等价无穷小替换

§1.6 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

2.55 分/卷近 11 年平均

9/11 年出现年份

4.1 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）无穷小与无穷大、阶的比较函数的极限③ 掌握后可解锁极限的计算方法综合

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 为什么乘除中可以作等价替换：趋于 $1$ 的因子可以整体分离出去★ 要懂

在乘法与除法中等价替换总是可以进行，其原因在于：如果

α \sim α^{'}

，那么

\frac{α}{α ^{'}} \to 1

，而在极限运算中一个趋于

1

的因子对结果没有影响，可以整体分离出去。因此替换只允许对处于乘除位置的因子整体进行，替换以后该量仍必须处在乘或除的位置上。

证明 / 推导

替换定理（除的情形）的证明. 设

α \sim α^{'}, β \sim β^{'}

，即

\frac{α}{α ^{'}} \to 1, \frac{β ^{'}}{β} \to 1

。把商拆成三个因子：

\frac{α}{β} = \to 1 \frac{α}{α ^{'}} \cdot \frac{α ^{'}}{β ^{'}} \cdot \to 1 \frac{β ^{'}}{β} .

如果

lim \frac{α ^{'}}{β ^{'}}

存在，那么取极限时首尾两个因子都变成

1

，于是

lim \frac{α}{β} = lim \frac{α ^{'}}{β ^{'}}

。

■

举例说明

例（数三2015真题）. 求

x \to 0 lim \frac{ln ( cos x )}{x ^{2}}

。
解. 整个式子是乘除结构，可以对处在乘除位置的因子作等价替换。把

ln (cos x)

写成

ln [1 + (cos x - 1)]

，当

x \to 0

时

cos x - 1 \to 0

，用

ln (1 + □) \sim □

得

ln (cos x) \sim cos x - 1

；再用

cos x - 1 \sim - \frac{x ^{2}}{2}

。于是

\frac{ln ( cos x )}{x ^{2}} \sim \frac{- x ^{2} /2}{x ^{2}} \to - \frac{1}{2}

。替换之所以合法，正是因为被替换的量始终处在乘或除的位置上，趋于

1

的因子可以整体分离出去。

2. 加减中为什么会出错：主项相消，应先化为乘积或改用泰勒公式★★ 必会

在加减中逐项作等价替换是一种常见的错误，因为等价无穷小只保证首项相同，一旦两项的主项相消，真正决定结果的高阶信息也就被抹去了。判别的办法是：如果相减的两项等价，即

lim \frac{α}{β} = 1

，主项必然相消，那么不允许逐项替换；如果两项不等价，主项不会相消，那么

α - β \sim α^{'} - β^{'}

反而成立。补救的办法有两种：先把差分解成乘积，再对各因子作替换；或者直接用泰勒公式展开，这种做法总是可靠的。

证明 / 推导

例： $x \to 0 lim \frac{tan x - sin x}{x ^{3}}$ 。 如果把

tan x, sin x

都换成

x

，分子就成为

0

，从而得到错误的结果

0

。正确的做法是先分解成乘积：

tan x - sin x = \frac{sin x}{cos x} - sin x = sin x \cdot \frac{1 - cos x}{cos x} .

化成乘积以后就可以对各因子放心替换，这里用到

sin x \sim x

，

1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}

，

cos x \to 1

：

x \to 0 lim \frac{sin x ( 1 - cos x )}{x ^{3} cos x} = x \to 0 lim \frac{x \cdot \frac{1}{2} x ^{2}}{x ^{3}} = \frac{1}{2} .

若误用逐项替换，则得

0

，与正确答案相差甚远。

■

举例说明

例（数三2011真题）. 求

x \to 0 lim \frac{1 + 2 sin x - x - 1}{x ln ( 1 + x )}

。
解. 分子是两个无穷小之差，主项会相消，直接逐项替换必然出错，须先化简。分母是乘除结构，故

x ln (1 + x) \sim x \cdot x = x^{2}

。对分子作有理化：

1 + 2 sin x - (x + 1) = \frac{( 1 + 2 sin x ) - ( x + 1 ) ^{2}}{1 + 2 sin x + ( x + 1 )} = \frac{2 sin x - 2 x - x ^{2}}{1 + 2 sin x + ( x + 1 )}

，其中分母的那一支

\to 2

。于是原式

= \frac{1}{2} x \to 0 lim \frac{2 sin x - 2 x - x ^{2}}{x ^{2}} = \frac{1}{2} x \to 0 lim [\frac{2 ( sin x - x )}{x ^{2}} - 1]

。又因

sin x - x \sim - \frac{x ^{3}}{6}

，第一项

\to 0

，所以极限

= \frac{1}{2} (0 - 1) = - \frac{1}{2}

。由此可见：当差式中主项相消时，应改用有理化、因式分解或泰勒公式，例如

sin x - x \sim - \frac{1}{6} x^{3}

，切不可把

sin x

直接换成

x

。

3. 常用等价关系表中的 $□$ 可代表任意式子：只要 $□ \to 0$ 就成立，趋近过程不符则失效★★ 必会

把等价关系表中的

x

换成任何趋于

0

的式子

□

，结论仍然成立：

□ \sim sin □ \sim tan □ \sim arcsin □ \sim arctan □ \sim ln (1 + □) \sim e^{□} - 1

，

1 - cos □ \sim \frac{1}{2} □^{2}

，

(1 + □)^{a} - 1 \sim a □ (a \neq = 0)

，

a^{□} - 1 \sim □ ln a

。必要的前提是 $□ \to 0$ ：

sin x \sim x

只在

x \to 0

时才对；当

x \to \infty

时

sin x

决不能替换。作代换

t = \frac{1}{x}

也不能补救。它只把

sin x

变成

sin \frac{1}{t}

，正弦号内的式子仍不趋于

0

。适合作代换的是

sin \frac{1}{x}

这类式子。当

x \to \infty

时

\frac{1}{x} \to 0

，故有

sin \frac{1}{x} \sim \frac{1}{x}

。系数也不要记错：

1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}

，其中有因子

\frac{1}{2}

；

(1 + x)^{a} - 1 \sim a x

，其中的系数是

a

。

证明 / 推导

证. 表中每一条的推广都可以归结为下面的命题，先把它证出来。

命题. 设

u \to 0

时

f (u) \sim g (u)

。又设

x \to x_{0}

时

φ (x) \to 0

，且在

x_{0}

的某个去心邻域内

φ (x) \neq = 0

。那么

x \to x_{0}

时

f (φ (x)) \sim g (φ (x))

。

证. 按等价无穷小的定义，

u \to 0 lim \frac{f ( u )}{g ( u )} = 1

。故任给

ε > 0

，存在

η > 0

，使当

0 < ∣ u ∣ < η

时

\frac{f ( u )}{g ( u )} - 1 < ε .

又由

φ (x) \to 0

，对上面这个

η

，存在

δ > 0

，使当

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

时

∣ φ (x) ∣ < η

。再把

δ

缩小，使这一范围落在前述去心邻域内，于是还有

φ (x) \neq = 0

。两者合起来即

0 < ∣ φ (x) ∣ < η

。把

u = φ (x)

代入上式，得

\frac{f ( φ ( x ))}{g ( φ ( x ))} - 1 < ε (0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ) .

按定义即得

x \to x_{0} lim \frac{f ( φ ( x ))}{g ( φ ( x ))} = 1

，也就是

f (φ) \sim g (φ)

。

由此可以看清

□ \to 0

这个条件用在何处。只有当

□

落进

0 < ∣ u ∣ < η

的范围，才谈得上援用

u \to 0

时的等价关系。如果

□

不趋于

0

，这一步就无从进行。以

x \to \infty

时的

sin x

为例，因

∣ sin x ∣ \leq 1

而

∣ x ∣ \to + \infty

，比值

\frac{sin x}{x}

趋于

0

而不是

1

，可见此时

sin x \sim x

确实不成立。上述命题对

x \to \infty

、

x \to x_{0}^{+}

、

x \to x_{0}^{-}

等各种趋近过程同样适用，只须把

δ

邻域换成相应的邻域。

■

举例说明

例（数三2016真题）. 已知

x \to 0 lim \frac{1 + f ( x ) sin 2 x - 1}{e ^{3 x} - 1} = 2

，求

x \to 0 lim f (x)

。
解. 利用

□ \to 0

时的等价关系表反推。先说明

f (x) sin 2 x \to 0

。当

x \to 0

时分母

e^{3 x} - 1 \to 0

，而所给比值的极限是有限数

2

。分子等于比值与分母之积，因此分子也趋于

0

，即

1 + f (x) sin 2 x \to 1

。两端平方得

1 + f (x) sin 2 x \to 1

，故

f (x) sin 2 x \to 0

。把它取作

□

，则

1 + □ - 1 \sim \frac{1}{2} □

，故分子

\sim \frac{1}{2} f (x) sin 2 x \sim \frac{1}{2} f (x) \cdot 2 x = x f (x)

，这里又用到

sin 2 x \sim 2 x

；分母

e^{3 x} - 1 \sim 3 x

。于是

x \to 0 lim \frac{x f ( x )}{3 x} = \frac{1}{3} x \to 0 lim f (x) = 2

，解得

x \to 0 lim f (x) = 6

。这里的前提是各处的

□

都趋于

0

，等价关系表才能套用。

4. 三个常用的差式等价关系，它们来自泰勒展开中首项抵消后的最低阶项★★ 必会

遇到主项相消的差式时，如果不便作因式分解，可以直接使用下面三个等价关系：

x - sin x \sim \frac{1}{6} x^{3}, tan x - x \sim \frac{1}{3} x^{3}, x - ln (1 + x) \sim \frac{1}{2} x^{2} .

它们的来历是把各函数泰勒展开到首项抵消后的最低阶：

sin x = x - \frac{1}{6} x^{3} + \dots \Rightarrow x - sin x = \frac{1}{6} x^{3} + \dots

；

tan x = x + \frac{1}{3} x^{3} + \dots \Rightarrow tan x - x = \frac{1}{3} x^{3} + \dots

；

ln (1 + x) = x - \frac{1}{2} x^{2} + \dots \Rightarrow x - ln (1 + x) = \frac{1}{2} x^{2} + \dots

。

证明 / 推导

证. 先证一条一般的命题：如果当

x \to 0

时

f (x) = a x^{n} + o (x^{n})

，其中

a \neq = 0

，那么

f (x) \sim a x^{n}

。事实上

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{a x ^{n}} = x \to 0 lim (1 + \frac{o ( x ^{n} )}{a x ^{n}}) = 1 + 0 = 1,

按等价无穷小的定义即得所要的结论。可见只要把函数展开到第一个不为零的项，那一项就是它的等价无穷小。上面三式中的系数都是这样得来的。

补出 $tan x$ 的展开式.

sin x

与

ln (1 + x)

的展开是麦克劳林公式的直接结果。

tan x

的展开则需另行推导。由

sin x cos x = x - \frac{1}{6} x^{3} + o (x^{3}) = 1 - \frac{1}{2} x^{2} + o (x^{2})

以及当

u \to 0

时

\frac{1}{1 - u} = 1 + u + o (u)

，取

u = \frac{1}{2} x^{2} + o (x^{2})

，得

\frac{1}{cos x} = 1 + \frac{1}{2} x^{2} + o (x^{2}) .

两式相乘，并注意

x \cdot o (x^{2}) = o (x^{3})

，得

tan x = sin x \cdot \frac{1}{cos x} = x + (\frac{1}{2} - \frac{1}{6}) x^{3} + o (x^{3}) = x + \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3}) .

于是

tan x - x = \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3})

，由前面的一般命题即得

tan x - x \sim \frac{1}{3} x^{3}

。

成立的范围. 这三式都由

x \to 0

处的展开得来，因而只在

x \to 0

时成立。若改为

x \to a (a \neq = 0)

或

x \to \infty

，展开的中心就变了，结论不再适用。还须注意式中的系数

\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}

不能丢。常用表里的

sin x \sim x

一类系数为

1

。这里的系数不是

1

，漏掉就会算错。

■

举例说明

例. 求

x \to 0 lim \frac{x - ln ( 1 + x )}{x ^{2}}

与

x \to 0 lim \frac{tan x - x}{x - sin x}

。
解. 对前一个极限：

x - ln (1 + x) \sim \frac{1}{2} x^{2}

，故极限

= lim \frac{\frac{1}{2} x ^{2}}{x ^{2}} = \frac{1}{2}

。
对后一个极限：分子

tan x - x \sim \frac{1}{3} x^{3}

，分母

x - sin x \sim \frac{1}{6} x^{3}

，故极限

= \frac{1/3}{1/6} = 2

。

💡 小知识

等价无穷小相当于泰勒展开只保留第一项的省力写法，它把复杂函数在

0

附近换成最简单的单项式，抓大放小。熟练的人做极限题几乎不写泰勒展开，全靠一张等价表加因式分解，快得像在心算。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{tan 2 x}

。难度 1

解. 整个式子是乘除结构，可对因子分别做等价替换。当

x \to 0

时

3 x \to 0

、

2 x \to 0

，故

sin 3 x \sim 3 x, tan 2 x \sim 2 x .

于是

x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{tan 2 x} = x \to 0 lim \frac{3 x}{2 x} = \frac{3}{2} .

例 2 求

x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x sin x}

。难度 1

解. 分子分母都是无穷小，是纯乘除，可整体替换。当

x \to 0

：

1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}, sin x \sim x \Rightarrow x sin x \sim x \cdot x = x^{2} .

故

x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x sin x} = x \to 0 lim \frac{\frac{1}{2} x ^{2}}{x ^{2}} = \frac{1}{2} .

（注意系数

\frac{1}{2}

不能丢。）

例 3 求

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + 2 x )}{e ^{3 x} - 1}

。难度 2

解. 乘除结构，用等价无穷小表（把

x

换成

\to 0

的式子

□

）：

ln (1 + □) \sim □ \Rightarrow ln (1 + 2 x) \sim 2 x;

e^{□} - 1 \sim □ \Rightarrow e^{3 x} - 1 \sim 3 x .

于是

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + 2 x )}{e ^{3 x} - 1} = x \to 0 lim \frac{2 x}{3 x} = \frac{2}{3} .

例 4 求

x \to 0 lim \frac{x - sin x}{x ^{3}}

。难度 2

解. 分子是「无穷小之差」，主项会相消——若把

sin x

换成

x

得分子

x - x = 0

，是错误的（会算出

0

）。此时应使用「差」的进阶等价：

x - sin x \sim \frac{1}{6} x^{3} (x \to 0),

它来自泰勒展开

sin x = x - \frac{1}{6} x^{3} + o (x^{3})

，故

x - sin x = \frac{1}{6} x^{3} + o (x^{3})

。于是

x \to 0 lim \frac{x - sin x}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{\frac{1}{6} x ^{3}}{x ^{3}} = \frac{1}{6} .

教训：加减中主项相消时，禁止逐项替换，改用进阶等价或泰勒。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

设

p

为常数，若反常积分

\int_{0}^{+ \infty} \frac{arctan x}{x ^{p} ( x + 1 )} d x

收敛，则

p

的取值范围是 ______。

2025 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

当

x \to 0^{+}

时，下列无穷小量中，与

x

等价的是（　　）。

A $e^{- s i n x} - 1$
B $x + 1 - cos x$
C $1 - cos 2 x$
D $1 - \frac{ln ( 1 + x )}{x}$

2022 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

当

x \to 0

时，

α (x), β (x)

是非零无穷小量，给出以下四个命题：
① 若

α (x) \sim β (x)

，则

α^{2} (x) \sim β^{2} (x)

；
② 若

α^{2} (x) \sim β^{2} (x)

，则

α (x) \sim β (x)

；
③ 若

α (x) \sim β (x)

，则

α (x) - β (x) = o (α (x))

；
④ 若

α (x) - β (x) = o (α (x))

，则

α (x) \sim β (x)

.
其中所有真命题的序号是（　　）

A①③
B①④
C①③④
D②③④

2022 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

x \to 0 lim (\frac{1 + e ^{x}}{2})^{c o t x} =

______.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

x \to 0 lim \frac{tan 2 x}{sin 5 x} =

（）。

A $\frac{2}{5}$
B $\frac{5}{2}$
C $1$
D $\frac{2}{7}$

练习 2 · 选择题

x \to 0 lim \frac{e ^{x^{2}} - 1}{1 - cos x} =

（）。

A $2$
B $\frac{1}{2}$
C $1$
D $0$

练习 3 · 填空题

x \to 0 lim \frac{arcsin 3 x}{x} =

____。

练习 4 · 填空题

x \to 0 lim \frac{3 1 + x - 1}{x} =

____。

练习 5 · 选择题

当

x \to 0

时，

1 + 2 x - 3 1 + 3 x

是关于

x

的（　　）

A一阶无穷小
B二阶无穷小，且与 $\frac{1}{2} x^{2}$ 等价
C二阶无穷小，且与 $- \frac{1}{2} x^{2}$ 等价
D三阶无穷小

练习 6 · 填空题

x \to 0 lim \frac{3 1 + x ^{2} - 1}{cos x - 1} =

____。

练习 7 · 解答题

设

f (x) = e^{x} - \frac{1 + a x}{1 + b x}

。已知当

x \to 0

时

f (x)

是

x

的三阶无穷小，求常数

a, b

，并求

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{3}}

。

2021 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

当

x \to 0

时，

\int_{0}^{x^{2}} (e^{t^{3}} - 1) d t

是

x^{7}

的（　　）。

A低阶无穷小。
B等价无穷小。
C高阶无穷小。
D同阶但非等价无穷小。

2020 年 · 数三 · 第 15 题 · 解答题 · 10 分

已知

a, b

为常数，若

(1 + \frac{1}{n})^{n} - e

与

\frac{b}{n ^{a}}

在

n \to \infty

时是等价无穷小，求

a, b

等价无穷小替换

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 为什么乘除中可以作等价替换：趋于 1 的因子可以整体分离出去★ 要懂

2. 加减中为什么会出错：主项相消，应先化为乘积或改用泰勒公式★★ 必会

3. 常用等价关系表中的 □ 可代表任意式子：只要 □→0 就成立，趋近过程不符则失效★★ 必会

4. 三个常用的差式等价关系，它们来自泰勒展开中首项抵消后的最低阶项★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 为什么乘除中可以作等价替换：趋于 $1$ 的因子可以整体分离出去★ 要懂

3. 常用等价关系表中的 $□$ 可代表任意式子：只要 $□ \to 0$ 就成立，趋近过程不符则失效★★ 必会