多元函数的极限与连续

§4.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.11 分/卷近 11 年平均

1/11 年出现年份

2.8 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）函数的极限函数的连续性与间断点③ 掌握后可解锁偏导数

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 二重极限要求动点沿任意路径趋近，路径法只能否定极限的存在，不能肯定★★ 必会

二重极限

lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} f = A

要求动点在整个平面邻域内以任意方式趋于

(x_{0}, y_{0})

时，

f

都趋于同一个数

A

。在平面上通往一点的路径有无穷多条，如直线、抛物线、螺旋线等等，这个要求远比一元情形只考虑左、右两侧来得严格。由此得到一条常用的判别方法：如果极限存在且等于

A

，那么沿任何一条路径的极限都必须是

A

。反过来用它的逆否命题：只要找出两条路径给出不同的极限值，或者沿某条路径的极限不存在，就可以断定二重极限不存在。因此，沿若干条直线所得的极限都相等，并不能证明极限存在，路径法只能用于否定。

证明 / 推导

定理（沿路径取极限） 设

(x, y) \to (x_{0}, y_{0}) lim f (x, y) = A

。又设曲线

x = φ (t)

，

y = ψ (t)

当

t \to t_{0}

时趋于点

P_{0} (x_{0}, y_{0})

，且在

t_{0}

的某个去心邻域内曲线上的点都不与

P_{0}

重合。那么

t \to t_{0} lim f (φ (t), ψ (t)) = A .

证对任给的

ε > 0

，由二重极限的定义，存在

δ > 0

，使当

0 < (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} < δ

时有

∣ f (x, y) - A ∣ < ε

。记

ρ (t) = (φ (t) - x_{0})^{2} + (ψ (t) - y_{0})^{2} .

由

φ (t) \to x_{0}

与

ψ (t) \to y_{0}

知

ρ (t) \to 0

，故存在

η_{1} > 0

，使当

0 < ∣ t - t_{0} ∣ < η_{1}

时

ρ (t) < δ

。又由假设，存在

η_{2} > 0

，使当

0 < ∣ t - t_{0} ∣ < η_{2}

时

ρ (t) > 0

。取

η = min {η_{1}, η_{2}}

，则当

0 < ∣ t - t_{0} ∣ < η

时有

0 < ρ (t) < δ

，于是点

(φ (t), ψ (t))

落在上述去心邻域内，从而

f (φ (t), ψ (t)) - A < ε .

按极限的定义，这就证明了沿该曲线的极限也等于

A

。

■

与一元情形的比较. 在数轴上，

x

趋于

x_{0}

只有从左、从右两种方式。任何趋近方式都归入这两类之一。所以左极限与右极限相等，就足以保证极限存在。在平面上，动点趋于

P_{0}

的方式无法归成有限的几类，直线族

y = k (x - x_{0})

连同

x = x_{0}

也只是其中的一族。因此平面上没有与左右极限相当的有限判据，验证若干条路径只得到必要条件。

举例说明

考察

f (x, y) = \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}

在原点处的极限。沿直线

y = k x

趋于原点时，

f (x, k x) = \frac{x \cdot k x}{x ^{2} + k ^{2} x ^{2}} = \frac{k}{1 + k ^{2}},

所得结果依赖于斜率

k

：当

k = 0

时为

0

，当

k = 1

时为

\frac{1}{2}

。可见沿每一条直线极限都存在，但极限值随方向而改变，所以二重极限不存在。这也提醒我们，即使沿所有直线方向的极限都相等，仍不足以断定二重极限存在，因为还可能有抛物线之类的曲线路径给出别的极限值。

2. 证明极限存在的两种方法：夹逼法与极坐标法，所得上界必须与方向无关★ 要懂

要肯定极限存在，常用两种方法。① 夹逼法：把

∣ f - A ∣

放大成一个与方向无关、且随距离

ρ \to 0

而趋于零的量。② 极坐标法：令

x = x_{0} + r cos θ, y = y_{0} + r sin θ

，如果能证明

∣ f - A ∣ \leq g (r)

且

g (r) \to 0

，其中的上界不含 $θ$ ，那么极限为

A

。这里的要点在于一致：所得的上界必须对一切

θ

同时成立，式中不能残留

θ

。如果只验证对每个固定的

θ

当

r \to 0

时极限为

A

，那就相当于只考察了直线路径，不足以作出结论。

证明 / 推导

证

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}} = 0

。因为

0 \leq \frac{x ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} \leq 1

，所以

\frac{x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}} - 0 = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} ∣ y ∣ \leq ∣ y ∣ \leq x^{2} + y^{2} = ρ .

于是对任意的

ε > 0

，取

δ = ε

，则当

0 < ρ < δ

时上式

< ε

，按定义即知极限为

0

。用极坐标法同样可得：

\frac{( r cos θ ) ^{2} r sin θ}{r ^{2}} = r cos^{2} θ ∣ sin θ ∣ \leq r \to 0

，其上界

r

与

θ

无关，所以极限为

0

。

■

3. 二重极限 $\neq =$ 累次极限，二者互不蕴含

累次极限是先固定一个变量对另一个变量取极限，然后再对前一个变量取极限，例如

lim_{x \to 0} (lim_{y \to 0} f)

；二重极限则是两个变量同时趋近。二者互不保证：(i) 两个累次极限都存在且相等时，二重极限仍可能不存在；(ii) 二重极限存在时，累次极限却可能不存在。考试中常在此处设置疑难，由累次极限相等就断言二重极限存在，是错误的。

证明 / 推导

二者虽然互不蕴含，但在补充一个条件以后，由二重极限可以推出累次极限。

定理. 设二重极限

lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} f (x, y) = A

存在，并且对

x_{0}

的某个去心邻域内的每一个固定的

x

，一元极限

φ (x) = lim_{y \to y_{0}} f (x, y)

都存在。那么累次极限

lim_{x \to x_{0}} lim_{y \to y_{0}} f (x, y)

存在，且等于

A

。

证对任给的

ε > 0

，由二重极限的定义，存在

η > 0

，使得当

0 < (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} < η

时有

∣ f (x, y) - A ∣ < \frac{ε}{2} .

取

δ = \frac{η}{2}

，并固定

x

，使

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

。这时对一切满足

0 < ∣ y - y_{0} ∣ < δ

的

y

，都有

(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} < 2 δ < η

，因而上式成立。在

∣ f (x, y) - A ∣ < \frac{ε}{2}

中令

y \to y_{0}

，由假设左端趋于

∣ φ (x) - A ∣

，再由极限的保序性，得

∣ φ (x) - A ∣ \leq \frac{ε}{2} < ε .

这个不等式对一切满足

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

的

x

都成立，按定义即知

lim_{x \to x_{0}} φ (x) = A

。这就证明了累次极限存在且等于

A

。

■

推论. 如果两个累次极限都存在但不相等，那么二重极限一定不存在。事实上，如果二重极限存在，那么由定理知两个累次极限都等于它，从而彼此相等，与假设矛盾。

这条推论给出了否定二重极限的一个简便办法。例如取

f = \frac{x - y}{x + y}

，在

(0, 0)

处有

x \to 0 lim y \to 0 lim \frac{x - y}{x + y} y \to 0 lim x \to 0 lim \frac{x - y}{x + y} = x \to 0 lim \frac{x}{x} = 1 = y \to 0 lim \frac{- y}{y} = - 1

两个累次极限不相等，故二重极限不存在。必须注意定理的条件之一是二重极限已经存在，所以它不能反过来使用。

举例说明

(i) 取

f = \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}

。由

lim_{y \to 0} f = 0

得

lim_{x \to 0} lim_{y \to 0} f = 0

，同理另一个累次极限也等于

0

，二者相等；但上一要点已经说明它的二重极限不存在。(ii) 取

f = x sin \frac{1}{y} + y sin \frac{1}{x}

。由

∣ f ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \to 0

知二重极限为 $0$ ；但在

lim_{y \to 0} (x sin \frac{1}{y} + y sin \frac{1}{x})

中，

x sin \frac{1}{y}

随

y \to 0

而振荡，没有极限，所以累次极限不存在。这两个例子说明，二重极限与累次极限之间不能相互推出。

4. 连续性的判定：初等函数只看定义区域，分段函数的分界点须回到定义验证；有界闭区域上的最值定理是后续内容的基础

多元初等函数在其定义区域内处处连续，因此求某点的极限或判断某点的连续性时，绝大多数情形只需看该点是否在定义区域内，若在，直接代入即可。真正需要动手计算的是分段函数的分界点，这样的点常常就是原点。此时必须回到定义验证

lim_{(x, y) \to P_{0}} f = f (P_{0})

，先判断极限是否存在，必要时用路径法加以否定，再判断它是否等于该点处的函数值。此外，有界闭区域上的连续函数必有界，且必取得最大值与最小值，这就是最值定理。正是有了它，后面求无条件极值以及比较条件极值的候选点时，才能断定所求的最值一定存在。

举例说明

判断

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}}, 0, (x, y) \neq = (0, 0) (x, y) = (0, 0)

在原点是否连续。由夹逼法得

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}} = 0 = f (0, 0)

，所以

f

在原点连续。与之相比，函数

\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}

（在原点补充定义

f (0, 0) = 0

）在原点的极限不存在，因而在原点不连续。两者的分子与分母同样都是二次齐次式，只因前者的分子多一个因子

x

，比后者高一阶，结果就由不连续变成了连续。由此可见，分界点处的连续性必须严格按定义验证。

💡 小知识

函数

\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}

沿任何一条过原点的直线都有极限，可不同直线上的极限值并不相同，因此它在原点处并没有极限。这个曲面像是在原点被拧成了螺旋，从不同方向走向顶点，看到的海拔各不相同，是多元分析里最著名的反直觉例子。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求极限

(x, y) \to (1, 1) lim \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}

。难度 1

函数

f (x, y) = \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}

是初等函数，在点

(1, 1)

处分母

x^{2} + y^{2} = 2 \neq = 0

，故

f

在该点连续。连续函数求极限可直接代入：

(x, y) \to (1, 1) lim \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{1 \cdot 1}{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{1}{2} .

口诀：在定义区域内的点，初等函数的极限就是函数值，不必绕弯。

例 2 求极限

(x, y) \to (0, 0) lim (x^{2} + y^{2}) sin \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}}

。难度 1

这里

sin \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}}

在原点附近剧烈振荡、没有极限，但它有界：

sin \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}} \leq 1

。用夹逼：

0 \leq (x^{2} + y^{2}) sin \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}} \leq x^{2} + y^{2} .

当

(x, y) \to (0, 0)

时

x^{2} + y^{2} \to 0

，由夹逼定理原式极限为

0

。要点：有界量

\times

无穷小

=

无穷小。

例 3 讨论极限

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}}

是否存在。难度 2

用路径法试探。沿

x

轴（令

y = 0

）趋于原点：

f (x, 0) = \frac{x ^{2} - 0}{x ^{2} + 0} = 1 \to 1.

沿

y

轴（令

x = 0

）趋于原点：

f (0, y) = \frac{0 - y ^{2}}{0 + y ^{2}} = - 1 \to - 1.

两条路径得到的极限

1 \neq = - 1

，故二重极限不存在。注意：路径法只能用来否定极限（找到两条不同值即可）；要肯定极限存在必须对一切路径成立。

例 4 求极限

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}}

。难度 2

先猜极限为

0

（分子比分母‘高一阶’），再用夹逼证明。注意

\frac{x ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} \leq 1

，故

0 \leq \frac{x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} \cdot ∣ y ∣ \leq ∣ y ∣.

当

(x, y) \to (0, 0)

时

∣ y ∣ \to 0

，由夹逼定理极限为

0

。对比：把分子的一个

x

换成

y

得

\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}

，那个就不存在（例3）——分子与分母‘同阶’是危险信号，‘高一阶’才容易压到

0

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2020 年 · 数二 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

关于函数

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ x y, x, y, x y \neq = 0, y = 0, x = 0,

给出以下结论：
①

\frac{\partial f}{\partial x}_{(0, 0)} = 1

；　②

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}_{(0, 0)} = 1

；　③

(x, y) \to (0, 0) lim f (x, y) = 0

；　④

y \to 0 lim x \to 0 lim f (x, y) = 0

。其中正确的个数为（　　）

A $4$
B $3$
C $2$
D $1$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

(x, y) \to (2, 0) lim \frac{sin ( x y )}{y} =

____。

练习 2 · 填空题

(x, y) \to (0, 1) lim \frac{1 - cos ( x y )}{x ^{2}} =

____。

练习 3 · 选择题

下列极限中，不存在的是（　）。

A $(x, y) \to (0, 0) lim \frac{x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}}$
B $(x, y) \to (0, 0) lim \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}$
C $(x, y) \to (0, 0) lim \frac{x ^{3} + y ^{3}}{x ^{2} + y ^{2}}$
D $(x, y) \to (0, 0) lim \frac{sin ( x ^{2} + y ^{2} )}{x ^{2} + y ^{2}}$

练习 4 · 选择题

设

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}, 0, (x, y) \neq = (0, 0), (x, y) = (0, 0),

则

f

在原点处（　）。

A连续
B极限存在但不等于 $f (0, 0)$ ，故不连续
C极限不存在，故不连续
D极限存在且等于 $0$ ，故连续

多元函数的极限与连续

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 二重极限要求动点沿任意路径趋近，路径法只能否定极限的存在，不能肯定★★ 必会

2. 证明极限存在的两种方法：夹逼法与极坐标法，所得上界必须与方向无关★ 要懂

3. 二重极限 = 累次极限，二者互不蕴含

4. 连续性的判定：初等函数只看定义区域，分段函数的分界点须回到定义验证；有界闭区域上的最值定理是后续内容的基础

基础例题

真题精选

随堂练习

3. 二重极限 $\neq =$ 累次极限，二者互不蕴含