1. 等价无穷小的定义 α∼β⟺limβα=1 与乘除替换定理★★ 必会
① 定义：设在同一极限过程（x→x0、x→∞、n→∞ 等）中 α→0，β→0，且在该过程的去心邻域内 β=0。如果limβα=1,那么称 α 与 β 为等价无穷小，记作 α∼β。等价还有另一种说法：α∼β⟺ α−β=o(β)即二者之差是更高阶的无穷小，也就是说，等价意味着泰勒展开的主项相同。等价关系满足自反性（α∼α）、对称性与传递性。
② 乘除替换定理（条件与结论）：设在同一过程中 α∼α′，β∼β′，且 limβ′α′ 存在（或为 ∞），那么limβα=limβ′α′.一般地，极限式中以乘、除的整体因子出现的无穷小都可以换成与它等价的无穷小：limβα⋅γ=limβ′α′⋅γ。只能替换乘除因子；和差中的各项原则上不能单独替换，什么情形下可以替换，见后面主项不相消的一条。
③ 常用的等价无穷小（x→0，可以直接引用）：sinx∼tanx∼arcsinx∼arctanx∼ex−1∼ln(1+x)∼x,1−cosx∼2x2,(1+x)a−1∼ax,ax−1∼xlna.当 □→0 时，把其中的 x 整体换成 □ 仍然成立，细则见后面关于整体等价的一条。
证明 / 推导
证 ②：limβα=lim(α′α⋅β′α′⋅ββ′)=limα′α⋅limβ′α′⋅limββ′=1⋅limβ′α′⋅1=limβ′α′,这样拆开是合法的，因为各因子的极限都存在；若 limβ′α′=∞，则对倒数 αβ 作同样的论证，其极限为 0，故原式为 ∞。■
注：证明的第一步是把要替换的对象拆成乘除因子。替换之所以只对乘除因子合法，根源就在于此：和差中的各项没有这样的恒等拆分。举例说明
真题（2020 数一，填空）：x→0lim[ex−11−ln(1+x)1]= ______。
解：这是 ∞−∞ 型，先通分：x→0lim(ex−1)ln(1+x)ln(1+x)−(ex−1).分母是乘积因子，由 ② 可以放心替换：(ex−1)ln(1+x)∼x⋅x=x2。分子是差，不能把 ln(1+x) 与 ex−1 各自换成 x，那样将得到 0，因为主项相消，替换是不合法的；这时改用泰勒公式：ln(1+x)=x−2x2+o(x2)，ex−1=x+2x2+o(x2)，故分子 =−x2+o(x2)∼−x2。因此原式 =x→0limx2−x2=−1。应填 −1。
易错之处：同一道题中，分母可以替换而分子不可以替换的情形并存。能否替换取决于所处的位置，即它是乘除因子还是和差中的项，而不取决于式子的形状。2. 和差中究竟能不能替换：充分条件主项不相消及其证明★★ 必会
和差中逐项作等价替换通常是不允许的，但在一定条件下可以替换：设 α∼α′, β∼β′，如果 limβα=c=1，即 α,β 不等价，主项不会相消，那么
α−β∼α′−β′.
使用时的判别：作减法之前，先看这两个无穷小是否等价，即比值是否 →1；只有不等价时才可以逐项替换。一旦 limβα=1，即主项相消，就应改用因式分解或泰勒公式。
证明 / 推导
设 α′α→1, β′β→1, βα→c=1，并设在去心邻域内各量非零。考察 α′−β′α−β，把分子与分母同除以 β′：
(α′−β′)/β′(α−β)/β′=β′α′−1β′α−β′β.
再逐块求极限：β′β→1；β′α=βα⋅β′β→c；β′α′=αα′⋅βα⋅β′β→1⋅c⋅1=c。因此
α′−β′α−β→c−1c−1=1(c=1⇒c−1=0),
即 α−β∼α′−β′。■举例说明
例：求 x→0limxax−bx (a,b>0, a=b)。
解：ax−1∼xlna, bx−1∼xlnb。把分子写成 (ax−1)−(bx−1)，二者的比值 bx−1ax−1→lnblna=1（因 a=b），即主项不相消，故可以逐项替换：
ax−bx∼xlna−xlnb=xlnba.
因此 x→0limxax−bx=lnba。也可以用 ax=exlna 展开来复核：分子 =x(lna−lnb)+o(x)，同样得到 lnba。■