等价无穷小替换

§1.6 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

1.70 分/卷近 11 年平均

9/11 年出现年份

2.9 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）无穷小与无穷大、阶的比较函数的极限③ 掌握后可解锁极限的计算方法综合

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 乘除运算中为什么可以作等价替换：极限为 $1$ 的因子不影响结果★ 要懂

等价无穷小替换之所以能在乘法与除法中自由使用，原因在于：如果

α \sim α^{'}

，那么

\frac{α}{α ^{'}} \to 1

。在求极限时，一个极限为

1

的因子不影响结果，可以整体地分离出去。因此替换只能对处在乘或除位置上的整个因子进行，替换以后该量仍须处在乘或除的位置上。

证明 / 推导

证明替换定理（除型）. 设

α \sim α^{'}, β \sim β^{'}

，即

\frac{α}{α ^{'}} \to 1, \frac{β ^{'}}{β} \to 1

。把商分解成三个因子之积：

\frac{α}{β} = \to 1 \frac{α}{α ^{'}} \cdot \frac{α ^{'}}{β ^{'}} \cdot \to 1 \frac{β ^{'}}{β} .

如果

lim \frac{α ^{'}}{β ^{'}}

存在，那么取极限时首尾两个因子都等于

1

，于是

lim \frac{α}{β} = lim \frac{α ^{'}}{β ^{'}}

。

■

2. 加减运算中为什么不能逐项替换：主项相消，应先分解成乘积或改用泰勒公式★★ 必会

在加减运算中逐项替换是一种常见的错误。等价无穷小只保证两个量的首项相同，如果相减的两项主项恰好相消，那么真正决定极限的高阶信息就被丢掉了。判别的办法是：如果相减的两项等价（此时

lim \frac{α}{β} = 1

，主项相消），那么不能逐项替换；如果两项不等价，主项不会相消，此时

α - β \sim α^{'} - β^{'}

是成立的。处理这类极限有两种办法：一是把差分解成乘积，再对各个因子作替换；二是直接用泰勒公式展开，后一种办法总是可靠的。

证明 / 推导

范例： $x \to 0 lim \frac{tan x - sin x}{x ^{3}}$ 。 如果把

tan x, sin x

都换成

x

，那么分子变为

0

，从而得到错误的结果

0

。正确的做法是先把分子分解成乘积：

tan x - sin x = \frac{sin x}{cos x} - sin x = sin x \cdot \frac{1 - cos x}{cos x} .

化成乘积以后，各个因子就可以分别替换（

sin x \sim x

，

1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}

，

cos x \to 1

），于是

x \to 0 lim \frac{sin x ( 1 - cos x )}{x ^{3} cos x} = x \to 0 lim \frac{x \cdot \frac{1}{2} x ^{2}}{x ^{3}} = \frac{1}{2} .

如果误用逐项替换，将得到

0

，与正确结果完全不同。

■

3. 常用等价无穷小表中的 $□$ 可以代表任何式子：只要 $□ \to 0$ 就成立，趋向过程不符时便不再适用★★ 必会

把等价无穷小表中的

x

换成任何趋于

0

的式子

□

都成立：

□ \sim sin □ \sim tan □ \sim arcsin □ \sim arctan □ \sim ln (1 + □) \sim e^{□} - 1

，

1 - cos □ \sim \frac{1}{2} □^{2}

，

(1 + □)^{a} - 1 \sim a □ (a \neq = 0)

，

a^{□} - 1 \sim □ ln a

。这里的前提是 $□ \to 0$ ：

sin x \sim x

只在

x \to 0

时成立；当

x \to \infty

时

sin x

不能作这种替换。换元

t = \frac{1}{x}

也不能补救。它只把

sin x

变成

sin \frac{1}{t}

，正弦号内的式子仍不趋于

0

。适合换元的是

sin \frac{1}{x}

这类式子。当

x \to \infty

时

\frac{1}{x} \to 0

，故有

sin \frac{1}{x} \sim \frac{1}{x}

。此外，系数不能记错：

1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}

（其中含有因子

\frac{1}{2}

），

(1 + x)^{a} - 1 \sim a x

（系数是

a

）。

证明 / 推导

证. 表中每一条的推广都可以归结为下面的命题，先把它证出来。

命题. 设

u \to 0

时

f (u) \sim g (u)

。又设

x \to x_{0}

时

φ (x) \to 0

，且在

x_{0}

的某个去心邻域内

φ (x) \neq = 0

。那么

x \to x_{0}

时

f (φ (x)) \sim g (φ (x))

。

证. 按等价无穷小的定义，

u \to 0 lim \frac{f ( u )}{g ( u )} = 1

。故任给

ε > 0

，存在

η > 0

，使当

0 < ∣ u ∣ < η

时

\frac{f ( u )}{g ( u )} - 1 < ε .

又由

φ (x) \to 0

，对上面这个

η

，存在

δ > 0

，使当

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

时

∣ φ (x) ∣ < η

。再把

δ

缩小，使这一范围落在前述去心邻域内，于是还有

φ (x) \neq = 0

。两者合起来即

0 < ∣ φ (x) ∣ < η

。把

u = φ (x)

代入上式，得

\frac{f ( φ ( x ))}{g ( φ ( x ))} - 1 < ε (0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ) .

按定义即得

x \to x_{0} lim \frac{f ( φ ( x ))}{g ( φ ( x ))} = 1

，也就是

f (φ) \sim g (φ)

。

由此可以看清

□ \to 0

这个前提用在何处。只有当

□

落进

0 < ∣ u ∣ < η

的范围，才谈得上援用

u \to 0

时的等价无穷小。如果

□

不趋于

0

，这一步就无从进行。以

x \to \infty

时的

sin x

为例，因

∣ sin x ∣ \leq 1

而

∣ x ∣ \to + \infty

，比值

\frac{sin x}{x}

趋于

0

而不是

1

，可见此时

sin x \sim x

确实不成立。上述命题对

x \to \infty

、

x \to x_{0}^{+}

、

x \to x_{0}^{-}

等各种趋向过程同样适用，只须把

δ

邻域换成相应的邻域。

■

举例说明

例. 求

x \to \infty lim x^{2} ln (1 + \frac{1}{x ^{2}})

。
解. 令

□ = \frac{1}{x ^{2}} \to 0

，则

ln (1 + □) \sim □

，即

ln (1 + \frac{1}{x ^{2}}) \sim \frac{1}{x ^{2}}

。于是

x \to \infty lim x^{2} ln (1 + \frac{1}{x ^{2}}) = x \to \infty lim x^{2} \cdot \frac{1}{x ^{2}} = 1.

这里的替换之所以成立，正是因为

□ \to 0

（虽然此时

x \to \infty

）。

4. 三个差式的高阶等价无穷小（考研常用），它们来自泰勒展开中首项抵消后的最低次项★★ 必会

遇到主项相消的差式时，如果不便作因式分解，可以直接使用下面三个高阶等价关系：

x - sin x \sim \frac{1}{6} x^{3}, tan x - x \sim \frac{1}{3} x^{3}, x - ln (1 + x) \sim \frac{1}{2} x^{2} .

它们的来源，是把各个函数按泰勒公式展开到首项抵消后的最低次项：

sin x = x - \frac{1}{6} x^{3} + \dots \Rightarrow x - sin x = \frac{1}{6} x^{3} + \dots

；

tan x = x + \frac{1}{3} x^{3} + \dots \Rightarrow tan x - x = \frac{1}{3} x^{3} + \dots

；

ln (1 + x) = x - \frac{1}{2} x^{2} + \dots \Rightarrow x - ln (1 + x) = \frac{1}{2} x^{2} + \dots

。

证明 / 推导

证. 先证一条一般的命题：如果当

x \to 0

时

f (x) = a x^{n} + o (x^{n})

，其中

a \neq = 0

，那么

f (x) \sim a x^{n}

。事实上

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{a x ^{n}} = x \to 0 lim (1 + \frac{o ( x ^{n} )}{a x ^{n}}) = 1 + 0 = 1,

按等价无穷小的定义即得所要的结论。可见只要把函数展开到第一个不为零的项，那一项就是它的等价无穷小。上面三个高阶等价式中的系数都是这样得来的。

补出 $tan x$ 的展开式.

sin x

与

ln (1 + x)

的展开是麦克劳林公式的直接结果。

tan x

的展开则需另行推导。由

sin x cos x = x - \frac{1}{6} x^{3} + o (x^{3}) = 1 - \frac{1}{2} x^{2} + o (x^{2})

以及当

u \to 0

时

\frac{1}{1 - u} = 1 + u + o (u)

，取

u = \frac{1}{2} x^{2} + o (x^{2})

，得

\frac{1}{cos x} = 1 + \frac{1}{2} x^{2} + o (x^{2}) .

两式相乘，并注意

x \cdot o (x^{2}) = o (x^{3})

，得

tan x = sin x \cdot \frac{1}{cos x} = x + (\frac{1}{2} - \frac{1}{6}) x^{3} + o (x^{3}) = x + \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3}) .

于是

tan x - x = \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3})

，由前面的一般命题即得

tan x - x \sim \frac{1}{3} x^{3}

。

成立的范围. 这三式都由

x \to 0

处的展开得来，因而只在

x \to 0

时成立。若改为

x \to a (a \neq = 0)

或

x \to \infty

，展开的中心就变了，结论不再适用。还须注意式中的系数

\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}

不能丢。常用表里的

sin x \sim x

一类系数为

1

。这里的系数不是

1

，漏掉就会算错。

■

举例说明

例. 求

x \to 0 lim \frac{x - ln ( 1 + x )}{x ^{2}}

与

x \to 0 lim \frac{tan x - x}{x - sin x}

。
解. 对于前一个极限，

x - ln (1 + x) \sim \frac{1}{2} x^{2}

，故极限

= lim \frac{\frac{1}{2} x ^{2}}{x ^{2}} = \frac{1}{2}

。
对于后一个极限，分子

tan x - x \sim \frac{1}{3} x^{3}

，分母

x - sin x \sim \frac{1}{6} x^{3}

，故极限

= \frac{1/3}{1/6} = 2

。

💡 小知识

等价无穷小其实就是泰勒展开只留第一项的省力版，它把复杂函数在

0

附近换成最简单的单项式，抓住主要部分而放过次要部分。熟练的人做极限题几乎不写泰勒展开，全靠一张等价表加上因式分解，快得像在心算。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{tan 2 x}

。难度 1

解. 整个式子是乘除结构，可对因子分别做等价替换。当

x \to 0

时

3 x \to 0

、

2 x \to 0

，故

sin 3 x \sim 3 x, tan 2 x \sim 2 x .

于是

x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{tan 2 x} = x \to 0 lim \frac{3 x}{2 x} = \frac{3}{2} .

例 2 求

x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x sin x}

。难度 1

解. 分子分母都是无穷小，是纯乘除，可整体替换。当

x \to 0

：

1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}, sin x \sim x \Rightarrow x sin x \sim x \cdot x = x^{2} .

故

x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x sin x} = x \to 0 lim \frac{\frac{1}{2} x ^{2}}{x ^{2}} = \frac{1}{2} .

（注意系数

\frac{1}{2}

不能丢。）

例 3 求

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + 2 x )}{e ^{3 x} - 1}

。难度 2

解. 乘除结构，用等价无穷小表（把

x

换成

\to 0

的式子

□

）：

ln (1 + □) \sim □ \Rightarrow ln (1 + 2 x) \sim 2 x;

e^{□} - 1 \sim □ \Rightarrow e^{3 x} - 1 \sim 3 x .

于是

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + 2 x )}{e ^{3 x} - 1} = x \to 0 lim \frac{2 x}{3 x} = \frac{2}{3} .

例 4 求

x \to 0 lim \frac{x - sin x}{x ^{3}}

。难度 2

解. 分子是「无穷小之差」，主项会相消——若把

sin x

换成

x

得分子

x - x = 0

，是错误的（会算出

0

）。此时应使用「差」的进阶等价：

x - sin x \sim \frac{1}{6} x^{3} (x \to 0),

它来自泰勒展开

sin x = x - \frac{1}{6} x^{3} + o (x^{3})

，故

x - sin x = \frac{1}{6} x^{3} + o (x^{3})

。于是

x \to 0 lim \frac{x - sin x}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{\frac{1}{6} x ^{3}}{x ^{3}} = \frac{1}{6} .

教训：加减中主项相消时，禁止逐项替换，改用进阶等价或泰勒。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

已知当

x \to 0

时，

a x^{2} + b x + arcsin x

与

3 1 + x^{2} - 1

是等价无穷小，则（　　）

A $a = \frac{1}{3}, b = - 1$
B $a = \frac{1}{3}, b = 1$
C $a = \frac{2}{3}, b = - 1$
D $a = \frac{2}{3}, b = 1$

2025 年 · 数二 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x), g (x)

在

x = 0

的某去心邻域内有定义且恒不为零。若当

x \to 0

时，

f (x)

是

g (x)

的高阶无穷小，则当

x \to 0

时，（　　）

A $f (x) + g (x) = o (g (x))$
B $f (x) g (x) = o (f^{2} (x))$
C $f (x) = o (e^{g (x)} - 1)$
D $f (x) = o (g^{2} (x))$

2023 年 · 数二 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

当

x \to 0

时，函数

f (x) = a x + b x^{2} + ln (1 + x)

与

g (x) = e^{x^{2}} - cos x

是等价无穷小，则

ab =

___。

2022 年 · 数二 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

当

x \to 0

时，

α (x), β (x)

是非零无穷小量，给出以下四个命题：

① 若

α (x) \sim β (x)

，则

α^{2} (x) \sim β^{2} (x)

；

② 若

α^{2} (x) \sim β^{2} (x)

，则

α (x) \sim β (x)

；

③ 若

α (x) \sim β (x)

，则

α (x) - β (x) = o (α (x))

；

④ 若

α (x) - β (x) = o (α (x))

，则

α (x) \sim β (x)

.

其中所有真命题的序号是（　　）

A①③.
B①④.
C①③④.
D②③④.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

x \to 0 lim \frac{tan 2 x}{sin 5 x} =

（）。

A $\frac{2}{5}$
B $\frac{5}{2}$
C $1$
D $\frac{2}{7}$

练习 2 · 选择题

x \to 0 lim \frac{e ^{x^{2}} - 1}{1 - cos x} =

（）。

A $2$
B $\frac{1}{2}$
C $1$
D $0$

练习 3 · 填空题

x \to 0 lim \frac{arcsin 3 x}{x} =

____。

练习 4 · 填空题

x \to 0 lim \frac{3 1 + x - 1}{x} =

____。

练习 5 · 选择题

当

x \to 0

时，

cos x - 1 - x^{2}

是

x

的（　）

A二阶无穷小
B三阶无穷小
C四阶无穷小
D六阶无穷小

练习 6 · 填空题

x \to 0 lim \frac{e ^{t a n x} - e ^{x}}{x ^{3}} =

____。

练习 7 · 解答题

设常数

a

使极限

A = x \to 0 lim \frac{sin 2 x + a x cos 2 x}{x ^{3}}

存在且不为零。

(1) 求

a

与

A

；

(2) 在 (1) 所得的

a

之下，求

x \to 0 lim (1 + \frac{sin 2 x + a x cos 2 x}{x})^{\frac{1}{x ^{2}}} .

2021 年 · 数二 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

当

x \to 0

时，

\int_{0}^{x^{2}} (e^{t^{3}} - 1) d t

是

x^{7}

的（　　）

A低阶无穷小
B等价无穷小
C高阶无穷小
D同阶但非等价无穷小

2020 年 · 数二 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

当

x \to 0^{+}

时，下列无穷小量中最高阶的是（　　）

A $\int_{0}^{x} (e^{t^{2}} - 1) d t$
B $\int_{0}^{x} ln (1 + t^{3}) d t$
C $\int_{0}^{s i n x} sin t^{2} d t$
D $\int_{0}^{1 - c o s x} sin^{3} t d t$

等价无穷小替换

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 乘除运算中为什么可以作等价替换：极限为 1 的因子不影响结果★ 要懂

2. 加减运算中为什么不能逐项替换：主项相消，应先分解成乘积或改用泰勒公式★★ 必会

3. 常用等价无穷小表中的 □ 可以代表任何式子：只要 □→0 就成立，趋向过程不符时便不再适用★★ 必会

4. 三个差式的高阶等价无穷小（考研常用），它们来自泰勒展开中首项抵消后的最低次项★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 乘除运算中为什么可以作等价替换：极限为 $1$ 的因子不影响结果★ 要懂

3. 常用等价无穷小表中的 $□$ 可以代表任何式子：只要 $□ \to 0$ 就成立，趋向过程不符时便不再适用★★ 必会