε > 0

找出

N

，使

n > N

时

\frac{1}{n ^{2} + 1} - 0 < ε

。

放大反解：因

n^{2} + 1 > n

，故

\frac{1}{n ^{2} + 1} - 0 = \frac{1}{n ^{2} + 1} < \frac{1}{n} .

要使

\frac{1}{n} < ε

，只需

n > \frac{1}{ε}

。于是取

N = [\frac{1}{ε}]

，当

n > N

时便有

\frac{1}{n ^{2} + 1} - 0 < \frac{1}{n} < ε .

由定义

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2} + 1} = 0

。

例 2 用

ε - N

定义证明

n \to \infty lim \frac{2 n - 1}{n + 1} = 2

。难度 1

解. 先算距离并放大：

\frac{2 n - 1}{n + 1} - 2 = \frac{2 n - 1 - 2 ( n + 1 )}{n + 1} = \frac{3}{n + 1} < \frac{3}{n} .

对任意

ε > 0

，要使

\frac{3}{n} < ε

，只需

n > \frac{3}{ε}

。取

N = [\frac{3}{ε}]

，则当

n > N

时

\frac{2 n - 1}{n + 1} - 2 < \frac{3}{n} < ε .

由定义

n \to \infty lim \frac{2 n - 1}{n + 1} = 2

。

例 3 求

n \to \infty lim \frac{3 n ^{2} + 2 n}{5 n ^{2} - 1}

。难度 2

解. 分子分母同除以最高次幂

n^{2}

：

\frac{3 n ^{2} + 2 n}{5 n ^{2} - 1} = \frac{3 + \frac{2}{n}}{5 - \frac{1}{n ^{2}}} .

当

n \to \infty

时，

\frac{2}{n} \to 0

、

\frac{1}{n ^{2}} \to 0

，由极限四则运算法则

n \to \infty lim \frac{3 n ^{2} + 2 n}{5 n ^{2} - 1} = \frac{3 + 0}{5 - 0} = \frac{3}{5} .

（口诀：分子分母同次多项式之比，极限等于最高次项系数之比。）

例 4 证明数列

a_{n} = (- 1)^{n}

发散。难度 2

解. 用子列法：若一个数列收敛，则它的任何子列都收敛于同一极限。反过来，只要找到两个子列收敛到不同的值，原数列必发散。

取偶数项子列

a_{2 k} = (- 1)^{2 k} = 1 \to 1

；取奇数项子列

a_{2 k - 1} = (- 1)^{2 k - 1} = - 1 \to - 1

。

两个子列的极限

1 \neq = - 1

，故

{(- 1)^{n}}

发散。（注意：

{(- 1)^{n}}

有界却发散，说明「有界」推不出「收敛」。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2024 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x) = n \to \infty lim \frac{1 + x}{1 + n x ^{2 n}}

，则

f (x)

（　　）。

A在 $x = 1, x = - 1$ 处都连续
B在 $x = 1$ 处连续， $x = - 1$ 处不连续
C在 $x = 1, x = - 1$ 处都不连续
D在 $x = 1$ 处不连续， $x = - 1$ 处连续

2022 年 · 数三 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

已知

a_{n} = n n - \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

（

n = 1, 2, \dots

），则数列

{a_{n}}

（　　）

A有最大值，有最小值
B有最大值，没有最小值
C没有最大值，有最小值
D没有最大值，没有最小值

2019 年 · 数三 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

n \to \infty lim [\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n ( n + 1 )}]^{n} =

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

对

n \to \infty lim \frac{1}{n} = 0

，取

ε = 0.01

，能使「当

n > N

时恒有

\frac{1}{n} < ε

」成立的最小正整数

N

是（）。

A $10$
B $100$
C $99$
D $101$

练习 2 · 选择题

下列数列中收敛的是（）。

A $a_{n} = (- 1)^{n}$
B $a_{n} = sin \frac{nπ}{2}$
C $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$
D $a_{n} = n$

练习 3 · 填空题

n \to \infty lim \frac{2 n ^{3} + 1}{n ^{3} - n} =

____。

练习 4 · 填空题

n \to \infty lim (n^{2} + n - n) =

____。

2015 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

设

{x_{n}}

是数列。下列命题中不正确的是（　　）。

A若 $n \to \infty lim x_{n} = a$ ，则 $n \to \infty lim x_{2 n} = n \to \infty lim x_{2 n + 1} = a$ .
B若 $n \to \infty lim x_{2 n} = n \to \infty lim x_{2 n + 1} = a$ ，则 $n \to \infty lim x_{n} = a$ .
C若 $n \to \infty lim x_{n} = a$ ，则 $n \to \infty lim x_{3 n} = n \to \infty lim x_{3 n + 1} = a$ .
D若 $n \to \infty lim x_{3 n} = n \to \infty lim x_{3 n + 1} = a$ ，则 $n \to \infty lim x_{n} = a$ .

2014 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

设

n \to \infty lim a_{n} = a

，且

a \neq = 0

，则当

n

充分大时有（　　）

A $∣ a_{n} ∣ > \frac{∣ a ∣}{2}$
B $∣ a_{n} ∣ < \frac{∣ a ∣}{2}$
C $a_{n} > a - \frac{1}{n}$
D $a_{n} < a + \frac{1}{n}$

2006 年 · 数三 · 第 1 题 · 填空题 · 4 分

n \to \infty lim (\frac{n + 1}{n})^{(- 1)^{n}} =

______.

数列的极限

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. ε-N 定义的三个要点：ε 是任意的，N 依赖于 ε，而极限只与数列的尾部有关★ 要懂

2. 用定义证明极限的一般方法：把 ∣an​−A∣ 放大成 nc​ 这样的形式再反解

3. 收敛 ⇒ 有界是必要条件而非充分条件；子列法常用来证明发散★★ 必会

4. 保号性与保不等式性：不等号可以传给极限，但严格不等号会变为不严格★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. $ε - N$ 定义的三个要点： $ε$ 是任意的， $N$ 依赖于 $ε$ ，而极限只与数列的尾部有关★ 要懂

2. 用定义证明极限的一般方法：把 $∣ a_{n} - A ∣$ 放大成 $\frac{c}{n}$ 这样的形式再反解

3. 收敛 $\Rightarrow$ 有界是必要条件而非充分条件；子列法常用来证明发散★★ 必会