函数的极限

§1.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.00 分/卷近 11 年平均

0/11 年出现年份

15.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）数列的极限函数的概念与基本性质③ 掌握后可解锁极限存在准则（夹逼、单调有界）无穷小与无穷大、阶的比较等价无穷小替换两个重要极限函数的连续性与间断点导数与微分的概念多元函数的极限与连续

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 定义中的去心条件 $0 < ∣ x - x_{0} ∣$ 十分要紧：极限与 $f (x_{0})$ 完全无关★ 要懂

ε - δ

定义中写的是

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

，那个

0 <

把

x = x_{0}

这一点排除在外。因此，函数在

x_{0}

处是否有定义、取什么值，都不影响极限。极限刻画的是

x

趋近途中

f

的变化趋势，而不是它在该点处的值。正因为如此，

\frac{sin x}{x}

在

x = 0

处虽然没有定义，却有极限

1

，这也可以同连续

=

极限值恰好等于函数值这一后继概念相对照。

举例说明

例（数三2004真题）. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内有定义，

x \to \infty lim f (x) = a

，

g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ f (\frac{1}{x}), 0, x \neq = 0 x = 0

。判断

x = 0

是

g

的何种点：(A) 必是第一类间断点；(B) 必是第二类间断点；(C) 必是连续点；(D) 连续性与

a

的取值有关。
解. 求

x \to 0 lim g (x)

时所考察的是去心邻域，只需看

x \neq = 0

时的那一支

f (\frac{1}{x})

，与人为规定的

g (0) = 0

无关。令

t = \frac{1}{x}

，当

x \to 0

时

t \to \infty

，故

x \to 0 lim g (x) = t \to \infty lim f (t) = a

。而

g (0) = 0

。若

a = 0

则极限

= g (0)

，

g

在

0

处连续；若

a \neq = 0

则极限

\neq = g (0)

，

x = 0

是可去间断点。连续与否取决于

a

，选 D。本题正说明极限值由趋近过程决定，而与该点的函数值

g (0)

无关。

2. 左极限 $=$ 右极限 $= A$ 是极限存在的判据：哪些结构必须分左、右讨论★★ 必会

x \to x_{0} lim f (x) = A ⟺ f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}^{+}) = A

。凡是在某点两侧变化趋势截然不同的结构，都应当先分别求左、右极限：(1) 含

∣ x ∣

、

\frac{∣ x ∣}{x}

、取整函数

[x]

的分界点；(2) 分段函数的分段点；(3)

e^{1/ x}

、

arctan \frac{1}{x}

在

x \to 0

（因为

\frac{1}{x} \to \pm \infty

的符号相反）；(4)

x \to \infty

时含

arctan x

、

e^{x}

（在

\pm \infty

处的表现不同）。只有左、右极限一致时极限才存在，否则极限不存在。

证明 / 推导

证. 分两方面证明。

必要性. 设

x \to x_{0} lim f (x) = A

。按定义，对任给的

ε > 0

，存在

δ > 0

，使当

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

时有

∣ f (x) - A ∣ < ε

。如果

x_{0} < x < x_{0} + δ

，那么

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

成立，从而

∣ f (x) - A ∣ < ε

。这正合右极限的定义，故

f (x_{0}^{+}) = A

。同样，如果

x_{0} - δ < x < x_{0}

，也有

∣ f (x) - A ∣ < ε

，故

f (x_{0}^{-}) = A

。

充分性. 设

f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}^{+}) = A

。任给

ε > 0

。由右极限的定义，存在

δ_{1} > 0

，使当

x_{0} < x < x_{0} + δ_{1}

时

∣ f (x) - A ∣ < ε

。由左极限的定义，存在

δ_{2} > 0

，使当

x_{0} - δ_{2} < x < x_{0}

时

∣ f (x) - A ∣ < ε

。取

δ = min {δ_{1}, δ_{2}}

，则

δ > 0

。设

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

，此时

x \neq = x_{0}

，于是

x

或者落在

(x_{0}, x_{0} + δ_{1})

内，或者落在

(x_{0} - δ_{2}, x_{0})

内。两种情形都有

∣ f (x) - A ∣ < ε

。按定义即得

x \to x_{0} lim f (x) = A

。

这就证明了

x \to x_{0} lim f (x) = A

与

f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}^{+}) = A

是一回事。由此可知，若有一侧的极限不存在，或者两侧的极限都存在而不相等，则双侧极限不存在。证明中取

δ = min {δ_{1}, δ_{2}}

一步，把两侧各自的估计并成了一个双侧的估计。这正合判据的意思：两侧须同时趋于

A

。

■

举例说明

例（数三1987真题）. 判断命题

x \to 0 lim e^{1/ x} = \infty

是否正确。
解. 凡含

e^{1/ x}

且

x \to 0

，由于

\frac{1}{x}

在两侧的符号相反，必须分左、右讨论。先求右极限：

x \to 0^{+}

时

\frac{1}{x} \to + \infty

，

x \to 0^{+} lim e^{1/ x} = + \infty

；再求左极限：

x \to 0^{-}

时

\frac{1}{x} \to - \infty

，

x \to 0^{-} lim e^{1/ x} = e^{- \infty} = 0

。左极限

0

与右极限

+ \infty

不一致，故

x \to 0 lim e^{1/ x}

不存在（也不能记作

\infty

，因为记号

\infty

要求

∣ f ∣ \to + \infty

在两侧都成立）。命题错误。本题就是左极限

=

右极限这一判据的典型例子：只要一侧极限不存在，整体极限就不存在。

3. $x \to \infty$ 意味着 $∣ x ∣ \to + \infty$ ，必须 $+ \infty$ 与 $- \infty$ 两侧趋于同一值★★ 必会

常有人把

x \to \infty

只理解成

x \to + \infty

。事实上，

x \to \infty

是指

∣ x ∣

无限增大，两个方向都要考虑：

x \to \infty lim f = A ⟺ x \to + \infty lim f = x \to - \infty lim f = A

。凡含

arctan x

、

e^{x}

、

x^{2} = ∣ x ∣

这类在

\pm \infty

处表现不同的函数，都要分两侧讨论。

证明 / 推导

反例： $x \to \infty lim arctan x$ 不存在。 由

arctan

的图像与定义，

x \to + \infty lim arctan x = \frac{π}{2}

，而

x \to - \infty lim arctan x = - \frac{π}{2}

。两侧极限

\frac{π}{2} \neq = - \frac{π}{2}

，故

x \to \infty lim arctan x

不存在。若题目写的是

x \to + \infty

，答案才是

\frac{π}{2}

，因此趋近的方向必须看清。

■

4. 归结原则（海涅定理）：把函数极限化为数列极限，常用来证明极限不存在

x \to x_{0} lim f (x) = A ⟺

对任意满足

x_{n} \to x_{0} (x_{n} \neq = x_{0})

的数列都有

f (x_{n}) \to A

。它把函数极限化为数列极限，沟通了二者。它最常用于证明极限不存在：只要找到两个数列

x_{n} \to x_{0}

、

x_{n}^{'} \to x_{0}

，使

f (x_{n})

与

f (x_{n}^{'})

趋于不同的值即可。

证明 / 推导

例：证 $x \to 0 lim sin \frac{1}{x}$ 不存在。 取两个趋于

0

的数列：

x_{n} sin \frac{1}{x _{n}} = \frac{1}{2 nπ} \to 0 = sin (2 nπ) = 0 \to 0;

x_{n}^{'} sin \frac{1}{x _{n}^{'}} = \frac{1}{2 nπ + \frac{π}{2}} \to 0 = sin (2 nπ + \frac{π}{2}) = 1 \to 1.

两个数列所对应的函数值分别趋于

0

与

1

，二者不一致，故由归结原则知

x \to 0 lim sin \frac{1}{x}

不存在（这是一个振荡型的例子）。

■

💡 小知识

lim

这个记号源自拉丁文 limes，意思是边界、界限。柯西最早用文字描述极限，真正把它锻造成

ε - δ

这套无懈可击的逻辑语言的，是魏尔斯特拉斯。从此说

x

无限趋近某个值，不再是一句只能意会的话，而是可以逐字验证的数学命题。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

。难度 1

解. 直接代入分母为

0

、分子也为

0

，是

\frac{0}{0}

型。注意极限是去心过程（

x \to 1

但

x \neq = 1

），故

x - 1 \neq = 0

，可约分：

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x + 1 (x \neq = 1) .

于是

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x \to 1 lim (x + 1) = 2.

（能约分正是因为

x \to 1

时不看

x = 1

那一点。）

例 2 设

f (x) = {x + 1, x^{2}, x < 0 x \geq 0

，讨论

x \to 0 lim f (x)

是否存在。难度 1

解.

x = 0

是分段点，左右两侧表达式不同，须分别求左、右极限。

左极限（

x \to 0^{-}

，用

x + 1

）：

x \to 0^{-} lim (x + 1) = 0 + 1 = 1

。

右极限（

x \to 0^{+}

，用

x^{2}

）：

x \to 0^{+} lim x^{2} = 0

。

因

f (0^{-}) = 1 \neq = 0 = f (0^{+})

，左右极限不相等，故

x \to 0 lim f (x)

不存在。

例 3 求

x \to \infty lim \frac{2 x ^{2} - x + 1}{3 x ^{2} + 5}

。难度 2

解.

\frac{\infty}{\infty}

型，分子分母同除以最高次幂

x^{2}

：

\frac{2 x ^{2} - x + 1}{3 x ^{2} + 5} = \frac{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}}}{3 + \frac{5}{x ^{2}}} .

当

x \to \infty

时

\frac{1}{x}, \frac{1}{x ^{2}} \to 0

，故

x \to \infty lim \frac{2 x ^{2} - x + 1}{3 x ^{2} + 5} = \frac{2}{3} .

（结论：

x \to \infty

时抓最高次项，极限为最高次项系数之比

\frac{2}{3}

。）

例 4 讨论

x \to 0 lim e^{1/ x}

是否存在。难度 2

解. 含

e^{1/ x}

，而

\frac{1}{x}

在

x = 0

两侧走向相反，必须分左右。

右极限（

x \to 0^{+}

，

\frac{1}{x} \to + \infty

）：

x \to 0^{+} lim e^{1/ x} = e^{+ \infty} = + \infty

。

左极限（

x \to 0^{-}

，

\frac{1}{x} \to - \infty

）：

x \to 0^{-} lim e^{1/ x} = e^{- \infty} = 0

。

右极限为

+ \infty

（不存在有限值）、左极限为

0

，两侧不一致，故

x \to 0 lim e^{1/ x}

不存在。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2014 年 · 数三 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

下列曲线中有渐近线的是（　　）

A $y = x + sin x$
B $y = x^{2} + sin x$
C $y = x + sin \frac{1}{x}$
D $y = x^{2} + sin \frac{1}{x}$

2008 年 · 数三 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

设函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + 1, \frac{2}{∣ x ∣}, ∣ x ∣ \leq c, ∣ x ∣ > c,

在

(- \infty, + \infty)

内连续，则

c =

______.

2004 年 · 数三 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内有定义，且

x \to \infty lim f (x) = a

，

g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ f (\frac{1}{x}), 0, x \neq = 0, x = 0,

则（　　）

A $x = 0$ 必是 $g (x)$ 的第一类间断点.
B $x = 0$ 必是 $g (x)$ 的第二类间断点.
C $x = 0$ 必是 $g (x)$ 的连续点.
D $g (x)$ 在点 $x = 0$ 处的连续性与 $a$ 的取值有关.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} =

（）。

A $6$
B $0$
C $3$
D $\infty$

练习 2 · 选择题

设

f (x) = \frac{∣ x - 1∣}{x - 1}

，则

x \to 1 lim f (x)

（）。

A $= 1$
B $= - 1$
C $= 0$
D不存在

练习 3 · 填空题

x \to \infty lim \frac{3 x + 1}{2 x - 5} =

____。

练习 4 · 填空题

x \to 0^{+} lim \frac{x}{∣ x ∣} =

____。

1990 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 3 分

设函数

f (x) = x tan x \cdot e^{s i n x}

，则

f (x)

是（　　）。

A偶函数
B无界函数
C周期函数
D单调函数

1988 年 · 数三 · 第 5 题 · 选择题 · 2 分

判断下述命题是否正确：若极限

x \to x_{0} lim f (x)

与

x \to x_{0} lim f (x) g (x)

都存在，则极限

x \to x_{0} lim g (x)

必存在。

A正确
B错误

1987 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 2 分

判断下列命题是否正确：

x \to 0 lim e^{1/ x} = \infty.

A正确（√）
B错误（×）

函数的极限

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 定义中的去心条件 0<∣x−x0​∣ 十分要紧：极限与 f(x0​) 完全无关★ 要懂

2. 左极限 = 右极限 =A 是极限存在的判据：哪些结构必须分左、右讨论★★ 必会

3. x→∞ 意味着 ∣x∣→+∞，必须 +∞ 与 −∞ 两侧趋于同一值★★ 必会

4. 归结原则（海涅定理）：把函数极限化为数列极限，常用来证明极限不存在

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 定义中的去心条件 $0 < ∣ x - x_{0} ∣$ 十分要紧：极限与 $f (x_{0})$ 完全无关★ 要懂

2. 左极限 $=$ 右极限 $= A$ 是极限存在的判据：哪些结构必须分左、右讨论★★ 必会

3. $x \to \infty$ 意味着 $∣ x ∣ \to + \infty$ ，必须 $+ \infty$ 与 $- \infty$ 两侧趋于同一值★★ 必会