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无穷小与无穷大、阶的比较

高等数学 · 函数、极限、连续

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 无穷小：以 $0$ 为极限的变量，不是「很小的数」

若在某个趋近过程中

lim α (x) = 0

，则称

α (x)

为该过程中的无穷小。

这个定义里有两件事常被读错。

① 无穷小是变量，不是数.

0.000001

再小也是个固定的数，它的极限就是它自己，不是

0

，所以它不是无穷小。唯一能当无穷小的常数只有

0

。

② 无穷小是对某一个过程说的. 同一个式子换个过程就不是了：

x

在

x \to 0

时是无穷小，在

x \to 1

时极限为

1

，就不是。所以说「

α

是无穷小」必须带上过程。

有了这个词，极限的定义可以换一种说法：

lim f (x) = A

当且仅当

f (x) - A

是无穷小。这一句在后面写泰勒公式、等价代换时反复要用。

2. 无穷大：记号是 $\infty$ ，但极限并不存在

若在某过程中

∣ f (x) ∣

无限增大，则称

f (x)

为该过程中的无穷大，记作

lim f (x) = \infty

。

这个记号只是在描述趋势，极限仍然是不存在的。 题目问「极限是否存在」时，答

\infty

等于答「不存在」——这一点与数列那里完全一样。

无穷大与无穷小互为倒数：在同一过程中，若

f (x)

是无穷大，则

\frac{1}{f ( x )}

是无穷小；若

α (x)

是无穷小且

α (x) \neq = 0

，则

\frac{1}{α ( x )}

是无穷大。

后半句的「

α (x) \neq = 0

」不能省：

α \equiv 0

也是无穷小，而

\frac{1}{0}

没有意义。

这条关系是把「分母趋于零」的题改写成「整体趋于无穷」的根据。

3. 有界量 $\times$ 无穷小 $=$ 无穷小

定理. 在同一过程中，有界函数与无穷小之积仍是无穷小。

这条定理之所以要单独列，是因为它处理的正是乘积极限法则用不了的情形。乘积法则要求两个因子各自的极限都存在，而这里有界的那一个往往没有极限。

最常见的一组：

x \to 0

时

sin \frac{1}{x}

在

- 1

与

1

之间无限振荡，极限不存在，但它有界；乘上无穷小

x

之后，整体被压到

0

。

认这类题只看一件事：式子能不能拆成「有界的一块」

\times

「趋于

0

的一块」。常见的有界因子是

sin

、

cos

、

arctan

以及任何写得出上界的式子。

4. 阶的比较：谁趋于 $0$ 更快

两个无穷小都趋于

0

，但快慢可以差得很远。设

α

、

β

是同一过程中的无穷小，且

α \neq = 0

，看商

\frac{β}{α}

的极限：

lim \frac{β}{α} = 0 lim \frac{β}{α} = \infty lim \frac{β}{α} = c \neq = 0 lim \frac{β}{α} = 1 β 高阶 β 低阶 同阶 等价， β \sim α

（「高阶」指

β

是

α

的高阶无穷小，下同。）

高阶无穷小记作

β = o (α)

。这个记号表示的是一类量，不是某一个确定的函数，所以

o (x) + o (x) = o (x)

、

o (x) - o (x) = o (x)

都成立，不能像普通代数那样约掉。

若

lim \frac{β}{α ^{k}} = c \neq = 0

，就说

β

是

α

的

k

阶无穷小。求阶就是去找这个

k

。

5. 无穷大的增长阶梯：对数 $≪$ 幂 $≪$ 指数

无穷大之间同样分快慢。当

x \to + \infty

时，常用的次序是

ln x ≪ x^{α} ≪ a^{x} (α > 0, a > 1),

这里

u ≪ v

表示

lim \frac{u}{v} = 0

，即

v

增长得更快。数列还可以接着往下排：

a^{n} ≪ n! ≪ n^{n} .

这条阶梯的用处是：

\frac{\infty}{\infty}

型里，快的那个说了算，慢的可以忽略。例如

x \to + \infty

时

\frac{ln x}{x} \to 0

、

\frac{x ^{100}}{2 ^{x}} \to 0

——指数哪怕底数只有

2

，也终究压过任意高次的幂。

有理分式是这条规则最常用的情形：分子分母都是多项式时，只看最高次谁大。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

认出「有界量 $\times$ 无穷小」：先分块，再写出界

第一步：把式子分成两块——一块趋于

0

，一块有界。

第二步：写出有界那一块的界，例如

sin \frac{1}{x} \leq 1

。这一行是交代条件，不能省。

第三步：引定理「有界量

\times

无穷小

=

无穷小」，直接写

0

。

常见的有界因子：

sin □

、

cos □

、

arctan □

、

(- 1)^{n}

。

例例. 求

x \to 0 lim x^{2} sin \frac{1}{x}

。

第一步，分两块：

x^{2} \to 0

是无穷小那一块，

sin \frac{1}{x}

是有界那一块。

第二步，写出界：

sin \frac{1}{x} \leq 1 (x \neq = 0) .

第三步，由「有界量

\times

无穷小

=

无穷小」，极限是

0

。

为什么不能用乘积法则：

x \to 0

时

sin \frac{1}{x}

在

- 1

与

1

之间来回摆，

x \to 0 lim sin \frac{1}{x}

不存在，而乘积法则要求两个因子的极限都存在。这条定理正是为这种情形准备的——它只要「有界」，不要「有极限」。

求无穷小的阶：找使商的极限非零的那个 $k$

第一步：确定基准无穷小，

x \to 0

时通常取

x

。

第二步：试着算

lim \frac{β}{x ^{k}}

。

第三步：算出

0

说明

k

取小了，算出

\infty

说明

k

取大了，算出非零常数就是要找的阶。

1 - cos x

为例：取

k = 1

得

0

，取

k = 2

得

\frac{1}{2}

，故为二阶。

例例. 求

x \to 0

时

1 + x - 1

关于

x

的阶。

第一步，基准取

x

。

第二步，试

k = 1

，即算

x \to 0 lim \frac{1 + x - 1}{x}

。有理化：

\frac{1 + x - 1}{x} = \frac{( 1 + x ) - 1}{x ( 1 + x + 1 )} = \frac{1}{1 + x + 1} ⟶ \frac{1}{2} .

第三步，得到非零常数

\frac{1}{2}

，所以它是一阶无穷小，并且顺手得到一条等价关系：

1 + x - 1 \sim \frac{x}{2} (x \to 0) .

若一上手试

k = 2

，算出的是

\infty

——那是「

k

取大了」的信号，往回调到

1

。

$\frac{\infty}{\infty}$ 型：按阶梯找最快的那一项

第一步：分子、分母各自找出增长最快的一项（照

ln x ≪ x^{α} ≪ a^{x}

排）。

第二步：两个最快项比阶——分母快则极限为

0

，分子快则为

\infty

，同阶则为两者系数之比。

第三步：多项式之比直接看最高次，不必再排。

\frac{x ^{10}}{e ^{x}} \to 0

、

\frac{2 ^{x}}{x ^{2}} \to \infty

、

\frac{3 x ^{2}}{2 x ^{2} + 1} \to \frac{3}{2}

。

例例. 求

x \to + \infty lim \frac{x ^{3} + ln x}{2 ^{x} + x ^{5}}

。

第一步，各自找最快的一项。分子里

ln x ≪ x^{3}

，最快的是

x^{3}

；分母里

x^{5} ≪ 2^{x}

，最快的是

2^{x}

。

第二步，拿

x^{3}

与

2^{x}

比阶——指数函数快于任何幂函数，分母快，所以

x \to + \infty lim \frac{x ^{3} + ln x}{2 ^{x} + x ^{5}} = 0.

换一个看：若分母换成

x^{5} + x

（没有指数项），就成了多项式之比，直接看最高次——

3 < 5

，极限仍是

0

；若分子换成

x^{7}

，则

7 > 5

，极限为

\infty

。

阶梯要记牢：

ln x ≪ x^{α} ≪ a^{x}

（

α > 0

，

a > 1

）。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把「很小的数」当无穷小

0.000001

不是无穷小，它的极限是它自己。无穷小是正在趋于 $0$ 的变量，常数里只有

0

够格。

后果很实在：把一个小常数当无穷小舍掉，式子就不等了。

把 $lim f = \infty$ 当成「极限存在」

\infty

不是数，这个记号只描述「无界地增大」。问「极限是否存在」时，答案是不存在。

这与数列那里是同一条规矩。两种问法在考场上不是一回事，别混着用。

对「有界量 $\times$ 无穷小」用乘积极限法则

x \to 0 lim x sin \frac{1}{x} = 0

的根据不是乘积法则——

x \to 0 lim sin \frac{1}{x}

根本不存在，法则的前提不成立。

答案碰巧对，过程是错的。认出这类题的标志：某个因子在振荡（

sin \frac{1}{x}

、

(- 1)^{n}

）。

例例. 求

x \to 0 lim x sin \frac{1}{x}

，把两种过程并排看。

错的过程（答案碰巧对）：

x \to 0 lim x sin \frac{1}{x} = x \to 0 lim x \cdot x \to 0 lim sin \frac{1}{x} = 0 \cdot (有界数) = 0.

毛病在第一个等号：乘积法则要求两个因子的极限都存在。而

x \to 0

时

\frac{1}{x} \to \infty

，

sin \frac{1}{x}

在

- 1

与

1

之间无休止地摆，不趋于任何数——

x \to 0 lim sin \frac{1}{x}

不存在。第二个等号又把「不存在的极限」写成了「有界数」，这一步没有任何依据。

对的过程（两行，每行都有依据）：

x \to 0

时

x

是无穷小，且

sin \frac{1}{x} \leq 1 (x \neq = 0)

；由「有界量

\times

无穷小

=

无穷小」，

x \to 0 lim x sin \frac{1}{x} = 0.

为什么要较真：把

x

换成

∣ x ∣

，答案还是

0

（仍是有界量

\times

无穷小）；换成

\frac{1}{∣ x ∣}

，极限就不存在了（它不是无穷小）。而那个错的过程在三道题上写出来几乎一模一样——「某个量

\times

有界数」——它分辨不出这三种情形。错的不是啰嗦，是那个过程本身没有判别力。

把 $o (α)$ 当成一个确定的函数

o (x)

表示的是「比

x

高阶的某个无穷小」，是一类量。所以

o (x) - o (x) = o (x)

，不是 $0$ ；

2 o (x) = o (x)

也成立。

这个记号后面写泰勒公式时天天用，现在把「它是一类量」这件事记牢，就不会在展开式里把两个

o

对消掉。

例例. 为什么

o (x) - o (x) = o (x)

，而不是

0

？给两个

o (x)

各找一个具体代表（

x \to 0

）：

α (x) = x^{2}

——比

x

高阶（

lim \frac{x ^{2}}{x} = 0

），所以

α = o (x)

；

β (x) = x^{3}

——也比

x

高阶，所以

β = o (x)

。

那么

α - β = x^{2} - x^{3}

，这显然不是 $0$ ；但它确实还是比

x

高阶：

x \to 0 lim \frac{x ^{2} - x ^{3}}{x} = x \to 0 lim (x - x^{2}) = 0 ✓

所以

α - β

仍是

o (x)

。两个 $o (x)$ 根本不是同一个函数，不能像同类项那样对消；它们只共享「比

x

高阶」这一条性质，而这条性质在相减之后依然成立。

2 o (x) = o (x)

同理——

2 x^{2}

还是比

x

高阶。

马上就要用到：

sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})

、

tan x = x + \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3})

，相减得

tan x - sin x = \frac{x ^{3}}{2} + o (x^{3}) .

末尾那个

o (x^{3})

是两个不同的

o (x^{3})

之差，不能写成

0

；但它仍然是

o (x^{3})

，所以这一行照样能拿去求极限。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 什么是无穷小、什么是无穷大

练 1

下列各量中，是

x \to 0

时的无穷小的是（）。

A $0.0001$
B $\frac{1}{x}$
C $x^{2}$
D $cos x$

练 2

x \to \infty lim \frac{1}{x ^{2}} =

________。

练 3

已知

x \to 1 lim f (x) = \infty

，则（）。

A $x \to 1 lim f (x)$ 存在，等于 $\infty$
B $x \to 1 lim f (x)$ 不存在
C $f (1) = \infty$
D $f$ 在 $x = 1$ 附近有界

练 4

x \to 2 lim \frac{1}{x - 2} =

________（填

\infty

或具体的数）。

第二组 · 有界量乘无穷小

练 5

x \to 0 lim x^{2} cos \frac{1}{x} =

________。

练 6

求

x \to 0 lim x sin \frac{1}{x}

时，下列做法正确的是（）。

A用「有界量 $\times$ 无穷小 $=$ 无穷小」，得 $0$
B用乘积法则拆成 $lim x \cdot lim sin \frac{1}{x}$ ，得 $0$
C $sin \frac{1}{x}$ 无极限，故原式无极限
D用等价代换 $sin \frac{1}{x} \sim \frac{1}{x}$ ，得 $1$

练 7

x \to \infty lim \frac{sin x}{x} =

________。

第三组 · 比快慢

练 8

当

x \to 0

时，

1 - cos x

是

x

的（）。

A一阶无穷小
B二阶无穷小
C三阶无穷小
D低阶无穷小

练 9

当

x \to + \infty

时，下列四个量中增长最快的是（）。

A $ln x$
B $x^{100}$
C $2^{x}$
D $x$

练 10

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} =

________。

第四组 · 综合

练 11

设

α

、

β

是

x \to 0

时的无穷小，且

β = o (α)

，则下列正确的是（）。

A对每个 $x$ 都有 $∣ β ∣ < ∣ α ∣$
B $x \to 0 lim \frac{β}{α} = 1$
C $β$ 比 $α$ 先到达 $0$
D $x \to 0 lim \frac{β}{α} = 0$

练 12

当

x \to 0

时，

x^{2} + x^{3}

是

x

的 ________ 阶无穷小（填数字）。

练 13

下列等式中正确的是（）（

x \to 0

）。

A $o (x) - o (x) = 0$
B $o (x) + o (x) = o (x)$
C $o (x) \cdot o (x) = o (x)$
D $o (x^{2}) = o (x^{3})$

练 14

x \to \infty lim \frac{3 x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - x} =

________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

无穷小与无穷大、阶的比较

先打基础

1. 无穷小：以 0 为极限的变量，不是「很小的数」

2. 无穷大：记号是 ∞，但极限并不存在

3. 有界量 × 无穷小 = 无穷小

4. 阶的比较：谁趋于 0 更快

5. 无穷大的增长阶梯：对数 ≪ 幂 ≪ 指数

常用结构

认出「有界量 × 无穷小」：先分块，再写出界

求无穷小的阶：找使商的极限非零的那个 k

∞∞​ 型：按阶梯找最快的那一项

基础易错

把「很小的数」当无穷小

把 limf=∞ 当成「极限存在」

对「有界量 × 无穷小」用乘积极限法则

把 o(α) 当成一个确定的函数

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

练 13

练 14

1. 无穷小：以 $0$ 为极限的变量，不是「很小的数」

2. 无穷大：记号是 $\infty$ ，但极限并不存在

3. 有界量 $\times$ 无穷小 $=$ 无穷小

4. 阶的比较：谁趋于 $0$ 更快

5. 无穷大的增长阶梯：对数 $≪$ 幂 $≪$ 指数

认出「有界量 $\times$ 无穷小」：先分块，再写出界

求无穷小的阶：找使商的极限非零的那个 $k$

$\frac{\infty}{\infty}$ 型：按阶梯找最快的那一项

把 $lim f = \infty$ 当成「极限存在」

对「有界量 $\times$ 无穷小」用乘积极限法则

把 $o (α)$ 当成一个确定的函数