无穷小与无穷大、阶的比较

§1.5 · 桥梁概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.09 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

8.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）函数的极限数列的极限③ 掌握后可解锁等价无穷小替换极限的计算方法综合函数的连续性与间断点

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 无穷小是趋于 $0$ 的变量，而不是很小的数，并且必须指明趋近过程★ 要懂

这是本章中最容易望文生义的概念。

0.0001

无论多么小，也只是一个常数，不是无穷小；能够作为无穷小的常数只有

0

。无穷小是处在变化过程中、始终趋向

0

的变量，脱离

x \to

这样的趋近过程去谈它是没有意义的。例如同一个函数

\frac{1}{x}

，当

x \to \infty

时是无穷小，当

x \to 0

时却是无穷大。必须注意：无穷小

=

极限为

0

的变量，无穷大

=

绝对值无限增大的变量，而且

\infty

不是数，不能参与约分与移项。

举例说明

例. 判断下列各量在指定的过程中是否为无穷小：(1)

\frac{1}{x} (x \to \infty)

；(2)

\frac{1}{x} (x \to 0)

；(3)

sin \frac{1}{x} (x \to \infty)

；(4)

0.001

。
解. (1)

\to 0

，是无穷小；(2)

\to \infty

，是无穷大；(3)

sin \frac{1}{x} \to sin 0 = 0

，是无穷小；(4) 它是非零常数，不是无穷小。由此可见，同一表达式在不同的趋近过程中结论并不相同。

2. 有界 $\times$ 无穷小 $=$ 无穷小： $lim_{x \to 0} sin \frac{1}{x}$ 不存在时仍可使用★★ 必会

这是无穷小运算中最常用的一条性质：只要一个因子有界，不必有极限，另一个因子是无穷小，那么乘积必是无穷小。它专门用于其中一个因子极限不存在而有界的场合。这时不能用乘积的极限等于极限之积，因为其中一个极限并不存在，只能依据这条性质。识别的标志是：式中出现

sin \frac{1}{x}

、

cos \frac{1}{x}

、

arctan (\dots)

等有界而振荡、没有确定极限的因子。

证明 / 推导

证明. 设

α (x)

是无穷小，即

lim α = 0

，

u (x)

有界，即存在

M > 0

使

∣ u (x) ∣ \leq M

。于是

0 \leq ∣ u (x) α (x) ∣ \leq M ∣ α (x) ∣

。当

α \to 0

时

M ∣ α ∣ \to 0

，由夹逼准则得

∣ uα ∣ \to 0

，即

uα

是无穷小。

■

举例说明

例（数三2007真题）. 求

x \to + \infty lim \frac{x ^{3} + x ^{2} + 1}{2 ^{x} + x ^{3}} (sin x + cos x)

。
解. 把式子看成一个无穷小

\times

一个有界量。前一个分式的分母含指数

2^{x}

，当

x \to + \infty

时指数函数的增长快于任意多项式，故

\frac{x ^{3} + x ^{2} + 1}{2 ^{x} + x ^{3}} \to 0

，它是无穷小；后一个因子

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

满足

∣ sin x + cos x ∣ \leq 2

，是有界的，但它的极限并不存在。由有界

\times

无穷小

=

无穷小，可知乘积

\to 0

。这里不能把它拆成两个极限之积，因为后者的极限不存在，只能依据有界

\times

无穷小这条性质。故应填

0

。

3. 无穷大一定无界，但无界不一定是无穷大

无穷大要求变量在整个过程中始终趋向

\infty

，即对任意大的

M

，从某一时刻起

∣ f ∣ > M

恒成立；而无界只要求它能够取到任意大的值，即存在一串点使

∣ f ∣

超过任何给定的界，中途允许回落。因此无穷大

\Rightarrow

无界，反过来并不成立。选择题中常在这里设置疑难。

举例说明

例. 说明

f (x) = x sin x

当

x \to + \infty

时无界，但不是无穷大。
解. 取

x_{n} = 2 nπ + \frac{π}{2} \to + \infty

，则

f (x_{n}) = x_{n} \cdot 1 = 2 nπ + \frac{π}{2} \to + \infty

，这说明

f

没有上界，即它是无界的。但另取

x_{n}^{'} = nπ \to + \infty

，则

f (x_{n}^{'}) = nπ \cdot sin (nπ) = 0

，函数值在这些点上一再回到

0

，并没有始终趋向

\infty

，所以

f

不是无穷大。

4. 阶的比较就是比较无穷小趋于零的快慢；等价无穷小 $=$ 泰勒展开的首项★★ 必会

把两个无穷小

α, β

相除，就能比较它们趋于零的快慢：若

lim \frac{β}{α} = 0

，则

β

是高阶无穷小，趋于零更快，记作

β = o (α)

；若

= \infty

，则是低阶无穷小；若

= C \neq = 0

，则二者同阶，当

C = 1

时称为等价，记作

α \sim β

。高阶无穷小

o (α)

的含义就是与

α

相比可以忽略，泰勒公式保留主项而把余项记作

o

正是出于这一想法。事实上，常用的等价无穷小都是各函数在

0

处泰勒展开的第一项：

sin x = x - \frac{1}{6} x^{3} + \dots

取首项即得

sin x \sim x

；

1 - cos x = \frac{1}{2} x^{2} - \dots

取首项即得

\sim \frac{1}{2} x^{2}

。

证明 / 推导

证明. 设

f

在

0

的某个邻域内有泰勒展开

f (x) a_{n} = a_{n} x^{n} + o (x^{n}) \neq = 0.

下面证明

f (x) \sim a_{n} x^{n}

。事实上

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{a _{n} x ^{n}} = x \to 0 lim (1 + \frac{1}{a _{n}} \cdot \frac{o ( x ^{n} )}{x ^{n}}) = 1,

末一步用到

o (x^{n})

的定义，即它与

x^{n}

之比趋于

0

。按等价的定义，这就证明了展开式的首项与

f

等价。

再看阶数。把比值写成

\frac{f ( x )}{x ^{m}} = \frac{f ( x )}{a _{n} x ^{n}} \cdot a_{n} x^{n - m},

其中第一个因子趋于

1

。当

m < n

时第二个因子趋于

0

，当

m > n

时它趋于

\infty

，当

m = n

时它等于

a_{n}

。可见使比值为非零常数的次数只有

m = n

一个，所以

f

是

x

的

n

阶无穷小。这就证明了无穷小的阶等于泰勒展开首项的次数。

必须注意条件

a_{n} \neq = 0

。如果某函数在

0

处的各阶导数全为零，例如

f (x) = e^{- 1/ x^{2}}

（并取

f (0) = 0

），那么它比任何

x^{n}

都高阶，谈不上有限的阶。

■

举例说明

例（数三2019真题）. 当

x \to 0

时，若

x - tan x

与

x^{k}

是同阶无穷小，求

k

。
解. 同阶就是说

x \to 0 lim \frac{x - tan x}{x ^{k}}

为非零常数，因此只需找出

x - tan x

的最低次幂，它就是泰勒展开的首项。由

tan x = x + \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3})

得

x - tan x = - \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3})

，最低次数为

x^{3}

，故

k = 3

。本题说明无穷小的阶

=

泰勒展开首项的次数：

x - tan x \sim - \frac{1}{3} x^{3}

，它是

x

的三阶无穷小。

💡 小知识

魏尔斯特拉斯把无穷小解释成一个趋于零的变量，这套严格化的说法，终结了莱布尼茨、牛顿那种把无穷小当成实在的量来用的模糊做法。可到了 20 世纪 60 年代，鲁滨逊创立非标准分析，又用严密的逻辑让真正的无穷小重新取得了合法身份。数学史在这里绕了一个漂亮的圈。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

x \to \infty lim \frac{arctan x}{x}

。难度 1

解. 用性质「有界函数 $\times$ 无穷小 $=$ 无穷小」。把式子看成

\frac{arctan x}{x} = arctan x \cdot \frac{1}{x} .

其中

arctan x

有界（

∣ arctan x ∣ < \frac{π}{2}

），而

x \to \infty

时

\frac{1}{x}

是无穷小。有界量乘无穷小仍为无穷小，故

x \to \infty lim \frac{arctan x}{x} = 0.

注意：这里不能写成「

lim arctan x \cdot lim \frac{1}{x}

」，因为

x \to \infty lim arctan x

不存在（左右为

\mp \frac{π}{2}

），只能走「有界

\times

无穷小」这条路。

例 2 确定当

x \to 0

时，无穷小

1 - cos 2 x

关于

x

的阶数。难度 1

解. 判断阶数即找出使

x \to 0 lim \frac{1 - cos 2 x}{x ^{k}}

为非零常数的

k

。

用倍角公式

1 - cos 2 x = 2 sin^{2} x

：

\frac{1 - cos 2 x}{x ^{2}} = \frac{2 sin ^{2} x}{x ^{2}} = 2 (\frac{sin x}{x})^{2} x \to 0 2 \cdot 1^{2} = 2.

极限为非零常数

2

，故

1 - cos 2 x

是

x

的二阶无穷小，且

1 - cos 2 x \sim 2 x^{2}

。

例 3 确定当

x \to 0

时，无穷小

3 1 + x - 1

关于

x

的阶数，并写出其等价无穷小。难度 2

解. 考察

x \to 0 lim \frac{3 1 + x - 1}{x ^{k}}

。用公式

(1 + x)^{a} - 1 \sim a x

（此处

a = \frac{1}{3}

）或直接计算：

x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{1/3} - 1}{x} = \frac{1}{3} \neq = 0.

（可用有理化验证：令

u = 3 1 + x

，

u^{3} - 1 = x

，

\frac{u - 1}{x} = \frac{u - 1}{u ^{3} - 1} = \frac{1}{u ^{2} + u + 1} \to \frac{1}{3}

。）

故

k = 1

时极限为非零常数，

3 1 + x - 1

是

x

的一阶无穷小，且

3 1 + x - 1 \sim \frac{1}{3} x

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

当

x \to 0^{+}

时，下列无穷小量中，与

x

等价的是（　　）。

A $e^{- s i n x} - 1$
B $x + 1 - cos x$
C $1 - cos 2 x$
D $1 - \frac{ln ( 1 + x )}{x}$

2024 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

当

x \to 0

时，

\int_{0}^{x} \frac{( 1 + t ^{2} ) sin t ^{2}}{1 + cos ^{2} t} d t

与

x^{k}

是同阶无穷小，则

k =

______。

2022 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

当

x \to 0

时，

α (x), β (x)

是非零无穷小量，给出以下四个命题：
① 若

α (x) \sim β (x)

，则

α^{2} (x) \sim β^{2} (x)

；
② 若

α^{2} (x) \sim β^{2} (x)

，则

α (x) \sim β (x)

；
③ 若

α (x) \sim β (x)

，则

α (x) - β (x) = o (α (x))

；
④ 若

α (x) - β (x) = o (α (x))

，则

α (x) \sim β (x)

.
其中所有真命题的序号是（　　）

A①③
B①④
C①③④
D②③④

2021 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

当

x \to 0

时，

\int_{0}^{x^{2}} (e^{t^{3}} - 1) d t

是

x^{7}

的（　　）。

A低阶无穷小。
B等价无穷小。
C高阶无穷小。
D同阶但非等价无穷小。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

当

x \to 0

时，下列各量中是

x

的高阶无穷小的是（）。

A $sin x$
B $x^{2}$
C $tan x$
D $3 x$

练习 2 · 选择题

当

x \to 0

时，

x^{2} sin \frac{1}{x}

与

x

相比是（）。

A高阶无穷小
B低阶无穷小
C同阶无穷小
D等价无穷小

练习 3 · 填空题

当

x \to 0

时，

1 - cos x

是

x

的 ____ 阶无穷小。

练习 4 · 填空题

当

x \to 0

时，

(1 + x)^{10} - 1 \sim

____（用

k x

形式）。

2019 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

当

x \to 0

时，若

x - tan x

与

x^{k}

是同阶无穷小，则

k =

（　　）

A $1$
B $2$
C $3$
D $4$

2013 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

当

x \to 0

时，用

o (x)

表示比

x

高阶的无穷小量，则下列式子中错误的是（　　）

A $x \cdot o (x^{2}) = o (x^{3})$ .
B $o (x) \cdot o (x^{2}) = o (x^{3})$ .
C $o (x^{2}) + o (x^{2}) = o (x^{2})$ .
D $o (x) + o (x^{2}) = o (x^{2})$ .

无穷小与无穷大、阶的比较

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 无穷小是趋于 0 的变量，而不是很小的数，并且必须指明趋近过程★ 要懂

2. 有界 × 无穷小 = 无穷小：limx→0​sinx1​ 不存在时仍可使用★★ 必会

3. 无穷大一定无界，但无界不一定是无穷大

4. 阶的比较就是比较无穷小趋于零的快慢；等价无穷小 = 泰勒展开的首项★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 无穷小是趋于 $0$ 的变量，而不是很小的数，并且必须指明趋近过程★ 要懂

2. 有界 $\times$ 无穷小 $=$ 无穷小： $lim_{x \to 0} sin \frac{1}{x}$ 不存在时仍可使用★★ 必会

4. 阶的比较就是比较无穷小趋于零的快慢；等价无穷小 $=$ 泰勒展开的首项★★ 必会