等价无穷小替换

高等数学 · 函数、极限、连续

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 等价的定义与乘除可换

设

α

、

β

是同一过程中的无穷小。若

lim \frac{β}{α} = 1,

则称

α

与

β

等价，记作

α \sim β

。它是「同阶」里系数恰为

1

的那一种。

替换定理. 在求极限的过程中，乘积或商里的因子可以换成与它等价的无穷小，极限不变。

理由一句话：

lim \frac{β}{α} = 1

，把

β

写成

α \cdot \frac{β}{α}

，那个比值的极限是

1

，乘上去不改变结果。

「乘积或商里的因子」这七个字是全部限制所在. 加减号两边的项不是因子，不能随便换——那是第四条要专门讲的事。

2. 常用等价表（ $x \to 0$ ）

下面这些必须张口就答。全部在

x \to 0

时成立：

sin x arcsin x ln (1 + x) \sim x, \sim x, \sim x, tan x arctan x e^{x} - 1 \sim x, \sim x, \sim x .

再加两条带幂次的，它们是最容易记错的：

1 - cos x \sim \frac{x ^{2}}{2}, (1 + x)^{a} - 1 \sim a x .

前六条都等价于

x

本身，所以常被合起来记成「一阶的那一组」。

1 - cos x

是二阶，系数是

\frac{1}{2}

；

(1 + x)^{a} - 1

的系数是指数

a

（取

a = \frac{1}{2}

就是

1 + x - 1 \sim \frac{x}{2}

，这个形式考得最多）。

这张表不必硬背——它们都是各自函数在

0

处展开的首项，学了泰勒公式之后可以现推。

3. 整体代换：只要那一块趋于 $0$ 就能代

等价表里的

x

是一个位置，不是非得写成

x

。把它换成任何趋于

0

的式子

□

，表仍然成立：

sin □ ln (1 + □) e^{□} - 1 \sim □, \sim □, \sim □ .

用的时候只查一件事：这一块是不是趋于 $0$ 。

x \to 0

时

sin (x^{2}) \sim x^{2}

（

□ = x^{2} \to 0

，可以）；

x \to \infty

时

sin \frac{1}{x} \sim \frac{1}{x}

（

□ = \frac{1}{x} \to 0

，也可以）；而

x \to \infty

时写

sin x \sim x

就是错的（

□ = x

不趋于

0

）。

带幂次的那两条代整块时系数要连幂次一起算：

1 - cos 3 x \sim \frac{( 3 x ) ^{2}}{2} = \frac{9 x ^{2}}{2} .

把

9

写成

3

是这一节最常见的错。

4. 加减里能不能换：主项相消就不能

替换定理只保证因子可以换。加减号两边的项换了之后极限可能变，原因是替换会丢掉高阶的那一部分，而加减时主项一旦抵消，丢掉的那部分恰恰成了答案。

看一个真出过事的例子。求

x \to 0 lim \frac{tan x - sin x}{x ^{3}}

：

若把

tan x

、

sin x

各自换成

x

，分子成了

x - x = 0

，答案是

0

——错的。

正确做法是先提公因子再换：

tan x - sin x = tan x (1 - cos x) \sim x \cdot \frac{x ^{2}}{2} = \frac{x ^{3}}{2},

故极限是

\frac{1}{2}

。

基础阶段记住一条操作判据就够：

加减号两边不要直接换；先设法变成乘积（提公因子、通分、有理化），再对因子换。

判断会不会出事的标志是：换完之后分子变成

0

，那就是主项抵消了，必须退回去重做。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

用等价替换：三查一换

第一查：这个过程下它是不是无穷小（那一块趋于

0

吗）。

第二查：它处在什么位置——是乘积或商的因子吗？加减号两边不算。

第三查：代整块时系数算对没有（带幂次的要连幂次一起算）。

再换：换完直接约分求极限。

三查里漏掉任何一条，都会得到一个看着很顺的错答案。

例例. 求

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + 2 x ) \cdot arcsin x}{1 - cos x}

。

第一查，

x \to 0

时

2 x \to 0

、

x \to 0

，三块都是无穷小 ✓

第二查，分子是两个因子相乘，分母整个是一块，没有加减号挡着 ✓

第三查，整块代，系数要跟着：

ln (1 + 2 x) \sim 2 x, arcsin x \sim x, 1 - cos x \sim \frac{x ^{2}}{2} .

再换，代进去约分：

\frac{2 x \cdot x}{\frac{x ^{2}}{2}} = 4.

第三查是最常丢分的一步：把

ln (1 + 2 x)

顺手写成

\sim x

（忘了

□ = 2 x

要整块代），答案就从

4

变成

2

，而过程看起来一点毛病都没有。

加减型：先变成乘积，再换

第一步：看出分子（或分母）是加减式，先不要换。

第二步：想办法变成乘积——提公因子、通分、乘共轭有理化。

第三步：变成乘积之后，对每个因子分别替换。

tan x - sin x = sin x \cdot \frac{1 - cos x}{cos x}

，这一步是整道题的关键。

例例. 求

x \to 0 lim \frac{tan x - sin x}{x ^{3}}

。

第一步，分子是加减式，先别换。若硬换成

tan x \sim x

、

sin x \sim x

，分子就变成

x - x = 0

，答案会错成

0

。

第二步，变成乘积——提出公因子

sin x

：

tan x - sin x = \frac{sin x}{cos x} - sin x = sin x \cdot \frac{1 - cos x}{cos x} .

第三步，现在全是因子了，逐个替换：

sin x \sim x

，

1 - cos x \sim \frac{x ^{2}}{2}

，

cos x \to 1

，

\frac{x \cdot \frac{x ^{2}}{2}}{x ^{3}} = \frac{1}{2} .

同一个分子，不提公因子就是

0

，提了就是

\frac{1}{2}

——第二步不是技巧，是必须。

自查：换完分子变成 $0$ ，就是换错了

第一步：替换后看分子（或分母）是不是恰好变成了

0

。

第二步：若是，说明主项抵消了，被丢掉的高阶部分才是答案。

第三步：退回原式，改用提公因子或泰勒展开。

这一条是动笔时最实用的报警器——不必先判断能不能换，换完看一眼就知道。

例例. 求

x \to 0 lim \frac{x - sin x}{x ^{3}}

。

第一步，先按本能换一下：

sin x \sim x

，分子变成

x - x = 0

——报警响了。

第二步，报警的含义是：主项正好抵消了，真正的答案藏在被等价替换丢掉的高阶部分里。

第三步，退回原式，改用泰勒展开：

sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3}) ⟹ x - sin x = \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3}),

所以极限是

\frac{1}{6}

。（洛必达连用三次也得

\frac{1}{6}

。）

和上一条比一比：

\frac{tan x - sin x}{x ^{3}}

同样会报警，但那道提个公因子就救回来了。所以报警只说明「不能直接换」，改走哪条路还得看式子的形状——加减式能提公因子就提，提不出来才上泰勒。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

在加减号两边直接替换

\frac{tan x - sin x}{x ^{3}}

各自换成

x

得

0

，而正确答案是

\frac{1}{2}

。

替换定理只管因子。加减式先提公因子变成乘积，再换。自查办法：换完分子成了

0

，就是换错了。

把同阶当等价

1 - cos x

与

x^{2}

只是同阶，比值趋于

\frac{1}{2}

；与它等价的是

\frac{x ^{2}}{2}

。

漏掉那个

\frac{1}{2}

，答案就差一倍。写等价式时把系数一并写上，别只写幂次。

代整块时系数没跟着幂次走

1 - cos 3 x \sim \frac{( 3 x ) ^{2}}{2} = \frac{9 x ^{2}}{2}

，不是

\frac{3 x ^{2}}{2}

。

等价式里的位置带几次方，代进去的整块就要跟着几次方。

sin 3 x \sim 3 x

是一次方所以系数是

3

，别拿它去类推带平方的那条。

不看过程就套表

表里每一条都写着「

x \to 0

时」。

x \to \infty

时

sin x \sim x

是错的，而

sin \frac{1}{x} \sim \frac{1}{x}

是对的。

判据永远是括号里那一块趋不趋于 $0$ ，不是外面的

x

趋于什么。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 表要张口就答

练 1

当

x \to 0

时，

ln (1 + x) \sim

________。

练 2

当

x \to 0

时，

1 - cos x

与下列哪一个等价（）。

A $x$
B $x^{2}$
C $2 x^{2}$
D $\frac{x ^{2}}{2}$

练 3

当

x \to 0

时，

1 + x - 1 \sim

________。

练 4

下列替换中正确的是（）。

A $x \to \infty$ 时 $sin x \sim x$
B $x \to 1$ 时 $ln x \sim x$
C $x \to 0$ 时 $tan x \sim x^{2}$
D $x \to \infty$ 时 $sin \frac{1}{x} \sim \frac{1}{x}$

第二组 · 乘除里换

练 5

x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{tan 5 x} =

________。

练 6

x \to 0 lim \frac{e ^{2 x} - 1}{ln ( 1 + 3 x )} =

________。

练 7

x \to 0 lim \frac{1 - cos 2 x}{x sin x} =

（）。

A $1$
B $\frac{1}{2}$
C $4$
D $2$

练 8

x \to 0 lim \frac{arcsin x}{1 + x - 1} =

________。

第三组 · 加减里的陷阱

练 9

求

x \to 0 lim \frac{tan x - sin x}{x ^{3}}

时，把

tan x

与

sin x

都换成

x

得

0

。这个答案（）。

A正确，极限就是 $0$
B错误，正确答案是 $\frac{1}{2}$
C错误，正确答案是 $1$
D无法判断

练 10

x \to 0 lim \frac{x - sin x}{x ^{3}} =

________。

练 11

下列做法中不违反替换定理的是（）。

A $\frac{sin x - x}{x ^{3}}$ 中把 $sin x$ 换成 $x$
B $\frac{tan x - sin x}{x ^{3}}$ 中把两项各自换成 $x$
C $\frac{ln ( 1 + x )}{sin x \cdot arctan x}$ 中把三处都换成 $x$
D $\frac{1 - cos x}{x ^{2}}$ 中把 $1 - cos x$ 换成 $x^{2}$

练 12

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x ) - x}{x ^{2}} =

________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

等价无穷小替换

先打基础

1. 等价的定义与乘除可换

2. 常用等价表（x→0）

3. 整体代换：只要那一块趋于 0 就能代

4. 加减里能不能换：主项相消就不能

常用结构

用等价替换：三查一换

加减型：先变成乘积，再换

自查：换完分子变成 0，就是换错了

基础易错

在加减号两边直接替换

把同阶当等价

代整块时系数没跟着幂次走

不看过程就套表

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

2. 常用等价表（ $x \to 0$ ）

3. 整体代换：只要那一块趋于 $0$ 就能代

自查：换完分子变成 $0$ ，就是换错了