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极限存在准则（夹逼、单调有界）

高等数学 · 函数、极限、连续

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 夹逼准则：两边夹住，中间跟着走

定理（数列版）. 若从某项起恒有

y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n}

，且

n \to \infty lim y_{n} = n \to \infty lim z_{n} = A,

则

n \to \infty lim x_{n} = A

。

函数版完全一样：在

x_{0}

的某去心邻域内

g (x) \leq f (x) \leq h (x)

，且两边的极限都等于

A

，则

x \to x_{0} lim f (x) = A

。

用它要交代三件事，少一件就不成立：

① 不等式. 要写出

y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n}

，并说明从第几项起成立。

② 两边各自收敛. 两个极限都要算出来。

③ 两边的极限相等. 不相等就夹不住，什么也推不出来。

这个准则的价值在于：它不要求你会算 $x_{n}$ 本身。

n

项和、带

sin

的式子、开

n

次方这几类，通项往往根本算不出来，但两边好放。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

这一条的「举例说明」里，已经用夹逼准则算过

n \to \infty lim (\frac{n}{n ^{2} + 1} + \dots + \frac{n}{n ^{2} + n}) = 1

。它的夹法只有一步：和式有 $n$ 项，把每一项都换成最大的那一项得上界、都换成最小的那一项得下界，再分别求两边的极限。先把那一段看懂，再动笔做下面这个。请你照着同一套夹法，求

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2} + 1} + \frac{1}{n ^{2} + 2} + \dots + \frac{1}{n ^{2} + n}) .

2. 单调有界准则：单调 $+$ 有界 $\Rightarrow$ 收敛

定理. 单调增加且有上界的数列必收敛；单调减少且有下界的数列必收敛。

两个条件缺一不可：

① 只单调不有界不行.

x_{n} = n

单调增加，但无上界，发散。

② 只有界不单调不行.

x_{n} = (- 1)^{n}

有界，但不单调，发散。

这个准则最要紧的特点是：它只告诉你极限存在，不告诉你极限是多少。所以标准用法是两步走——先用它断定极限存在（记作

A

），再对递推式两边取极限解出

A

。

次序不能反. 不先证存在就直接取极限，等于默认了结论；

x_{n + 1} = 2 x_{n}

、

x_{1} = 1

这种发散的数列照样能「解出」

A = 2 A

、

A = 0

，而它其实趋于无穷。

3. 两个准则各管什么题

两条准则的适用场合几乎不重叠，认题比记定理更要紧。

夹逼准则——用在「算不出通项，但容易放缩」的式子上：

①

n

项和，每项形状相似（把每项统一换成最大、最小的那一项）；

② 含

sin

、

cos

、

(- 1)^{n}

等有界因子（用

∣ \cdot ∣ \leq 1

放）；

③ 开

n

次方，如

n 1^{n} + 2^{n} + 3^{n}

（用最大项放）。

单调有界准则——用在递推式

x_{n + 1} = f (x_{n})

上。题目只给首项与递推关系、不给通项时，基本就是它。

认不准时看题目给了什么：给的是一长串和就想夹逼，给的是一个递推式就想单调有界。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

用夹逼准则：放两边，各求极限，再下结论

第一步：写出不等式

y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n}

，并交代从第几项起成立。

第二步：分别求

lim y_{n}

与

lim z_{n}

，两个都要算出来。

第三步：确认两者相等，写一句「由夹逼准则」，再下结论。

n

项和的放法是固定的：每项全换成最大的得上界，全换成最小的得下界。

例例. 求

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2} + 1} + \frac{1}{n ^{2} + 2} + \dots + \frac{1}{n ^{2} + n})

，记这个和为

S_{n}

。

第一步，放两边。括号里一共

n

项（分母从

n^{2} + 1

数到

n^{2} + n

）。每项都换成最大的那一项（分母最小，即

n^{2} + 1

）得上界，都换成最小的那一项得下界：

\frac{n}{n ^{2} + n} \leq S_{n} \leq \frac{n}{n ^{2} + 1} (n \geq 1) .

第二步，两边各算出来：左边

\frac{n}{n ^{2} + n} = \frac{1}{n + 1} \to 0

，右边

\frac{n}{n ^{2} + 1} \to 0

。

第三步，两者相等，由夹逼准则

n \to \infty lim S_{n} = 0

。

最容易错的是项数：若把

n

写成

1

（只放一项），不等式就不成立，整道题从第一步起就是错的。

递推数列求极限：先证存在，再解方程

第一步：归纳法证有界——先验

x_{1}

，再由「设

x_{n}

满足」推出

x_{n + 1}

也满足。

第二步：证单调——比较

x_{n + 1}

与

x_{n}

，常用作差或作商。

第三步：引单调有界准则，断定极限存在，记作

A

。

第四步：对递推式两边取极限，解出

A

，再用数列的性质（如

x_{n} > 0

）筛掉不合理的根。

前三步一步都不能省：第四步是以「极限存在」为前提的。

例例. 设

x_{1} = 1

，

x_{n + 1} = 2 + x_{n}

，求

n \to \infty lim x_{n}

。

第一步（有界），归纳证

0 < x_{n} < 2

。

x_{1} = 1

合格；设

x_{n} < 2

，则

x_{n + 1} = 2 + x_{n} < 2 + 2 = 2,

且显然

x_{n + 1} > 0

。

第二步（单调），作差。由

0 < x_{n} < 2

得

x_{n}^{2} - x_{n} - 2 = (x_{n} - 2) (x_{n} + 1) < 0

，即

2 + x_{n} > x_{n}^{2}

，开方得

x_{n + 1} = 2 + x_{n} > x_{n},

单调递增。

第三步，单调递增且有上界，由单调有界准则极限存在，记作

A

。

第四步，对

x_{n + 1} = 2 + x_{n}

两边取极限：

A = 2 + A

，即

A^{2} - A - 2 = 0

，

A = 2

或

A = - 1

。各项为正故

A \geq 0

，舍去

- 1

，得

n \to \infty lim x_{n} = 2.

前三步一步都不能省：第四步「两边取极限」用的就是极限存在这个前提。

认题：看题目给的是和式还是递推式

给一长串 $n$ 项和

\Rightarrow

夹逼（每项换成最大、最小的）。

式子里有 $sin$ 、 $cos$ 、 $(- 1)^{n}$

\Rightarrow

夹逼（用

∣ \cdot ∣ \leq 1

放）。

开 $n$ 次方的多项之和

\Rightarrow

夹逼（用最大项放）。

只给首项与 $x_{n + 1} = f (x_{n})$

\Rightarrow

单调有界（三步走）。

例例. 下面三道各走哪条路？

①

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2} + 1} + \dots + \frac{1}{n ^{2} + n})

—— $n$ 项和

\Rightarrow

夹逼。

②

x_{1} = 1, x_{n + 1} = 2 + x_{n}

——只给首项与递推式

\Rightarrow

单调有界。

③

n \to \infty lim n 1^{n} + 2^{n} + 3^{n}

——开 $n$ 次方的多项之和

\Rightarrow

夹逼，用最大项放。

把 ③ 做完：最大的一项是

3^{n}

。往下放只留它，往上放把三项都换成它：

n 3^{n} \leq n 1^{n} + 2^{n} + 3^{n} \leq n 3 \cdot 3^{n},

即

3 \leq n 1^{n} + 2^{n} + 3^{n} \leq 3 n 3

。而

n 3 \to 1

，两边都趋于

3

，故极限为

3

。

认题的标志在题目给的形式上，不在函数本身——①③ 形状差得远，走的却是同一条路。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

两边的极限不相等也去用夹逼

夹逼准则要求两边的极限相等。不等时只说明

x_{n}

最终落在某个区间里，它在里面收敛到哪个数、甚至收不收敛，都断不出来。

写结论前把两个极限并排写出来对一眼，别算完一边就下笔。

例例. 已知

0 \leq x_{n} \leq 1

对一切

n

成立，能断定

n \to \infty lim x_{n}

吗？

两边的极限是

0

与

1

，不相等，夹逼准则用不上。满足这个不等式的数列可以差得很远：

x_{n} = \frac{1}{n}

—— 收敛到

0

；

x_{n} = 1 - \frac{1}{n}

—— 收敛到

1

；

x_{n} = \frac{1}{2}

—— 收敛到

\frac{1}{2}

；

x_{n} = \frac{1 + ( - 1 ) ^{n}}{2}

，即

0, 1, 0, 1, \dots

—— 发散。

四个都老老实实夹在

0

与

1

之间，极限却分别是

0

、

1

、

\frac{1}{2}

和「不存在」。可见「被夹住」这件事本身给不出任何结论。

正确的用法：两边都要算出来，并且发现它们相等。像

\frac{n}{n ^{2} + n} \leq S_{n} \leq \frac{n}{n ^{2} + 1}

这样，两边都趋于

0

，才轮到夹逼准则说话。

动笔的习惯：把两个极限并排写在一行上对一眼，再写「由夹逼准则」——别算完一边就急着下笔。

不证存在就直接对递推式取极限

令

A = f (A)

解方程，这一步以极限存在为前提。

x_{n + 1} = 2 x_{n}

、

x_{1} = 1

照样能解出

A = 0

，而它趋于无穷。

卷面上必须看得见「由单调有界准则知极限存在」这一句，它才是后面那个方程的依据。

解出两个根不筛

A = 2 + A

化成

A^{2} - A - 2 = 0

后有

A = 2

与

A = - 1

两个根。数列各项为正，极限不可能是

- 1

。

筛根的依据来自数列本身：正项数列的极限

\geq 0

；若已证

x_{n} < 2

，极限就

\leq 2

。把这一句写在最后。

放缩时把项数算错

\frac{n}{n ^{2} + 1} + \dots + \frac{n}{n ^{2} + n}

n

项，所以上界是

n \cdot \frac{n}{n ^{2} + 1}

，而不是

\frac{n}{n ^{2} + 1}

。

数项数的办法：看下标从几到几。从

1

到

n

就是

n

项，从

0

到

n

是

n + 1

项。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 两个准则说的是什么

练 1

使用夹逼准则时，下列哪一条不是必需的（）。

A两边的数列各自收敛
B两边的极限相等
C中间的数列单调
D从某项起 $y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n}$

练 2

下列数列中，由单调有界准则可断定其收敛的是（）。

A $x_{n} = n$
B $x_{n} = (- 1)^{n}$
C $x_{n} = \frac{n}{n + 1}$
D $x_{n} = n sin n$

练 3

已知

1 - \frac{1}{n} \leq x_{n} \leq 1 + \frac{1}{n}

，则

n \to \infty lim x_{n} =

________。

练 4

已知

0 \leq x_{n} \leq 2

，则（）。

A ${x_{n}}$ 必收敛
B ${x_{n}}$ 必收敛于 $1$
C ${x_{n}}$ 必发散
D无法判断 ${x_{n}}$ 的敛散性

第二组 · 夹逼准则怎么放

练 5

n \to \infty lim \frac{sin n}{n} =

________。

练 6

n \to \infty lim n 2^{n} + 5^{n} =

________。

练 7

求

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2} + 1} + \frac{2}{n ^{2} + 1} + \dots + \frac{n}{n ^{2} + 1})

时，下列做法正确的是（）。

A每一项都趋于 $0$ ，故和为 $0$
B分子求和得 $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ ，直接算得 $\frac{1}{2}$
C用夹逼准则，上下界分别为 $\frac{n}{n ^{2} + 1}$ 与 $\frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1}$
D极限不存在，因为项数随 $n$ 变

练 8

n \to \infty lim \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1} =

________。

第三组 · 递推数列三步走

练 9

对递推数列

x_{n + 1} = f (x_{n})

求极限，正确的次序是（）。

A先令 $A = f (A)$ 解出 $A$ ，再验证数列收敛于 $A$
B先证有界与单调，断定极限存在，再令 $A = f (A)$ 解出 $A$
C只要 $f$ 连续，直接令 $A = f (A)$ 即可
D先算出通项，再求极限

练 10

设

x_{1} = 1

，

x_{n + 1} = 6 + x_{n}

，则

n \to \infty lim x_{n} =

________。

练 11

设

x_{1} = 1

，

x_{n + 1} = 2 x_{n}

，若照「令

A = 2 A

」去做会得到

A = 0

。这说明（）。

A该数列收敛于 $0$
B递推式取极限这一步需要先知道极限存在
C方程 $A = 2 A$ 解错了
D单调有界准则不适用于等比数列

练 12

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2} + n + 1} + \frac{2}{n ^{2} + n + 2} + \dots + \frac{n}{n ^{2} + n + n}) =

________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

极限存在准则（夹逼、单调有界）

先打基础

1. 夹逼准则：两边夹住，中间跟着走

请你先证

2. 单调有界准则：单调 + 有界 ⇒ 收敛

3. 两个准则各管什么题

常用结构

用夹逼准则：放两边，各求极限，再下结论

递推数列求极限：先证存在，再解方程

认题：看题目给的是和式还是递推式

基础易错

两边的极限不相等也去用夹逼

不证存在就直接对递推式取极限

解出两个根不筛

放缩时把项数算错

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

2. 单调有界准则：单调 $+$ 有界 $\Rightarrow$ 收敛