无穷小与无穷大、阶的比较

§1.5 · 桥梁概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.51 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

5.8 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）函数的极限数列的极限③ 掌握后可解锁等价无穷小替换极限的计算方法综合函数的连续性与间断点

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 无穷小与无穷大的定义（ $M$ -语言）＋阶的比较词汇表：高阶 $o (\cdot)$ 、低阶、同阶、等价、 $k$ 阶★★ 必会

① 无穷小：在某一极限过程中以

0

为极限的变量称为该过程的无穷小，即

lim α = 0

。以下三点必须注意：无穷小是过程中的变量，而不是很小的数，说

α

是无穷小时必须指明过程，例如

\frac{1}{x}

是

x \to \infty

时的无穷小，而不是

x \to 1

时的无穷小；常数中只有

0

是无穷小；此外还有一个基本关系式：

lim f = A ⟺ f = A + α, α 为同过程的无穷小 .

② 无穷大（ $M$ -语言）：如果对任意

M > 0

，总存在

δ > 0

（相应地

X > 0

、

N

），当

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

（

∣ x ∣ > X

、

n > N

）时恒有

∣ f (x) ∣ > M,

那么称

f

为该过程的无穷大，记作

lim f = \infty

。这个记号只描述变化的趋势，极限并不存在。若进一步区分符号，则恒有

f (x) > M

时记作

+ \infty

；恒有

f (x) < - M

时记作

- \infty

。倒数关系（在同一过程中）：

f

是无穷大

\Rightarrow \frac{1}{f}

是无穷小；

α

是无穷小且

α \neq = 0 \Rightarrow \frac{1}{α}

是无穷大。无穷大必无界，而无界未必是无穷大，证明见下。

③ 阶的比较（同一过程中

α, β

为无穷小，

α \neq = 0

）：
-

lim \frac{β}{α} = 0

：

β

是

α

的高阶无穷小，记作

β = o (α)

；这时也称

α

是

β

的低阶无穷小。
-

lim \frac{β}{α} = c \neq = 0

：

β

与

α

是同阶无穷小；特别地，

c = 1

时称为等价，记作

α \sim β

。
-

lim \frac{β}{α ^{k}} = c \neq = 0

（

k > 0

）：

β

是

α

的 $k$ 阶无穷小。作为基准的

α

通常取：

x \to 0

时的

x

、

x \to x_{0}

时的

x - x_{0}

、

n \to \infty

时的

\frac{1}{n}

。
-

lim \frac{β}{α}

既不存在也不为

\infty

：二者不能比较，例如

x sin \frac{1}{x}

与

x

（

x \to 0

时）。

无穷大之间也用同样的语言比较增长的快慢，常用的增长阶梯见后面的条目。

证明 / 推导

证无穷大 $\Rightarrow$ 无界；反之不真（以

x \to + \infty

为例）。

（

\Rightarrow

）设

f

是

x \to + \infty

时的无穷大，则对任一

M > 0

都存在

X

，使

x > X

时

∣ f (x) ∣ > M

。因此

f

在任何

[X, + \infty)

上都能取到超过任意大的

M

的值，从而无界。

（反例）

f (x) = x sin x

：取

x_{n} = 2 nπ + \frac{π}{2} \to + \infty

，则

f (x_{n}) = x_{n} \to + \infty

，故

f

在

[0, + \infty)

上无界；但取

x_{n}^{'} = nπ \to + \infty

，则

f (x_{n}^{'}) = 0

，这就破坏了定义所要求的

x > X

之后恒有

∣ f (x) ∣ > M

，因此

f

不是无穷大。二者的差别全在恒有二字上：无穷大要求一致地大，而无界只要求在某一列点上大。

■

举例说明

真题（2019 数一）：当

x \to 0

时，若

x - tan x

与

x^{k}

是同阶无穷小，则

k =

（A）

1

；（B）

2

；（C）

3

；（D）

4

。

解：按上述定义，与

x^{k}

同阶即指

x \to 0 lim \frac{x - tan x}{x ^{k}} = c \neq = 0

。由泰勒公式

tan x = x + \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3})

得

x - tan x = - \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3}) \sim - \frac{x ^{3}}{3},

因此

x \to 0 lim \frac{x - tan x}{x ^{3}} = - \frac{1}{3} \neq = 0

，即

k = 3

。选 C。

易错之处：

x

与

tan x

的一阶主项相消，必须展开到第一个不相消的次数才能定出阶数；又同阶只要求

c \neq = 0

，并不要求

c = 1

，后者是等价，两个名词不可混用。

2. 有界量 × 无穷小 = 无穷小：为什么不能用乘积极限法则★★ 必会

这条性质极为常用，由它立即得到

x sin \frac{1}{x} \to 0

。但必须把它作为一条独立的性质来用，不能拆成两个极限之积。这是因为像

sin \frac{1}{x}

这样的有界因子当

x \to 0

时极限并不存在，乘积法则

lim (uv) = lim u \cdot lim v

无从使用。这条性质的作用在于：无穷小

α

趋于

0

的作用足以控制任何有界的振荡因子，即使后者的极限不存在也是如此。

证明 / 推导

设

u (x)

在

x_{0}

的某去心邻域内有界，即存在

M > 0

，使

∣ u (x) ∣ \leq M

；又设

α (x)

是无穷小，即

x \to x_{0} lim α (x) = 0

。对任意

ε > 0

，由

α \to 0

知存在

δ > 0

，使

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

时

∣ α (x) ∣ < \frac{ε}{M}

（

M > 0

保证

\frac{ε}{M}

有意义），于是

∣ u (x) α (x) ∣ \leq M ∣ α (x) ∣ < M \cdot \frac{ε}{M} = ε .

因此

uα \to 0

，即乘积仍是无穷小。

■

举例说明

例：求

x \to 0 lim x^{2} sin \frac{1}{x}

。
解：

sin \frac{1}{x} \leq 1

，即这个因子有界；又

x^{2} \to 0

，即它是无穷小。由有界量与无穷小之积仍是无穷小，得极限为

0

。
注意：不能写成

x \to 0 lim x^{2} \cdot x \to 0 lim sin \frac{1}{x}

，因为

x \to 0 lim sin \frac{1}{x}

不存在，乘积法则在此失效，只能依据上面这条性质。

■

3. 无穷大的增长阶梯： $ln x ≪ x^{α} ≪ a^{x} ≪ x! ≪ x^{x}$ ★ 要懂

当

x \to + \infty

时，常见的无穷大增长得一个比一个快，排成如下的增长阶梯（

α > 0, a > 1

）：

ln x ≪ x^{α} ≪ a^{x} ≪ x! ≪ x^{x},

这里

u ≪ v

是指

lim \frac{u}{v} = 0

，即

u

的增长比

v

慢。概括起来就是：对数慢于幂，幂慢于指数，指数慢于阶乘，阶乘慢于幂塔。熟记这一阶梯之后，求

\frac{\infty}{\infty}

型极限或比较增长速度时往往可以直接判定，不必再用洛必达法则。

证明 / 推导

核心两环的证明。
(1) $ln x ≪ x^{α}$ ，即

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{α}} = 0

：这是

\frac{\infty}{\infty}

型未定式，用一次洛必达法则得

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{α}} = x \to + \infty lim \frac{1/ x}{α x ^{α - 1}} = x \to + \infty lim \frac{1}{α x ^{α}} = 0.

(2) $x^{α} ≪ a^{x}$ ，即

x \to + \infty lim \frac{x ^{α}}{a ^{x}} = 0

：取对数以考察指数的变化，

ln \frac{x ^{α}}{a ^{x}} = α ln x - x ln a = x (α \frac{ln x}{x} - ln a) .

由 (1) 的特例

\frac{ln x}{x} \to 0

知括号内

\to - ln a < 0

（因

a > 1

），再乘以

x \to + \infty

，得

ln \frac{x ^{α}}{a ^{x}} \to - \infty

，因此比值

\to 0

。

■

举例说明

例：不用洛必达法则，直接判定

x \to + \infty lim \frac{( ln x ) ^{100}}{x ^{0.01}}

。
解：由增长阶梯知，幂函数胜过对数的任意次幂。令

t = ln x \to + \infty

，则

x^{0.01} = e^{0.01 t}

，原式

= \frac{t ^{100}}{e ^{0.01 t}}

，这正是幂

≪

指数的情形，极限为

0

。即使把对数抬到

100

次方，而幂次只有

0.01

，幂函数仍然增长得更快。

■

4. 皮亚诺余项 $o (\cdot)$ 的运算法则（泰勒公式与等价无穷小的基础）

要熟练使用泰勒公式与等价无穷小，先须会作

o

的运算。设

x \to 0

，常用的法则如下（

m, n > 0

）：

o (x^{m}) \pm o (x^{m}) c \cdot o (x^{m}) = o (x^{m}) = o (x^{m}) (c 常数)

x^{m} \cdot o (x^{n}) o (x^{m}) \cdot o (x^{n}) o (x^{m}) = o (x^{m + n}) = o (x^{m + n}) = o (x^{n}) (m \geq n) .

这些法则的含义是：

o (x^{m})

表示比

x^{m}

更高阶即更小的量，运算时只保留能够保证成立的最低阶。
最容易出错的一处：

o (x^{2}) - o (x^{2}) \neq = 0

。两个不同的高阶量相减，结果仍是高阶量

o (x^{2})

，不能当作

0

消去。

证明 / 推导

证 $x^{m} \cdot o (x^{n}) = o (x^{m + n})$ 。 设

g (x) = o (x^{n})

，即

x \to 0 lim \frac{g ( x )}{x ^{n}} = 0

。则

x \to 0 lim \frac{x ^{m} g ( x )}{x ^{m + n}} = x \to 0 lim \frac{g ( x )}{x ^{n}} = 0,

因此

x^{m} g (x) = o (x^{m + n})

。
证 $o (x^{m}) \pm o (x^{m}) = o (x^{m})$ 。 设

g_{1}, g_{2} = o (x^{m})

，则

\frac{g _{1} \pm g _{2}}{x ^{m}} = \frac{g _{1}}{x ^{m}} \pm \frac{g _{2}}{x ^{m}} \to 0 \pm 0 = 0

，因此它们的和与差仍为

o (x^{m})

。

■

举例说明

例：用

o

的运算法则求

x \to 0 lim \frac{sin x - x}{x ^{3}}

。
解：

sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})

，故分子

sin x - x = - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})

，于是

\frac{sin x - x}{x ^{3}} = \frac{- \frac{1}{6} x ^{3} + o ( x ^{3} )}{x ^{3}} = - \frac{1}{6} + \frac{o ( x ^{3} )}{x ^{3}} x \to 0 - \frac{1}{6},

末步用到

\frac{o ( x ^{3} )}{x ^{3}} \to 0

。

■

5. 确定无穷小阶的一般方法：求使 $lim \frac{β}{x ^{k}}$ 为非零常数的 $k$ ★★ 必会

求无穷小

β (x)

（

x \to 0

）关于

x

的阶，就是求唯一的

k > 0

，使

x \to 0 lim \frac{β ( x )}{x ^{k}} = C \neq = 0

且为有限数。这时称

β

为

x

的 $k$ 阶无穷小，而

C x^{k}

称为它的主部。求法有三种：泰勒展开后取首项，这一方法最为稳妥；等价替换；有理化。掌握了它，比较阶的高低与写出主部就都不难了。

证明 / 推导

例：求 $β (x) = e^{x} - 1 - sin x$ 关于 $x$ 的阶。 把两项都按泰勒公式展开到足够的阶数：

e^{x} - 1 sin x = x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3}) = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3}) .

相减（用

o

的运算法则），得

β (x) = (x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6}) - (x - \frac{x ^{3}}{6}) + o (x^{3}) = \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3}) .

最低次的非零项是

\frac{x ^{2}}{2}

，因此

x \to 0 lim \frac{β ( x )}{x ^{2}} = \frac{1}{2} \neq = 0,

即

β

是

x

的 $2$ 阶无穷小，主部为

\frac{1}{2} x^{2}

，等价地可写成

e^{x} - 1 - sin x \sim \frac{1}{2} x^{2}

。

■

💡 小知识

魏尔斯特拉斯把无穷小重新定义为一类变量，这一步严格化终结了莱布尼茨和牛顿那种把无穷小当作实在的量来使用的模糊做法。可到了 20 世纪 60 年代，鲁滨逊创立非标准分析，又用严密的逻辑让真正的无穷小以合法身份复活。数学史在这里绕了一个漂亮的圈。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

x \to 0 lim x sin \frac{1}{x}

。难度 1

解. 注意

sin \frac{1}{x}

在

x \to 0

时剧烈震荡、极限不存在，所以不能用「乘积的极限等于极限之积」。

改用性质「有界函数 $\times$ 无穷小 $=$ 无穷小」：

sin \frac{1}{x} \leq 1

（有界），而

x \to 0

是无穷小。

由

0 \leq x sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣ \to 0

（也可视为夹逼），得

x \to 0 lim x sin \frac{1}{x} = 0

。

例 2 求当

x \to 0

时，无穷小

1 + x^{2} - 1

关于

x

的阶数。难度 2

解. 求「关于

x

的

k

阶」就是找使

x \to 0 lim \frac{1 + x ^{2} - 1}{x ^{k}}

为非零常数的

k

。

有理化：

1 + x^{2} - 1 = \frac{( 1 + x ^{2} ) - 1}{1 + x ^{2} + 1} = \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2} + 1} .

故

x \to 0 lim \frac{1 + x ^{2} - 1}{x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{1}{1 + x ^{2} + 1} = \frac{1}{2} \neq = 0

。

当

k = 2

时极限为非零常数

\frac{1}{2}

，故它是

x

的 $2$ 阶无穷小（且

1 + x^{2} - 1 \sim \frac{1}{2} x^{2}

）。

例 3 求常数

a

，使当

x \to 0

时

1 - cos x

与

a x^{2}

为等价无穷小。难度 1

解. 等价无穷小要求

x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{a x ^{2}} = 1

。

由基本极限

x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}

，得

x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{a x ^{2}} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 a} .

令

\frac{1}{2 a} = 1

，解得

a = \frac{1}{2}

。即

1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2020 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

当

x \to 0^{+}

时，下列无穷小量中最高阶的是（　　）

A $\int_{0}^{x} (e^{t^{2}} - 1) d t$ .
B $\int_{0}^{x} ln (1 + t^{3}) d t$ .
C $\int_{0}^{s i n x} sin t^{2} d t$ .
D $\int_{0}^{1 - c o s x} sin^{3} t d t$ .

2019 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

当

x \to 0

时，若

x - tan x

与

x^{k}

是同阶无穷小，则

k =

（　　）

A $1$ .
B $2$ .
C $3$ .
D $4$ .

2009 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

当

x \to 0

时，

f (x) = x - sin a x

与

g (x) = x^{2} ln (1 - b x)

是等价无穷小量，则（　　）

A $a = 1, b = - \frac{1}{6}$ .
B $a = 1, b = \frac{1}{6}$ .
C $a = - 1, b = - \frac{1}{6}$ .
D $a = - 1, b = \frac{1}{6}$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

当

x \to 0

时，下列各量中是

x

的高阶无穷小的是（）。

A $sin x$
B $x^{2}$
C $tan x$
D $3 x$

练习 2 · 选择题

x \to \infty lim \frac{arctan x}{x} =

（）。

A $0$
B $1$
C $\frac{π}{2}$
D $\infty$

练习 3 · 填空题

当

x \to 0

时，

1 - cos 2 x \sim

____（用

x

的幂表示）。

练习 4 · 填空题

若当

x \to 0

时

1 + a x - 1

与

x

是等价无穷小，则

a =

____。

2004 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

把

x \to 0^{+}

时的无穷小量

α = \int_{0}^{x} cos (t^{2}) d t

，

β = \int_{0}^{x^{2}} tan t d t

，

γ = \int_{0}^{x} sin (t^{3}) d t

排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小量，则正确的排列次序是（　　）

A $α, β, γ$
B $α, γ, β$
C $β, α, γ$
D $β, γ, α$

2003 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

{a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}}

均为非负数列，且

n \to \infty lim a_{n} = 0, n \to \infty lim b_{n} = 1, n \to \infty lim c_{n} = \infty

，则必有（　　）

A $a_{n} < b_{n}$ 对任意 $n$ 成立.
B $b_{n} < c_{n}$ 对任意 $n$ 成立.
C极限 $n \to \infty lim a_{n} c_{n}$ 不存在.
D极限 $n \to \infty lim b_{n} c_{n}$ 不存在.

1993 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 3 分

设

f (x) = \int_{0}^{s i n x} sin t^{2} d t

，

g (x) = x^{3} + x^{4}

，则当

x \to 0

时，

f (x)

是

g (x)

的（　　）

A等价无穷小
B同阶但非等价的无穷小
C高阶无穷小
D低阶无穷小

无穷小与无穷大、阶的比较

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 无穷小与无穷大的定义（M-语言）＋阶的比较词汇表：高阶 o(⋅)、低阶、同阶、等价、k 阶★★ 必会

2. 有界量 × 无穷小 = 无穷小：为什么不能用乘积极限法则★★ 必会

3. 无穷大的增长阶梯：lnx≪xα≪ax≪x!≪xx★ 要懂

4. 皮亚诺余项 o(⋅) 的运算法则（泰勒公式与等价无穷小的基础）

5. 确定无穷小阶的一般方法：求使 limxkβ​ 为非零常数的 k★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 无穷小与无穷大的定义（ $M$ -语言）＋阶的比较词汇表：高阶 $o (\cdot)$ 、低阶、同阶、等价、 $k$ 阶★★ 必会

3. 无穷大的增长阶梯： $ln x ≪ x^{α} ≪ a^{x} ≪ x! ≪ x^{x}$ ★ 要懂

4. 皮亚诺余项 $o (\cdot)$ 的运算法则（泰勒公式与等价无穷小的基础）

5. 确定无穷小阶的一般方法：求使 $lim \frac{β}{x ^{k}}$ 为非零常数的 $k$ ★★ 必会