极限的计算方法综合

高等数学 · 函数、极限、连续

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 总流程：代入 $\to$ 定型 $\to$ 选工具

到这里，求极限的工具已经齐了。乱的不是工具，是不知道先用哪个。固定的次序只有三步：

第一步，代入. 把趋近值代进去试一试。得到一个确定的数就结束了，这一步能解决的题比想象中多。

第二步，定型. 代不动时，看清是哪一种未定式：

\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \cdot \infty, \infty - \infty, 1^{\infty}, 0^{0}, \infty^{0} .

在卷面上把型写出来——它是在说「我认出了类型，下面要变形」，不是在写答案。

第三步，按型选工具. 每一种型都有固定的头一招，见下一条。

跳过第一步直接上等价代换，是基础阶段最常见的毛病：有些题根本不是未定式，代进去就完了。

2. 按型选工具：七种未定式的头一招

\frac{0}{0} 多项式 \frac{0}{0} 带根号 \frac{0}{0} 带 sin, ln, e \frac{\infty}{\infty} 0 \cdot \infty \infty - \infty 1^{\infty} 约零因子 乘共轭 等价代换 比阶 倒一个下去 通分或有理化 e^{l i m (u - 1) v}

「比阶」是抓增长最快的那一项，「倒一个下去」「通分或有理化」都是为了变成分式。

看得出一条线索：后三种的办法都是「先变成分式」，因为分式才有

\frac{0}{0}

或

\frac{\infty}{\infty}

可用。

0^{0}

与

\infty^{0}

则一律取对数化成

0 \cdot \infty

。

所以真正要记的只有两件事：分式型比阶，非分式型先变成分式。

3. $\frac{\infty}{\infty}$ 型：有理分式只看最高次

分子分母都是多项式时，结论可以直接写：

上 < 下 上 = 下 上 > 下 0 系数之比 \infty

（「上」「下」指分子、分母的次数；「系数之比」指最高次项系数之比。）

道理就是上一节的比阶：次数高的那一项增长得快，说了算。

动笔的做法仍是上下同除分母的最高次幂，除完每一项要么是常数、要么是

\frac{常数}{x ^{k}} \to 0

，直接读出答案。

不是多项式时（带

ln

、指数、根号），照增长阶梯

ln x ≪ x^{α} ≪ a^{x}

找最快项，道理完全一样。

4. $\infty - \infty$ 型：通分或有理化

\infty - \infty

不是 $0$ 。两个都在变大，差可以趋于任何数，也可以趋于无穷。

办法只有一条：变成分式。怎么变看式子的长相——

带分母就通分. 例如

\frac{1}{x} - \frac{1}{sin x}

，通分后变成

\frac{sin x - x}{x sin x}

。

带根号就乘共轭. 例如

x^{2} + x - x

，乘以

\frac{x ^{2} + x + x}{x ^{2} + x + x}

，分子变成

(x^{2} + x) - x^{2} = x

，差就消掉了。

共轭有理化为什么管用：平方差公式把减号变成了加号，

(A - B) (A + B) = A - B

，相消的那一部分正好被算掉。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求任何极限：三步走

第一步：代入。得到确定的数就收工。

第二步：定型。写出是哪一种未定式。

第三步：按型选工具——分式型比阶或代换，非分式型先变成分式。

第四步：变形后回到第一步。

这个循环走两三轮就能解决基础阶段的绝大多数题。

例例. 求

x \to 1 lim (\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x ^{2} - 1})

。这个循环要走三轮。

第一轮——代入：两项都趋于

\infty

。定型：

\infty - \infty

。非分式型，带分母就通分：

\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{( x + 1 ) - 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} .

第二轮——回到第一步，代入

x = 1

：分子

0

、分母

0

。定型：

\frac{0}{0}

。多项式的

\frac{0}{0}

就约零因子：

= \frac{1}{x + 1} (x \neq = 1) .

第三轮——再代入：得到确定的数

\frac{1}{2}

，收工。

每一轮都老老实实「代入、定型」，看着啰嗦，但它保证你永远知道自己在对付哪一种未定式——而选错工具几乎都是因为没定型。

$\frac{\infty}{\infty}$ （有理分式）：上下同除分母最高次

第一步：找出分母的最高次幂

x^{k}

。

第二步：上下每一项都除以

x^{k}

，常数项最容易漏。

第三步：除完后

\frac{常数}{x ^{m}}

全部趋于

0

，直接读出结果。

心算版本：次数低的在分母上就是

0

，次数相同就是系数之比，次数高在分子上就是

\infty

。

例例. 求

x \to \infty lim \frac{x ^{2} - 3 x}{2 x ^{3} + 1}

。

第一步，分母的最高次是

x^{3}

。

第二步，上下每一项都除以

x^{3}

：

\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x ^{2}}}{2 + \frac{1}{x ^{3}}} .

第三步，分子趋于

0

、分母趋于

2

，极限是

0

。

心算核对：分子

2

次

<

分母

3

次，所以是

0

✓

「常数项最容易漏」有多隐蔽：这道题里若只除了

2 x^{3}

、把分母那个

1

落下不除，写成

\frac{\dots}{2 + 1}

，答案照样是 $0$ ——错了也看不出来。但把题目换成次数相同的

\frac{x ^{3} - 3 x}{2 x ^{3} + 1}

，同一个漏法就会把

\frac{1}{2}

算成

\frac{1}{3}

。所以这是个必须养成的手上习惯，不是看结果对不对就能查出来的。

$\infty - \infty$ ：先看长相，再决定通分还是有理化

带分母

\Rightarrow

通分，合成一个分式。

带根号

\Rightarrow

乘共轭，用平方差把减号消掉。

两者都有

\Rightarrow

先有理化再通分。

变成分式之后回到

\frac{0}{0}

或

\frac{\infty}{\infty}

的做法。

例例. 求

x \to + \infty lim (x^{2} + x - x^{2} - x)

。

第一步，看长相：带根号，走乘共轭。

第二步，用平方差把减号消掉：

x^{2} + x - x^{2} - x = \frac{( x ^{2} + x ) - ( x ^{2} - x )}{x ^{2} + x + x ^{2} - x} = \frac{2 x}{x ^{2} + x + x ^{2} - x} .

第三步，已经变成

\frac{\infty}{\infty}

了，上下同除

x

（

x \to + \infty

，故

x^{2} = x

）：

\frac{2}{1 + \frac{1}{x} + 1 - \frac{1}{x}} ⟶ \frac{2}{1 + 1} = 1.

另两种长相：带分母的（如

\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x ^{2} - 1}

）通分，上面「三步走」那条的例子走的就是这条；两者都有的先有理化、再把剩下的分式通分。

有理化之后一定要回到分式的做法——很多人消掉减号就以为做完了，可那时分子分母还都是

\infty

。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

不代入就直接上工具

\frac{x ^{2} + cos x}{x + 1}

在

x \to 0

时根本不是未定式，代入即得

1

。

看见三角函数就条件反射用等价，会把一行的题做成五行，还更容易错。第一步永远是代入。

把 $\infty - \infty$ 当成 $0$

x - x = 0

、

(x + 1) - x = 1

、

x^{2} - x \to \infty

，三个都是

\infty - \infty

型。

必须通分或有理化变成分式，再比快慢。

\frac{0}{0}

、

\frac{\infty}{\infty}

同理，形式决定不了答案。

开偶次根号忘了绝对值

x^{2} = ∣ x ∣

，不是

x

。所以

\frac{x ^{2} + 1}{x}

在

x \to + \infty

时为

1

、

x \to - \infty

时为

- 1

，

x \to \infty

时极限不存在。

凡是式子里有

x^{2} + \dots

而过程是

x \to \infty

，先提醒自己分两侧。

上下同除时漏项

\frac{2 x ^{3} - x + 1}{5 x ^{3} + x ^{2}}

除以

x^{3}

时，

- x

要变成

- \frac{1}{x ^{2}}

、

+ 1

要变成

\frac{1}{x ^{3}}

——每一项都要除。

检查办法：除完数一数项数，和除之前一样多。常数项最容易被忘。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 先代入再说

练 1

x \to 0 lim \frac{x + cos x}{x ^{2} + 2} =

________。

练 2

x \to \infty lim \frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{3} - 2} =

（）。

A $3$
B $\infty$
C $0$
D $\frac{1}{3}$

练 3

x \to \infty lim \frac{4 x ^{2} - x}{3 x ^{2} + 5} =

________。

练 4

下列极限中，不是未定式的是（）。

A $x \to 2 lim \frac{x ^{2} + 1}{x - 1}$
B $x \to 0 lim \frac{sin x}{x}$
C $x \to \infty lim (x + 1 - x)$
D $x \to 0^{+} lim x ln x$

第二组 · 变成分式再做

练 5

x \to + \infty lim (x + 1 - x) =

________。

练 6

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{2} - 1} =

________。

练 7

求

x \to 0^{+} lim x ln x

时，第一步应该（）。

A直接写 $0 \cdot (- \infty) = 0$
B用等价代换 $ln x \sim x - 1$
C判定极限不存在
D把 $x$ 倒到分母上，化成 $\frac{ln x}{1/ x}$

练 8

x \to + \infty lim (x^{2} + 2 x - x) =

________。

第三组 · 混合与陷阱

练 9

x \to \infty lim \frac{x ^{2} + 1}{x}

（）。

A不存在
B等于 $1$
C等于 $- 1$
D等于 $0$

练 10

x \to 0 lim \frac{1 + x - 1}{sin 2 x} =

________。

练 11

x \to \infty lim (\frac{x - 1}{x + 1})^{x} =

（）。

A $e^{2}$
B $e^{- 2}$
C $1$
D $e^{- 1}$

练 12

x \to 0 lim (\frac{1}{x} - \frac{1}{sin x}) =

________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

极限的计算方法综合

先打基础

1. 总流程：代入 → 定型 → 选工具

2. 按型选工具：七种未定式的头一招

3. ∞∞​ 型：有理分式只看最高次

4. ∞−∞ 型：通分或有理化

常用结构

求任何极限：三步走

∞∞​（有理分式）：上下同除分母最高次

∞−∞：先看长相，再决定通分还是有理化

基础易错

不代入就直接上工具

把 ∞−∞ 当成 0

开偶次根号忘了绝对值

上下同除时漏项

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

1. 总流程：代入 $\to$ 定型 $\to$ 选工具

3. $\frac{\infty}{\infty}$ 型：有理分式只看最高次

4. $\infty - \infty$ 型：通分或有理化

$\frac{\infty}{\infty}$ （有理分式）：上下同除分母最高次

$\infty - \infty$ ：先看长相，再决定通分还是有理化

把 $\infty - \infty$ 当成 $0$