函数的极限

高等数学 · 函数、极限、连续

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. $x \to x_{0}$ 的极限：只看 $x_{0}$ 附近，与 $f (x_{0})$ 无关

设函数

f (x)

在

x_{0}

的某个去心邻域内有定义（即

x_{0}

附近有定义，

x_{0}

这一点本身可以没有）。若当

x

无限接近

x_{0}

时，

f (x)

无限接近于常数

A

，则称

A

为

f (x)

当

x \to x_{0}

时的极限，记作

x \to x_{0} lim f (x) = A,

也写作

f (x) \to A (x \to x_{0})

。

这一叙述里最要紧的是三个字：去心。

x \to x_{0}

指的是

x

取遍

x_{0}

附近的值而始终不等于

x_{0}

，因此极限是否存在、等于多少，与

f

在

x_{0}

这一点的情况完全无关。具体有三种情形：

① $f$ 在 $x_{0}$ 无定义. 如

f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

在

x = 1

处分母为零，但

x \neq = 1

时

f (x) = x + 1

，故极限为

2

。

② $f$ 在 $x_{0}$ 有定义，但函数值不等于极限. 此时极限仍是

2

，

f (1)

取什么值都不影响。

③ $f (x_{0})$ 恰好等于极限. 这正是下一节「连续」要讲的情形。

三种情形里

x_{0}

附近的图像完全一样，极限因而相同；差别只在

x_{0}

那一个点上。

2. $ε - δ$ 定义：把「无限接近」翻译成两个不等式

「无限接近」要能计算，就得写成不等式。做法与数列那里完全平行：结论的接近程度由别人先给，你去找条件的接近程度。

x \to x_{0} lim f (x) = A

的含义是：对任意给定的

ε > 0

，总存在

δ > 0

，使当

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

时，恒有

∣ f (x) - A ∣ < ε

。

与数列的

ε - N

对照着看，两者只有一处不同：

给定 要找 条件 结论 数列 ε > 0 N n > N ∣ x_{n} - A ∣ < ε 函数 ε > 0 δ > 0 0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ ∣ f (x) - A ∣ < ε

条件那一行的

0 < ∣ x - x_{0} ∣

就是前面说的「去心」：它把

x = x_{0}

这一点排除在外。少写这个

0 <

，定义就变成了另一件事（连续）。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

这一条的「证明 / 推导」里，已经照着

ε - δ

定义证过

x \to 1 lim (2 x + 1) = 3

。它的做法只有三步：把 $∣ f (x) - A ∣$ 写出来 $\to$ 解不等式 $∣ f (x) - A ∣ < ε$ 看 $∣ x - x_{0} ∣$ 要多小 $\to$ 取 $δ$ 为那个界。先把那一段看懂，再动笔做下面这个。请你照着同一套做法，用

ε - δ

定义证明：

x \to 2 lim (3 x - 1) = 5.

3. $x \to \infty$ 的极限：曲线最终贴着一条水平线

另一类趋近方式是自变量无限增大。若当

∣ x ∣

无限增大时

f (x)

无限接近常数

A

，记作

x \to \infty lim f (x) = A

。

这里必须分清三个不同的记号，它们在考场上不是一回事：

x \to + \infty x \to - \infty x \to \infty x 向正方向增大 x 向负方向减小 ∣ x ∣ 增大，两边都要

由此得到一条判据：

x \to \infty lim f (x) = A

成立，当且仅当

x \to + \infty lim f (x)

与

x \to - \infty lim f (x)

都存在、且都等于

A

。

两边之一不存在、或两边存在而不相等， $x \to \infty$ 的极限就不存在。 三个常用的例子要记住：

① $e^{x}$ .

x \to - \infty lim e^{x} = 0

，而

x \to + \infty

时

e^{x}

无限增大，故

x \to \infty lim e^{x}

不存在。

② $arctan x$ .

x \to + \infty lim arctan x = \frac{π}{2}

，

x \to - \infty lim arctan x = - \frac{π}{2}

，两边都存在但不相等，故

x \to \infty lim arctan x

不存在。

③ $\frac{1}{x}$ . 两个方向都趋于

0

，故

x \to \infty lim \frac{1}{x} = 0

。

若

x \to \infty lim f (x) = A

（或只在某一侧成立），则直线

y = A

称为曲线

y = f (x)

的水平渐近线。上面三个例子里，

e^{x}

有一条

y = 0

（只在左侧），

arctan x

有两条

y = \pm \frac{π}{2}

，

\frac{1}{x}

有一条

y = 0

（两侧）。

4. 左极限与右极限：极限存在 $⟺$ 左右相等

x \to x_{0}

允许

x

从两侧靠近。只从左侧（

x < x_{0}

）靠近时的极限称为左极限，只从右侧（

x > x_{0}

）靠近时称为右极限，分别记作

x \to x_{0}^{-} lim f (x) x \to x_{0}^{+} lim f (x) = f (x_{0}^{-}), = f (x_{0}^{+}) .

定理.

x \to x_{0} lim f (x) = A

的充分必要条件是

f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}^{+}) = A .

于是判断极限是否存在有了一个可操作的办法：左右各算一次，再比。三者只要有一个对不上（某一侧不存在，或两侧不相等），极限就不存在。

下面几类函数在指定点处必须分左右，不分就会算错：

① 分段函数在分界点. 两侧用的是不同的表达式。

② 含 $∣ x - x_{0} ∣$ 的式子.

∣ x ∣

在

x > 0

时等于

x

，在

x < 0

时等于

- x

，本身就是分段的。

③ 含 $\frac{1}{x - x _{0}}$ 的指数或反正切. 如

e^{1/ x}

：

x \to 0^{+}

时

\frac{1}{x} \to + \infty

，

e^{1/ x} \to + \infty

；

x \to 0^{-}

时

\frac{1}{x} \to - \infty

，

e^{1/ x} \to 0

。两侧天差地别。

④ 取整函数 $[x]$ 在整数点.

x \to 1^{-}

时

[x] = 0

，

x \to 1^{+}

时

[x] = 1

。

5. 四则运算法则：先代入，代不动再变形

设

lim f (x) = A

、

lim g (x) = B

（同一个趋近过程，两个都存在），则

lim [f (x) \pm g (x)] lim [f (x) g (x)] lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = A \pm B, = A B, = \frac{A}{B} (B \neq = 0) .

由此可得一条最常用的结论：多项式与有理函数在定义点处的极限可以直接代入。即当

Q (x_{0}) \neq = 0

时

x \to x_{0} lim \frac{P ( x )}{Q ( x )} = \frac{P ( x _{0} )}{Q ( x _{0} )} .

所以求极限的第一步永远是代进去试一试。代进去得到一个确定的数，就算完了；代进去得到下面这几种形式之一，才说明要变形：

\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \cdot \infty, \infty - \infty, 1^{\infty}, 0^{0}, \infty^{0} .

这七种称为未定式。「未定」的意思是：只看这个形式决定不了答案，必须把式子变形到能看出结果为止。本章后面几节讲的全是变形的办法。

基础阶段先掌握一种：

\frac{0}{0}

型且分子分母都是多项式时，把那个使分母为零的零因子约掉。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求 $x \to x_{0}$ 的极限：先代入，定型，再变形

第一步：把

x = x_{0}

代进去。

第二步：代出一个确定的数就结束；代出

\frac{0}{0}

、

\frac{\infty}{\infty}

、

\infty - \infty

这类未定式，记下是哪一种。

第三步：按类型变形——多项式的

\frac{0}{0}

就分解因式约零因子，带根号的

\frac{0}{0}

就乘共轭有理化。

第四步：变形后再代入。

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} 代入 \frac{0}{0} 约 x - 3 x \to 3 lim (x + 3) = 6.

例例. 求

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 3 x + 2}

。

第一步，先代入：

x = 1

时分子

0

、分母

0

。

第二步，定型：是

\frac{0}{0}

型——把这四个字写在卷面上，它表示「我认出了类型，下面要变形」。

第三步，多项式的

\frac{0}{0}

就分解因式、约掉零因子：

\frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{x + 1}{x - 2} (x \neq = 1) .

约掉是允许的：求极限时

x \to 1

但

x \neq = 1

。

第四步，变形后再代入：

\frac{2}{- 1} = - 2

。

判断 $x \to x_{0}$ 的极限是否存在：左右各算一次再比

第一步：看这一点要不要分左右——分段函数的分界点、含

∣ \cdot ∣

、含

e^{1/ (x - x_{0})}

、含

[x]

，都要分。

第二步：算左极限

f (x_{0}^{-})

，左侧用左侧的表达式。

第三步：算右极限

f (x_{0}^{+})

。

第四步：两者相等则极限存在且等于这个公共值；不等或有一侧不存在，就答「不存在」。

结论里要把两个单侧值都写出来，只写「不存在」拿不到分。

例例. 判断

x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x}

是否存在。

第一步，式子里含

∣ \cdot ∣

，这一点要分左右。

第二步，左极限：

x < 0

时

∣ x ∣ = - x

，

f (0^{-}) = x \to 0^{-} lim \frac{- x}{x} = - 1.

第三步，右极限：

x > 0

时

∣ x ∣ = x

，

f (0^{+}) = x \to 0^{+} lim \frac{x}{x} = 1.

第四步，

- 1 \neq = 1

，所以极限不存在。

结论里要把两个单侧值都写出来——只写「不存在」拿不到全分。

$x \to \infty$ 的题：先看箭头有没有正负号

第一步：看清是

x \to + \infty

、

x \to - \infty

还是

x \to \infty

。

第二步：若是

x \to \infty

且式中含

e^{x}

、

arctan x

、

∣ x ∣

、

x^{2}

这类两侧不同的函数，必须分两侧各算一次。

第三步：两侧相等才写成一个极限值，不等就答「不存在」。

x \to + \infty lim arctan x x \to - \infty lim arctan x \Rightarrow x \to \infty lim arctan x = \frac{π}{2}, = - \frac{π}{2}, 不存在 .

例例. 求

x \to \infty lim \frac{x ^{2} + 1}{x}

。

第一步，看箭头：是

x \to \infty

，不带正负号。

第二步，式中有

x^{2} + \dots

，两侧不同，必须分开算。把它写成

x^{2} + 1 = ∣ x ∣ 1 + \frac{1}{x ^{2}}

：

x \to + \infty

时

∣ x ∣ = x

，极限是

1

；

x \to - \infty

时

∣ x ∣ = - x

，极限是

- 1

。

第三步，两侧不相等，所以

x \to \infty

时极限不存在。

若题目写的是

x \to + \infty

，答案就是

1

——箭头上那个正负号决定一切。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把 $x \to x_{0} lim f (x)$ 当成 $f (x_{0})$

极限看的是

x_{0}

附近，函数值看的是

x_{0}

那一点，两者可以毫无关系：

f (x_{0})

可以无定义、可以取任何值，极限都不受影响。

能直接代入是有前提的（初等函数在定义区间内），不是通则。动笔前先确认代进去不是未定式、且该点确实在定义区间内，再代。

例例. 下面三个函数在

x = 0

处的表现完全不同，极限却是同一个。

f_{1} (x) = \frac{sin x}{x}

——在

x = 0

处无定义；

f_{2} (x) = {\frac{s i n x}{x}, 5, x \neq = 0 x = 0

——

f_{2} (0) = 5

；

f_{3} (x) = {\frac{s i n x}{x}, 1, x \neq = 0 x = 0

——

f_{3} (0) = 1

。

三个都有

x \to 0 lim f_{i} (x) = 1

。因为求极限时

x \neq = 0

，

x = 0

那一点上发生了什么（没定义、是

5

、是

1

）一概不参与。

它们的区别在连续性上：

f_{1}

在该点无定义、

f_{2}

的函数值与极限不等，两个都不连续（都是可去间断点）；只有

f_{3}

连续。

反过来看「能不能代入」：

x \to 0 lim cos x = cos 0 = 1

之所以能直接代，靠的正是

cos

在

x = 0

处连续；而

\frac{sin x}{x}

代进去是

\frac{0}{0}

，代入这条路一开始就走不通。所以「代入」是连续性给的特权，不是求极限的通用方法。

$x \to \infty$ 与 $x \to + \infty$ 混用

x \to + \infty lim e^{x} = + \infty

、

x \to - \infty lim e^{x} = 0

，所以

x \to \infty lim e^{x}

不存在；

arctan x

同理。

审题时先把箭头后面抄下来。式子里一出现

e^{x}

、

arctan x

、

x^{2}

，就提醒自己左右两侧要分开算。

分段函数在分界点直接代一边的表达式

f (x) = {x + 1, x^{2}, x < 0 x \geq 0

在

x \to 0

时，只用

x^{2}

算会得到

0

，而左侧用的是

x + 1

，极限其实不存在。

分界点一律写两行：

f (0^{-}) = \dots

、

f (0^{+}) = \dots

，再比。写不出这两行就是没分。

把 $\frac{0}{0}$ 当成 $0$ 或 $1$

\frac{x ^{2}}{x} \to 0

、

\frac{x}{x} \to 1

、

\frac{x}{x ^{2}} \to \infty

，三个都是

\frac{0}{0}

型。形式决定不了答案，必须变形。

在卷面上写出「

\frac{0}{0}

型」四个字是好习惯：它是在说「我认出了类型，下面要变形」，而不是在说答案。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 极限与函数值不是一回事

练 1

x \to 2 lim (3 x - 1) =

________。

练 2

x \to x_{0} lim f (x) = A

的意思是（）。

A $x$ 取 $x_{0}$ 附近而不等于 $x_{0}$ 的值时， $f (x)$ 无限接近 $A$
B $f (x_{0}) = A$
C $f$ 在 $x_{0}$ 处有定义，且函数值接近 $A$
D $f (x)$ 的值一直在变大，最后变成 $A$

练 3

设

f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

，则下列说法正确的是（）。

A $f (2) = 4$
B $f$ 在 $x = 2$ 处无定义，但 $x \to 2 lim f (x) = 4$
C $f$ 在 $x = 2$ 处无定义，故 $x \to 2 lim f (x)$ 不存在
D $x \to 2 lim f (x) = 0$

练 4

下列极限中不存在的是（）。

A $x \to 0 lim x sin x$
B $x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$
C $x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x}$
D $x \to \infty lim \frac{1}{x}$

练 5

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} =

________。

第二组 · 先代入，定型，再变形

练 6

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + 3 x}{x + 1} =

________。

练 7

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 4 x + 3} =

________。

练 8

下列极限中，可以直接把 $x$ 代进去算出结果的是（）。

A $x \to 1 lim \frac{x - 1}{x ^{2} - 1}$
B $x \to 0 lim \frac{sin x}{x}$
C $x \to 0 lim \frac{1}{x}$
D $x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 1}{x + 3}$

练 9

下列各式中，不是未定式的是（）。

A $\frac{0}{0}$ 型
B $\infty - \infty$ 型
C $0 \cdot \infty$ 型
D $\frac{0}{\infty}$ 型

练 10

若

x \to 0 lim [f (x) + g (x)]

存在，则（）。

A两者可以都不存在
B $x \to 0 lim f (x)$ 与 $x \to 0 lim g (x)$ 都存在
C $x \to 0 lim f (x)$ 与 $x \to 0 lim g (x)$ 至少有一个存在
D两者必定都不存在

第三组 · 分左右、看箭头

练 11

设

f (x) = {x + 1, x^{2} + a, x < 0, x \geq 0,

若

x \to 0 lim f (x)

存在，则

a =

________。

练 12

x \to 0 lim e^{1/ x}

（）。

A等于 $0$
B等于 $1$
C不存在
D等于 $+ \infty$

练 13

下列极限中存在的是（）。

A $x \to \infty lim arctan x$
B $x \to - \infty lim e^{x}$
C $x \to \infty lim e^{x}$
D $x \to 0 lim \frac{x}{∣ x ∣}$

练 14

x \to 0^{+} lim \frac{∣ x ∣}{x} =

________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

函数的极限

先打基础

1. x→x0​ 的极限：只看 x0​ 附近，与 f(x0​) 无关

2. ε-δ 定义：把「无限接近」翻译成两个不等式

请你先证

3. x→∞ 的极限：曲线最终贴着一条水平线

4. 左极限与右极限：极限存在 ⟺ 左右相等

5. 四则运算法则：先代入，代不动再变形

常用结构

求 x→x0​ 的极限：先代入，定型，再变形

判断 x→x0​ 的极限是否存在：左右各算一次再比

x→∞ 的题：先看箭头有没有正负号

基础易错

把 x→x0​lim​f(x) 当成 f(x0​)

x→∞ 与 x→+∞ 混用

分段函数在分界点直接代一边的表达式

把 00​ 当成 0 或 1

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

练 13

练 14

1. $x \to x_{0}$ 的极限：只看 $x_{0}$ 附近，与 $f (x_{0})$ 无关

2. $ε - δ$ 定义：把「无限接近」翻译成两个不等式

3. $x \to \infty$ 的极限：曲线最终贴着一条水平线

4. 左极限与右极限：极限存在 $⟺$ 左右相等

求 $x \to x_{0}$ 的极限：先代入，定型，再变形

判断 $x \to x_{0}$ 的极限是否存在：左右各算一次再比

$x \to \infty$ 的题：先看箭头有没有正负号

把 $x \to x_{0} lim f (x)$ 当成 $f (x_{0})$

$x \to \infty$ 与 $x \to + \infty$ 混用

把 $\frac{0}{0}$ 当成 $0$ 或 $1$