极限的计算方法综合

§1.8 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

3.56 分/卷近 11 年平均

10/11 年出现年份

3.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）等价无穷小替换两个重要极限无穷小与无穷大、阶的比较

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 极限计算的一般次序：代入 $\to$ 判定类型 $\to$ 化简 $\to$ 选定方法★★ 必会

极限的题目形式多样，但计算的次序是固定的，不必逐个记忆各种特殊做法：① 先代入，若不是未定式便直接得出结果，在连续点处可以直接代入；② 判定类型，分清

\frac{0}{0}

、

\frac{\infty}{\infty}

、

0 \cdot \infty

、

\infty - \infty

、

1^{\infty}

、

0^{0}

、

\infty^{0}

七种；③ 先化简，凡是能约分、能有理化、能提出公因子、能拆出极限存在的因子的，都先做，做完往往就简单了；④ 选定方法，

\frac{0}{0} / \frac{\infty}{\infty}

型用等价无穷小（只限乘除）、洛必达法则或泰勒公式，

1^{\infty}

型用

e^{l i m v (u - 1)}

，幂指函数则取对数。归纳起来就是：能换先换，能约先约，然后再用洛必达法则或泰勒公式。

举例说明

例. 求

x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{1/3} - 1}{sin x} \cdot \frac{x}{e ^{x} - 1}

。
解. 先把极限存在的部分拆开分别计算：第一个因子的分子与分母

\sim \frac{1}{3} x

与

x

，故它的极限为

\frac{1}{3}

；第二个因子

\frac{x}{e ^{x} - 1} \to 1

。所以原式

= \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}

。先拆开再计算，就避免了对整个复杂式子反复求导。

2. 洛必达法则的三处易错：必须验证类型、法则失效 $\neq =$ 原极限不存在、数列极限不能直接使用★ 要懂

洛必达法则只对

\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}

型的未定式有效，而误用的情形很多：① 对非未定式使用（例如

\frac{1}{0}

型，求导会得出错误结果）；② 每次求导以前必须重新验证仍是 $\frac{0}{0} / \frac{\infty}{\infty}$ 型；③ 如果 $lim \frac{f ^{'}}{g ^{'}}$ 不存在（例如出现振荡），只能说明洛必达法则在此失效，不能据此断言原极限不存在；④ 数列极限不能直接使用洛必达法则，因为数列不可导，必须先化为函数极限。此外，含

sin x, cos x

的振荡项在

x \to \infty

时用洛必达法则常常无效，应改用有界量与无穷小之积的性质，或者夹逼准则。

证明 / 推导

法则失效 $\neq =$ 原极限不存在的一个反例. 考察

x \to \infty lim \frac{x + sin x}{x}

。显然

= x \to \infty lim (1 + \frac{sin x}{x}) = 1 + 0 = 1

（有界量

\times

无穷小），极限存在。但若使用洛必达法则，

\frac{( x + sin x ) ^{'}}{x ^{'}} = \frac{1 + cos x}{1} = 1 + cos x

，当

x \to \infty

时无极限。由此可见，用洛必达法则后极限不存在，并不能反过来断言原极限不存在，本例中只是法则失效而已。

■

3. 其余各种未定式的化归： $0 \cdot \infty$ 、 $\infty - \infty$ 、幂指型都化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ ★★ 必会

不是分式的未定式，要先化为分式再计算。 $0 \cdot \infty$ 型，把其中一个因子取倒数，化为

\frac{0}{0}

或

\frac{\infty}{\infty}

，其中把求导以后较简单的那个放在分母； $\infty - \infty$ 型，用通分（分式之差）、有理化（根式之差）或提出最高次因子来处理； $1^{\infty}, 0^{0}, \infty^{0}$ 型，取对数

u^{v} = e^{v l n u}

，化为

0 \cdot \infty

型，再计算

v ln u

，最后取指数还原。

举例说明

例. 求

x \to 1 lim (\frac{1}{ln x} - \frac{1}{x - 1})

。
解. 这是

\infty - \infty

型，先通分：

\frac{1}{ln x} - \frac{1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) - ln x}{ln x ( x - 1 )} .

令

t = x - 1 \to 0

，并利用

ln (1 + t) = t - \frac{1}{2} t^{2} + o (t^{2})

，得分子

= t - ln (1 + t) = \frac{1}{2} t^{2} + o (t^{2})

，分母

= ln (1 + t) \cdot t \sim t \cdot t = t^{2}

。故所求极限

= \frac{\frac{1}{2} t ^{2}}{t ^{2}} = \frac{1}{2}

。

4. 泰勒公式、等价无穷小与洛必达法则：如何选用最为省力★★ 必会

这三种方法各有适用的场合。等价无穷小适用于纯粹的乘除因子，最为迅速，但用于加减时必须谨慎；泰勒公式适用于加减型（主项互相抵消）的情形，或者洛必达法则越求越繁的情形，只要展开到分子分母不再抵消的最低阶即可；洛必达法则适用于形式规整的

\frac{0}{0} / \frac{\infty}{\infty}

型，但每一步都要验证类型，而且求导可能越来越复杂。一般来说，凡是出现

e^{x}, sin x, ln (1 + x)

而又有互相抵消的结构时，优先用泰勒公式；纯乘除的先用等价无穷小；两者都不便时再用洛必达法则。

举例说明

例. 求

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1 - x}{x ^{2}}

，并比较三种方法。
解. 用泰勒公式最快：

e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + o (x^{2})

，分子

= \frac{1}{2} x^{2} + o (x^{2})

，故极限

= \frac{1}{2}

。用洛必达法则要连用两次：

lim \frac{e ^{x} - 1}{2 x} = lim \frac{e ^{x}}{2} = \frac{1}{2}

（每一步都要验证仍是

\frac{0}{0}

型）。等价无穷小在此不便直接使用，因为分子是差式，主项互相抵消。三种方法得到同一结果

\frac{1}{2}

，其中以泰勒公式最为简洁。

💡 小知识

洛必达法则其实出自他的老师约翰·伯努利之手。洛必达侯爵花钱买断了伯努利的部分数学发现，把它们写进自己 1696 年出版的教科书，法则从此以他的名字流传下来，成了数学史上一桩有名的冠名权公案。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

x \to + \infty lim (x^{2} + x - x)

。难度 1

解. 这是

\infty - \infty

型，根式差用有理化（分子分母同乘共轭）：

x^{2} + x - x = \frac{( x ^{2} + x ) - x ^{2}}{x ^{2} + x + x} = \frac{x}{x ^{2} + x + x} .

分子分母同除

x

（

x > 0

时

x^{2} + x = x 1 + \frac{1}{x}

）：

= \frac{1}{1 + \frac{1}{x} + 1} x \to + \infty \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} .

例 2 求

x \to 0^{+} lim x ln x

。难度 2

解.

0 \cdot (- \infty)

型，把一个因子取倒数化为

\frac{\infty}{\infty}

，再用洛必达：

x ln x = \frac{ln x}{1/ x} (当 x \to 0^{+} 为 \frac{- \infty}{+ \infty}) .

对分子分母求导：

x \to 0^{+} lim \frac{ln x}{1/ x} = L’H x \to 0^{+} lim \frac{1/ x}{- 1/ x ^{2}} = x \to 0^{+} lim (- x) = 0.

故

x \to 0^{+} lim x ln x = 0

。（记住：取倒数时选「求导后更简单」的那个因子放到分母。）

例 3 求

x \to 0^{+} lim x^{x}

。难度 2

解.

0^{0}

型幂指函数，标准套路是取对数：设

y = x^{x}

，则

ln y = x ln x

。

由上一题

x \to 0^{+} lim x ln x = 0

，故

x \to 0^{+} lim ln y = 0

。再取指数还原：

x \to 0^{+} lim x^{x} = x \to 0^{+} lim e^{l n y} = e^{0} = 1.

（幂指型

u^{v}

一律「取对数求

v ln u

的极限，再取指数」。）

例 4 求

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x ) - x}{x ^{2}}

。难度 2

解.

\frac{0}{0}

型，分子是「函数

-

其低阶项」的抵消结构，用泰勒最快。将

ln (1 + x)

展开到二阶：

ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2}) .

故分子

ln (1 + x) - x = - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})

，于是

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x ) - x}{x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{- \frac{1}{2} x ^{2} + o ( x ^{2} )}{x ^{2}} = - \frac{1}{2} .

（也可用进阶等价

x - ln (1 + x) \sim \frac{1}{2} x^{2}

直接得

- \frac{1}{2}

。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 12 题 · 填空题 · 5 分

x \to 0 lim (\frac{1}{x} - \frac{ln ( 1 + x )}{x sin x}) =

___。

2025 年 · 数二 · 第 12 题 · 填空题 · 5 分

曲线

y = 3 x^{3} - 3 x^{2} + 1

的渐近线方程为 ___。

2025 年 · 数二 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} [ln \frac{1}{n} + 2 ln \frac{2}{n} + \dots + (n - 1) ln \frac{n - 1}{n}] =

___。

2025 年 · 数二 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

设函数

f (x)

在

x = 0

处连续，且

x \to 0 lim \frac{x f ( x ) - e ^{2 s i n x} + 1}{ln ( 1 + x ) + ln ( 1 - x )} = - 3

，证明

f (x)

在

x = 0

处可导，并求

f^{'} (0)

。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

x \to \infty lim \frac{3 x ^{2} - x}{2 x ^{2} + 1} =

（）。

A $\frac{3}{2}$
B $0$
C $\frac{2}{3}$
D $\infty$

练习 2 · 选择题

x \to 0 lim \frac{tan x - x}{x ^{3}} =

（）。

A $\frac{1}{3}$
B $\frac{1}{6}$
C $0$
D $\frac{1}{2}$

练习 3 · 填空题

x \to + \infty lim (x^{2} + 2 x - x) =

____。

练习 4 · 填空题

x \to 0 lim (cos x)^{1/ x^{2}} =

____。

练习 5 · 选择题

已知

x \to 0 lim \frac{e ^{x^{2}} - cos x - a x ^{2}}{x ^{4}} = b

，其中

b

为非零常数，则（）。

A $a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{24}$
B $a = \frac{3}{2}, b = \frac{13}{24}$
C $a = \frac{1}{2}, b = \frac{11}{24}$
D $a = \frac{3}{2}, b = \frac{11}{24}$

练习 6 · 填空题

x \to 0 lim \frac{tan x - sin x}{x ^{2} ln ( 1 + x )} =

____。

练习 7 · 解答题

设

f (x)

在

x = 0

处二阶可导，且

f (0) = 0

，

f^{'} (0) = 1

，

f^{''} (0) = 2

。求

x \to 0 lim (\frac{1}{ln ( 1 + x )} - \frac{1}{f ( x )})

。

2021 年 · 数二 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

求极限

x \to 0 lim (\frac{1 + \int _{0}^{x} e ^{t^{2}} d t}{e ^{x} - 1} - \frac{1}{sin x})

。

2019 年 · 数二 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

x \to 0 lim (x + 2^{x})^{\frac{2}{x}} =

___。

极限的计算方法综合

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 极限计算的一般次序：代入 → 判定类型 → 化简 → 选定方法★★ 必会

2. 洛必达法则的三处易错：必须验证类型、法则失效 = 原极限不存在、数列极限不能直接使用★ 要懂

3. 其余各种未定式的化归：0⋅∞、∞−∞、幂指型都化为 00​ 或 ∞∞​★★ 必会

4. 泰勒公式、等价无穷小与洛必达法则：如何选用最为省力★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 极限计算的一般次序：代入 $\to$ 判定类型 $\to$ 化简 $\to$ 选定方法★★ 必会

2. 洛必达法则的三处易错：必须验证类型、法则失效 $\neq =$ 原极限不存在、数列极限不能直接使用★ 要懂

3. 其余各种未定式的化归： $0 \cdot \infty$ 、 $\infty - \infty$ 、幂指型都化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ ★★ 必会