两个重要极限

§1.7 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.19 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

1.7 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）极限存在准则（夹逼、单调有界）函数的极限③ 掌握后可解锁极限的计算方法综合

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 第二重要极限里的 $e$ 为什么存在：用单调有界准则作出的严格证明

复利的例子说明结算越频繁本利和越多，但它并不会增到无穷。为什么

(1 + \frac{1}{n})^{n}

一定收敛，而不是趋于

+ \infty

呢？这必须用单调有界准则来证明：它单调增加且有上界（

< 3

），因而收敛，其极限就定义为

e

。这才是常数

e

的严格来历，也是第二个重要极限的基础。

证明 / 推导

记

x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}

，用二项式定理展开（这是有限项的和）：

x_{n} = k = 0 \sum n (k n) \frac{1}{n ^{k}} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !} \cdot \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{n ^{k}} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !} j = 1 \prod k - 1 (1 - \frac{j}{n}) .

(i) 单调增加. 从

x_{n}

到

x_{n + 1}

：一方面，求和中多出第

k = n + 1

项，它是非负的；另一方面，对每个

k

，因为

1 - \frac{j}{n} < 1 - \frac{j}{n + 1}

，相应的乘积变大。故

x_{n} < x_{n + 1}

。
(ii) 有上界. 每个因子都

\leq 1

，又

k! \geq 2^{k - 1} (k \geq 1)

，于是

x_{n} \leq k = 0 \sum n \frac{1}{k !} \leq 1 + k = 1 \sum n \frac{1}{2 ^{k - 1}} < 1 + 2 = 3.

(iii) 结论. 数列单调增加且有上界，由单调有界准则知它收敛，其极限记为

e

，且

2 < e < 3

。

■

2. 第一重要极限的几何夹逼证明，以及为什么不能用洛必达法则★ 要懂

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

的正规证明是用几何方法作夹逼，即比较三块面积。它有一个极重要的后果：这个极限是推导

(sin x)^{'} = cos x

的基础，因此在证明它时决不能使用洛必达法则，否则就成了用结论去证明前提的循环论证。凡是涉及这个极限的证明题，都必须用夹逼准则，不可借用求导。

证明 / 推导

取较小的圆心角

x \in (0, \frac{π}{2})

，在单位圆中比较三块面积：

△ O A B <

扇形

O A B < △ O A C

，即

\frac{1}{2} sin x < \frac{1}{2} x < \frac{1}{2} tan x .

各式除以

\frac{1}{2} sin x > 0

，得

1 < \frac{x}{sin x} < \frac{1}{cos x}

，取倒数，得

cos x < \frac{sin x}{x} < 1.

当

x \to 0^{+}

时

cos x \to 1

，由夹逼准则知右极限为

1

；又

\frac{sin x}{x}

是偶函数，左极限也是

1

。故

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

。

■

3. $1^{\infty}$ 型的一般公式 $lim u^{v} = e^{l i m v (u - 1)}$ ：它比人工凑配更机械，也更不容易出错★★ 必会

凡是底

\to 1

、指数

\to \infty

的

1^{\infty}

型，一律用

lim u^{v} = e^{l i m v (u - 1)}

，这就把问题化为求一个普通极限

lim v (u - 1)

。它对于含三角函数、幂函数的复杂底数尤其好用，避免了人工凑配

(1 + \frac{1}{□})^{□}

时容易出的错。

证明 / 推导

公式的推导. 对

u^{v}

取对数，得

u^{v} = e^{v l n u}

。当

u \to 1

时，令

u - 1 \to 0

，由等价无穷小

ln u = ln (1 + (u - 1)) \sim u - 1

，故指数

v ln u \sim v (u - 1)

，于是

lim u^{v} = e^{l i m v l n u} = e^{l i m v (u - 1)} .

■

举例说明

例（数三2012真题）. 求

x \to \frac{π}{4} lim (tan x)^{\frac{1}{c o s x - s i n x}}

。
解. 底数

tan x \to 1

、指数

\to \infty

，这是

1^{\infty}

型，用一般公式

lim u^{v} = e^{l i m v (u - 1)}

。先算指数部分

v (u - 1) = \frac{tan x - 1}{cos x - sin x}

。化简，得

tan x - 1 = \frac{sin x - cos x}{cos x} = - \frac{cos x - sin x}{cos x}

，故

\frac{tan x - 1}{cos x - sin x} = - \frac{1}{cos x} \to - \frac{1}{cos \frac{π}{4}} = - 2

。于是原极限

= e^{- 2}

。这个方法把

1^{\infty}

型机械地化为求一个普通极限

lim v (u - 1)

，免去了人工凑配

(1 + \frac{1}{□})^{□}

的麻烦。

4. 两个重要极限最常见的误用★ 要懂

第一个极限的误用：

x \to \infty lim \frac{sin x}{x} = 0

（这是有界量

\times

无穷小，其中

x \to \infty

），它不是第一个重要极限。后者要求分子与分母是同一个趋于 $0$ 的量，且趋近过程是

x \to 0

。第二个极限的误用：套用

e

之前必须核实是底

\to 1

、指数

\to \infty

的

1^{\infty}

型；底数不趋于

1

（例如

2^{x}

）时就与它无关。使用之前先看清类型与趋近过程，这是避免出错的要点。

举例说明

例（数三1991真题）. 下列各式正确的是（）。(A)

x \to 0^{+} lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = 1

；(B)

x \to 0^{+} lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e

；(C)

x \to \infty lim (1 - \frac{1}{x})^{x} = - e

；(D)

x \to \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{- x} = e

。
解. 关键在于核对类型与趋近过程，不要一见到

(1 + \frac{1}{x})

就套用

e

。(A)：当

x \to 0^{+}

时底

1 + \frac{1}{x} \to + \infty

、指数

x \to 0

，这是

\infty^{0}

型而不是

1^{\infty}

型。取对数并令

t = \frac{1}{x} \to + \infty

，则指数

= t \to + \infty lim \frac{ln ( 1 + t )}{t} = 0

，故极限

= e^{0} = 1

，可见 (A) 正确。再看其余各项：

x \to \infty lim (1 - \frac{1}{x})^{x} = e^{- 1} \neq = - e

（故 (C) 错，何况极限也不可能为负）；

x \to \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{- x} = e^{- 1} \neq = e

（故 (D) 错）；(B) 与 (A) 相矛盾。故选 A。本题就是对这两个极限误用情形的集中检验。

💡 小知识

数 e 最早是雅各布·伯努利在 1683 年研究复利时碰上的。他想知道连续复利到底能赚多少，答案就是 (1+1/n)^n 的极限。后来欧拉用字母 e 为它命名，还把它算到了小数点后十几位。如今它是自然对数的底，也是一个随处可见的自然常数。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

x \to 0 lim \frac{sin 4 x}{sin 3 x}

。难度 1

解.

\frac{0}{0}

型，凑第一个重要极限

□ \to 0 lim \frac{sin □}{□} = 1

。给分子分母各配上「同一个趋于

0

的角」：

\frac{sin 4 x}{sin 3 x} = \frac{sin 4 x}{4 x} \cdot \frac{3 x}{sin 3 x} \cdot \frac{4 x}{3 x} .

当

x \to 0

：

\frac{sin 4 x}{4 x} \to 1

、

\frac{3 x}{sin 3 x} \to 1

，故

x \to 0 lim \frac{sin 4 x}{sin 3 x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3} .

（也可直接等价替换

sin 4 x \sim 4 x, sin 3 x \sim 3 x

得

\frac{4}{3}

。）

例 2 求

x \to 0 lim \frac{1 - cos 3 x}{x ^{2}}

。难度 1

解. 用第一重要极限的推论

□ \to 0 lim \frac{1 - cos □}{□ ^{2}} = \frac{1}{2}

，取

□ = 3 x

：

\frac{1 - cos 3 x}{x ^{2}} = \frac{1 - cos 3 x}{( 3 x ) ^{2}} \cdot \frac{( 3 x ) ^{2}}{x ^{2}} = \frac{1 - cos 3 x}{( 3 x ) ^{2}} \cdot 9.

当

x \to 0

，第一个因子

\to \frac{1}{2}

，故

x \to 0 lim \frac{1 - cos 3 x}{x ^{2}} = \frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{9}{2} .

（即

1 - cos 3 x \sim \frac{1}{2} (3 x)^{2} = \frac{9}{2} x^{2}

。）

例 3 求

x \to \infty lim (1 + \frac{2}{x})^{3 x}

。难度 2

解. 底数

1 + \frac{2}{x} \to 1

、指数

3 x \to \infty

，是

1^{\infty}

型，用万能公式

lim u^{v} = e^{l i m v (u - 1)}

。

算指数部分：

v (u - 1) = 3 x \cdot \frac{2}{x} = 6.

故

x \to \infty lim (1 + \frac{2}{x})^{3 x} = e^{6} .

例 4 求

x \to 0 lim (1 + sin x)^{1/ x}

。难度 2

解. 底数

1 + sin x \to 1

、指数

\frac{1}{x} \to \infty

，是

1^{\infty}

型，套

lim u^{v} = e^{l i m v (u - 1)}

。

算指数部分（用

sin x \sim x

）：

v (u - 1) = \frac{1}{x} \cdot sin x = \frac{sin x}{x} x \to 0 1.

故

x \to 0 lim (1 + sin x)^{1/ x} = e^{1} = e .

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2021 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

已知

x \to 0 lim [α arctan \frac{1}{x} + (1 + ∣ x ∣)^{\frac{1}{x}}]

存在，求

α

的值。

2019 年 · 数三 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

n \to \infty lim [\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n ( n + 1 )}]^{n} =

2012 年 · 数三 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

x \to \frac{π}{4} lim (tan x)^{\frac{1}{c o s x - s i n x}} =

______。

2011 年 · 数三 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

设

f (x) = t \to 0 lim x (1 + 3 t)^{\frac{x}{t}}

，则

f^{'} (x) =

______．

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

x \to 0 lim \frac{tan 5 x}{x} =

（）。

A $5$
B $1$
C $\frac{1}{5}$
D $0$

练习 2 · 选择题

x \to \infty lim (1 + \frac{1}{2 x})^{x} =

（）。

A $e$
B $e$
C $e^{2}$
D $1$

练习 3 · 填空题

x \to 0 lim \frac{sin x ^{2}}{x ^{2}} =

____。

练习 4 · 填空题

x \to 0 lim (1 - 2 x)^{1/ x} =

____。

练习 5 · 选择题

x \to 0 lim (\frac{1 + tan x}{1 + sin x})^{\frac{1}{x ^{3}}} =

（　）。

A $1$
B $e^{\frac{1}{6}}$
C $e$
D $e$

练习 6 · 填空题

x \to 0 lim (\frac{sin x}{x})^{\frac{1}{1 - c o s x}} =

____。

练习 7 · 解答题

设

a > 0, b > 0, c > 0

。

(1) 求

x \to 0 lim (\frac{a ^{x} + b ^{x} + c ^{x}}{3})^{\frac{1}{x}}

；

(2) 利用 (1) 的结果求

n \to \infty lim (\frac{n 2 + n 3 + n 4}{3})^{n}

。

2002 年 · 数三 · 第 1 题 · 填空题 · 3 分

设常数

a \neq = \frac{1}{2}

，则

n \to \infty lim ln [\frac{n - 2 na + 1}{n ( 1 - 2 a )}]^{n} =

____。

1998 年 · 数三 · 第 1 题 · 填空题 · 3 分

设曲线

f (x) = x^{n}

在点

(1, 1)

处的切线与

x

轴的交点为

(ξ_{n}, 0)

，则

n \to \infty lim f (ξ_{n}) =

______。

两个重要极限

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 第二重要极限里的 e 为什么存在：用单调有界准则作出的严格证明

2. 第一重要极限的几何夹逼证明，以及为什么不能用洛必达法则★ 要懂

3. 1∞ 型的一般公式 limuv=elimv(u−1)：它比人工凑配更机械，也更不容易出错★★ 必会

4. 两个重要极限最常见的误用★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 第二重要极限里的 $e$ 为什么存在：用单调有界准则作出的严格证明

3. $1^{\infty}$ 型的一般公式 $lim u^{v} = e^{l i m v (u - 1)}$ ：它比人工凑配更机械，也更不容易出错★★ 必会