极限的计算方法综合

§1.8 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

4.44 分/卷近 11 年平均

10/11 年出现年份

4.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）等价无穷小替换两个重要极限无穷小与无穷大、阶的比较

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 极限计算的基本步骤：代入 $\to$ 判定类型 $\to$ 化简 $\to$ 选择方法★★ 必会

极限的题目形式繁多，但方法可以归结为一条路线，不必去记几十种技巧。① 先代入：若不是未定式，就直接得到结果，因为在连续点处可以直接代入；② 判定类型：分清

\frac{0}{0}

、

\frac{\infty}{\infty}

、

0 \cdot \infty

、

\infty - \infty

、

1^{\infty}

、

0^{0}

、

\infty^{0}

这七种；③ 先作化简：凡能约分、有理化、提取公因子、分离出极限存在的因子的，都先做，往往一步就使问题大为简化；④ 选择方法：对

\frac{0}{0} / \frac{\infty}{\infty}

用等价无穷小（限于乘除）、洛必达法则或泰勒公式，对

1^{\infty}

用

e^{l i m v (u - 1)}

，幂指型则取对数。总的次序是：先作等价代换，再约分，最后才用洛必达法则或泰勒公式。

举例说明

例（数三2009真题）. 求

x \to 0 lim \frac{e - e ^{c o s x}}{3 1 + x ^{2} - 1}

。
解. 按代入

\to

判定类型

\to

化简

\to

选择方法的次序：代入后为

\frac{0}{0}

型。先化简，再选方法。分母用

(1 + □)^{a} - 1 \sim a □

，得

3 1 + x^{2} - 1 \sim \frac{1}{3} x^{2}

。分子先提取公因子

e

：

e - e^{c o s x} = - e (e^{c o s x - 1} - 1)

，再用

e^{□} - 1 \sim □

与

cos x - 1 \sim - \frac{1}{2} x^{2}

，得分子

\sim - e (cos x - 1) = e (1 - cos x) \sim e \cdot \frac{1}{2} x^{2}

。于是原式

= x \to 0 lim \frac{\frac{e}{2} x ^{2}}{\frac{1}{3} x ^{2}} = \frac{3 e}{2}

。由此可见，先提取公因子，再对乘除因子作等价代换，往往比直接反复求导简便得多。

2. 使用洛必达法则的几处易错：验证类型、失效 $\neq =$ 不存在、数列不能直接用★ 要懂

洛必达法则只对

\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}

两种未定式有效，使用中的错误很多：① 对非未定式强行使用（例如对

\frac{1}{0}

型求导就会出错）；② 每次求导之前必须重新验证仍是 $\frac{0}{0} / \frac{\infty}{\infty}$ ；③ 如果 $lim \frac{f ^{'}}{g ^{'}}$ 不存在（例如出现振荡），那么只能说明洛必达法则失效，不能据此断定原极限不存在；④ 数列极限不能直接使用洛必达法则（数列不可导），必须先化为函数极限。此外，含

sin x, cos x

的振荡项在

x \to \infty

时常使洛必达法则失效，这时应改用有界性或夹逼准则。

证明 / 推导

说明失效 $\neq =$ 不存在的经典反例. 考察

x \to \infty lim \frac{x + sin x}{x}

。显然它

= x \to \infty lim (1 + \frac{sin x}{x}) = 1 + 0 = 1

，因为其中是有界量

\times

无穷小，故极限存在。但若使用洛必达法则，

\frac{( x + sin x ) ^{'}}{x ^{'}} = \frac{1 + cos x}{1} = 1 + cos x

，当

x \to \infty

时它没有极限。由此可见，用洛必达法则后所得的极限不存在，绝不能反过来断定原极限不存在；本例中洛必达法则只是失效而已。

■

3. 特殊未定式的转化： $0 \cdot \infty$ 、 $\infty - \infty$ 、幂指型都化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ ★★ 必会

不是分式的未定式，要先化为分式再计算。 $0 \cdot \infty$ ：把其中一个因子取倒数，化为

\frac{0}{0}

或

\frac{\infty}{\infty}

（应把求导后较简单的那个放在分母）； $\infty - \infty$ ：分式的通分，根式之差的有理化，或者提出最高次因子； $1^{\infty}, 0^{0}, \infty^{0}$ ：取对数

u^{v} = e^{v l n u}

，化为

0 \cdot \infty

后先求

v ln u

的极限，最后取指数还原。

举例说明

例（数三2005真题）. 求

x \to 0 lim (\frac{1 + x}{1 - e ^{- x}} - \frac{1}{x})

。
解. 这是

\infty - \infty

型，先通分化为

\frac{0}{0}

型：

\frac{1 + x}{1 - e ^{- x}} - \frac{1}{x} = \frac{x ( 1 + x ) - ( 1 - e ^{- x} )}{x ( 1 - e ^{- x} )} = \frac{x ^{2} + x - 1 + e ^{- x}}{x ( 1 - e ^{- x} )}

。分母

x (1 - e^{- x}) \sim x \cdot x = x^{2}

。分子用泰勒公式

e^{- x} = 1 - x + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})

，得

x^{2} + x - 1 + e^{- x} = \frac{3}{2} x^{2} + o (x^{2})

。故极限

= x \to 0 lim \frac{\frac{3}{2} x ^{2}}{x ^{2}} = \frac{3}{2}

。（

\infty - \infty

型的一般做法是：分式通分，根式之差有理化，幂指型取对数。）

4. 泰勒公式、等价无穷小与洛必达法则：怎样选择较为简便★★ 必会

这三种方法各有适用的场合。等价无穷小：适用于纯粹的乘除因子，最为迅速，但用于加减时必须谨慎；泰勒公式：适用于加减型即主项相互抵消的情形，或洛必达法则求导越来越繁杂时，展开到分子分母不再相消的最低阶即可；洛必达法则：适用于形式规整的

\frac{0}{0} / \frac{\infty}{\infty}

，但每一步都要验证类型，而且求导可能越来越复杂。一般说来，若式中出现

e^{x}, sin x, ln (1 + x)

且有相消的结构，宜先用泰勒公式；若是纯粹的乘除，宜先用等价无穷小；两者都不便时，再用洛必达法则。

举例说明

例（数三2012真题）. 求

x \to 0 lim \frac{e ^{x^{2}} - e ^{2 - 2 c o s x}}{x ^{4}}

。
解. 这是

\frac{0}{0}

型，分子是两个指数函数之差，主项相消，故宜用泰勒公式。先提取公因子

e^{2 - 2 c o s x} (\to 1)

：

\frac{e ^{x^{2}} - e ^{2 - 2 c o s x}}{x ^{4}} = e^{2 - 2 c o s x} \cdot \frac{e ^{x^{2} - (2 - 2 c o s x)} - 1}{x ^{4}}

。用

e^{u} - 1 \sim u

（

u = x^{2} - 2 + 2 cos x \to 0

），化为

x \to 0 lim \frac{x ^{2} - 2 + 2 cos x}{x ^{4}}

。代入泰勒公式

cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24} + o (x^{4})

，得

x^{2} - 2 + 2 cos x = \frac{x ^{4}}{12} + o (x^{4})

，故极限

= \frac{1}{12}

。如果改用洛必达法则，需要求导四次，而且越来越繁杂；把泰勒公式展开到不再相消的最低阶最为简便。

💡 小知识

以洛必达命名的这条法则，成果其实来自他的老师约翰·伯努利。洛必达侯爵付钱买断了伯努利的部分数学发现，写进自己 1696 年出版的教科书，法则从此以他的名字流传下来，成了数学史上有名的一桩冠名权公案。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

x \to + \infty lim (x^{2} + x - x)

。难度 1

解. 这是

\infty - \infty

型，根式差用有理化（分子分母同乘共轭）：

x^{2} + x - x = \frac{( x ^{2} + x ) - x ^{2}}{x ^{2} + x + x} = \frac{x}{x ^{2} + x + x} .

分子分母同除

x

（

x > 0

时

x^{2} + x = x 1 + \frac{1}{x}

）：

= \frac{1}{1 + \frac{1}{x} + 1} x \to + \infty \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} .

例 2 求

x \to 0^{+} lim x ln x

。难度 2

解.

0 \cdot (- \infty)

型，把一个因子取倒数化为

\frac{\infty}{\infty}

，再用洛必达：

x ln x = \frac{ln x}{1/ x} (当 x \to 0^{+} 为 \frac{- \infty}{+ \infty}) .

对分子分母求导：

x \to 0^{+} lim \frac{ln x}{1/ x} = L’H x \to 0^{+} lim \frac{1/ x}{- 1/ x ^{2}} = x \to 0^{+} lim (- x) = 0.

故

x \to 0^{+} lim x ln x = 0

。（记住：取倒数时选「求导后更简单」的那个因子放到分母。）

例 3 求

x \to 0^{+} lim x^{x}

。难度 2

解.

0^{0}

型幂指函数，标准套路是取对数：设

y = x^{x}

，则

ln y = x ln x

。

由上一题

x \to 0^{+} lim x ln x = 0

，故

x \to 0^{+} lim ln y = 0

。再取指数还原：

x \to 0^{+} lim x^{x} = x \to 0^{+} lim e^{l n y} = e^{0} = 1.

（幂指型

u^{v}

一律「取对数求

v ln u

的极限，再取指数」。）

例 4 求

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x ) - x}{x ^{2}}

。难度 2

解.

\frac{0}{0}

型，分子是「函数

-

其低阶项」的抵消结构，用泰勒最快。将

ln (1 + x)

展开到二阶：

ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2}) .

故分子

ln (1 + x) - x = - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})

，于是

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x ) - x}{x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{- \frac{1}{2} x ^{2} + o ( x ^{2} )}{x ^{2}} = - \frac{1}{2} .

（也可用进阶等价

x - ln (1 + x) \sim \frac{1}{2} x^{2}

直接得

- \frac{1}{2}

。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

曲线

y = x e^{\frac{1}{x}}

（　　）。

A无水平渐近线，无铅直渐近线
B有水平渐近线，有铅直渐近线
C无水平渐近线，有铅直渐近线
D有水平渐近线，无铅直渐近线

2026 年 · 数三 · 第 12 题 · 填空题 · 5 分

x \to 0 lim \frac{1}{x} (\frac{1 + x ^{2}}{sin x} - \frac{1}{tan x}) =

______。

2025 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

当

x \to 0^{+}

时，下列无穷小量中，与

x

等价的是（　　）。

A $e^{- s i n x} - 1$
B $x + 1 - cos x$
C $1 - cos 2 x$
D $1 - \frac{ln ( 1 + x )}{x}$

2025 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

设

g (x)

是函数

f (x) = \frac{1}{2} ln \frac{3 + x}{3 - x}

的反函数，则曲线

y = g (x)

的渐近线方程为______。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

x \to \infty lim \frac{3 x ^{2} - x}{2 x ^{2} + 1} =

（）。

A $\frac{3}{2}$
B $0$
C $\frac{2}{3}$
D $\infty$

练习 2 · 选择题

x \to 0 lim \frac{tan x - x}{x ^{3}} =

（）。

A $\frac{1}{3}$
B $\frac{1}{6}$
C $0$
D $\frac{1}{2}$

练习 3 · 填空题

x \to + \infty lim (x^{2} + 2 x - x) =

____。

练习 4 · 填空题

x \to 0 lim (cos x)^{1/ x^{2}} =

____。

练习 5 · 选择题

x \to 0 lim (\frac{1}{sin x} - \frac{1}{e ^{x} - 1}) =

（　）。

A $- \frac{1}{2}$
B $0$
C $\frac{1}{2}$
D $1$

练习 6 · 填空题

n \to \infty lim n^{2} (n 3 - n + 1 3) =

____。

练习 7 · 解答题

(1) 求

x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{\frac{1}{x}} - e}{x}

；

(2) 求

x \to 0 lim [\frac{( 1 + x ) ^{\frac{1}{x}}}{e}]^{\frac{1}{x}}

。

2023 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

x \to \infty lim x^{2} (2 - x sin \frac{1}{x} - cos \frac{1}{x}) =

______。

2022 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

x \to 0 lim (\frac{1 + e ^{x}}{2})^{c o t x} =

______.

极限的计算方法综合

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 极限计算的基本步骤：代入 → 判定类型 → 化简 → 选择方法★★ 必会

2. 使用洛必达法则的几处易错：验证类型、失效 = 不存在、数列不能直接用★ 要懂

3. 特殊未定式的转化：0⋅∞、∞−∞、幂指型都化为 00​ 或 ∞∞​★★ 必会

4. 泰勒公式、等价无穷小与洛必达法则：怎样选择较为简便★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 极限计算的基本步骤：代入 $\to$ 判定类型 $\to$ 化简 $\to$ 选择方法★★ 必会

2. 使用洛必达法则的几处易错：验证类型、失效 $\neq =$ 不存在、数列不能直接用★ 要懂

3. 特殊未定式的转化： $0 \cdot \infty$ 、 $\infty - \infty$ 、幂指型都化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ ★★ 必会