多元函数的极限与连续

高等数学 · 多元函数微分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 二元函数：定义域是平面上的一块

一元函数

y = f (x)

的定义域是数轴上的一段；二元函数

z = f (x, y)

的定义域是平面上的一块。

记号照旧：

z = f (x, y)

，自变量那一对

(x, y)

看成平面上的点

P

，所以也写成

z = f (P)

。

求定义域的办法和一元一字不差：圈出有要求的部件，一个部件一行不等式，取交集。

分母 \neq = 0, 根号内 \geq 0, 对数真数 > 0, ∣ 反三角 ∣ \leq 1.

多出来的只有一步：把它画在 $x O y$ 面上。 这一步后面全要用到——
二重积分的上下限是从这块的边界读出来的，判断极限存在要沿这块里的各种路径趋近。

顺带两个说法：以

P_{0}

为心、

δ

为半径的圆的内部，叫

P_{0}

的

δ

邻域；
一块区域连边界一起算叫闭区域，不含边界叫开区域。

2. 二重极限：要求「以任何方式」趋近

记

ρ = ∣ P P_{0} ∣ = (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2}

。当

ρ \to 0

时

f (P)

趋于

A

，就记

(x, y) \to (x_{0}, y_{0}) lim f (x, y) = A .

和一元最大的不同在「路」的条数上。 一元的

x \to x_{0}

只有左右两条路，
查两个单侧极限就查完了；平面上

P \to P_{0}

的路有无穷多条——直线、抛物线、螺线都行，
而定义要求沿其中任何一条趋近，都得到同一个 $A$ 。

这一句话决定了两件事的难易：

要证不存在：找两条路，算出两个不同的值，就够了。

要证存在：几条路都不算数，得回到估计（下一条）。

所以先试着证不存在是常规动作：最省力的两条路是

y = 0

与

y = x

，
更一般的是沿

y = k x

算出一个只含

k

的式子。

3. 会算的那几类：有界量乘无穷小、夹逼、极坐标

一元那套工具大半能搬过来：四则运算、夹逼、等价无穷小（把一整块看成一个无穷小量，
如

x y \to 0

时

sin (x y) \sim x y

）。真正用得最多的是三条：

① 有界量乘无穷小还是无穷小。 看到

sin \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}}

这类有界因子就往这上靠。

② 夹逼。 估出

0 \leq ∣ f ∣ \leq g

且

g \to 0

，则

f \to 0

。

③ 极坐标代换。 令

x = r cos θ

、

y = r sin θ

，则

(x, y) \to (0, 0)

就是

r \to 0

：

∣ f ∣ \leq g (r) \to 0 \Rightarrow lim f = 0.

代换完必须落到一个只含 $r$ 的控制量上，而且这个估计对一切

θ

都成立。
控制量里还留着

θ

，这一步就没做完。

4. 连续：定义与一元一字不差，要验的只有分界点

f

在

P_{0}

连续，指的还是那三件事：

P \to P_{0} lim f (P) = f (P_{0}) .

即

P_{0}

处有定义、极限存在、两者相等。一元的定义照抄，只是极限换成了二重极限。

二元初等函数在它的定义区域内连续。 所以绝大多数题目里连续性不用验，
要验的只有分段定义的那个分界点（通常就是原点）——而那就回到了上一条的算极限。

有界闭区域

D

上的连续函数，有三条性质（一元是闭区间上的那三条）：
有界；取到最大值与最小值；介于最小与最大之间的值都能取到。

前提是「有界 $+$ 闭」，两个字都不能少：

D

不闭（缺边界）或无界时，最值可能取不到。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求定义域：列条件、取交集、画出来

第一步：圈出有要求的部件——分母、根号、对数、反三角。

第二步：一个部件一行不等式，不要在心里合并。

第三步：取交集（公共部分），并画在

x O y

面上。

第四步：标清边界要不要：严格不等号画虚线（不含），带等号画实线（含）。

例例. 求

z = \frac{ln ( 1 - x ^{2} - y ^{2} )}{x - y}

的定义域。

第一步，圈部件：对数一处、偶次根号一处，而且那个根号还站在分母上。

第二步，一个部件一行：

① 真数为正：

1 - x^{2} - y^{2} > 0

，即

x^{2} + y^{2} < 1

；

② 根号非负、又不能为零（它在分母上），两条合起来是

x - y > 0

，即

y < x

。

第三步，取交集：单位圆内部与直线

y = x

下方的那块公共区域。

第四步，标边界。两条都是严格不等号，所以圆周和直线都画虚线，不含在内。

② 若只写成

x - y \geq 0

，直线

y = x

上的点就被算了进来，而那里分母是

0

。

证明二重极限不存在：找两条路

第一步：沿

y = k x

代入，把

f

化成只含

k

的式子（分母同次时一定能化出来）。

第二步：结果与

k

有关，就取两个

k

报两个值，直接写「故极限不存在」。

第三步：结果与

k

无关，不能就此说存在。再试

y = k x^{2}

或

y = x^{3}

这类曲线。

第四步：曲线路也都一样，就转去证存在——改估

∣ f ∣

。

例例. 证明

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}

不存在。

第一步，沿

y = k x

代入：

\frac{x \cdot k x}{x ^{2} + k ^{2} x ^{2}} = \frac{k}{1 + k ^{2}} .

分子分母同是二次，

x

约得干干净净，只剩

k

——这就是「分母同次时一定能化出来」。

第二步，结果与

k

有关：取

k = 0

得

0

，取

k = 1

得

\frac{1}{2}

。两条路两个值，故极限不存在。

第三步，换一个看：

\frac{x ^{2} y}{x ^{4} + y ^{2}}

沿

y = k x

得

\frac{k x}{x ^{2} + k ^{2}} \to 0

，与 $k$ 无关。这时还不能说极限存在。

第四步，再试曲线

y = x^{2}

：

\frac{x ^{2} \cdot x ^{2}}{x ^{4} + x ^{4}} = \frac{1}{2} \neq = 0

。所以它的极限也不存在。

直线路全都相等，只说明「还没否掉」——不是「已经证出存在」。

求二重极限：先代换，再夹逼

第一步：先看整块能不能等价代换（

sin □ \sim □

、

1 - cos □ \sim \frac{1}{2} □^{2}

）。

第二步：找有界因子分出来，剩下的是不是无穷小。

第三步：估

0 \leq ∣ f ∣ \leq g

，其中

g

只含

r

或

x^{2} + y^{2}

这种整块的量。

第四步：写明

g \to 0

，由夹逼得极限。结论要写成

lim f = 0

的完整句子。

例例. 求

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{sin ( x ^{2} y )}{x ^{2} + y ^{2}}

。

第一步，整块代换。

x^{2} y \to 0

，故

sin (x^{2} y) \sim x^{2} y

，原式化为

\frac{x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}}

。

第二步，分出有界因子：

\frac{x ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} \leq 1

是有界的那一块，

y \to 0

是无穷小的那一块。

第三步，估出来：

0 \leq \frac{x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} \cdot ∣ y ∣ \leq ∣ y ∣.

右边只含整块的量，与路径无关——这是这一步要达到的样子。

第四步，

∣ y ∣ \to 0

，由夹逼准则

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{sin ( x ^{2} y )}{x ^{2} + y ^{2}} = 0.

结论写成完整一句，别只甩一个

0

。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

沿几条直线值相同，就断定极限存在

定义要的是一切路径，直线只是其中一小部分。

\frac{x ^{2} y}{x ^{4} + y ^{2}}

沿每条直线都趋于

0

，沿

y = x^{2}

却恒为

\frac{1}{2}

。

「沿直线都一样」只是提示你换个方向去做（去估

∣ f ∣

），它本身不是结论。

把二重极限做成「先 $x$ 后 $y$ 」两次一元极限

x \to 0 lim (y \to 0 lim f)

是先后两步，叫累次极限；
二重极限是两个变量一起趋近。

两者可以一个存在一个不存在，所以累次极限算出来的值不能当二重极限的答案。

动笔时的症状是：写了一句「先令

y = 0

」就往下算——那是在沿

x

轴这一条路上算。

极坐标代换后把 $θ$ 当成常数

换完要得到的是

∣ f ∣ \leq g (r)

，

g

里不许有 $θ$ 。

若化简结果与

r

无关、只含

θ

（如

cos θ sin θ

），
那说明每条射线上是不同的常数，结论是极限不存在。

把它当成「

r \to 0

时它不变，所以极限就是它」是这一节最常见的错。

定义域只写最后一个条件

几个部件各提一个条件，定义域是它们的公共部分。

只抄最后算出来的那一个不会报错——画出来是一块更大的区域，
而二重积分定限、极值问题判定全在这块上做，一步错到底。

动笔时每个条件单独一行，最后写一句「取交集」。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认记号与定义

练 1

函数

z = 1 - x^{2} - y^{2}

的定义域是（）。

A $x^{2} + y^{2} \leq 1$
B $x^{2} + y^{2} < 1$
C $x^{2} + y^{2} \geq 1$
D整个 $x O y$ 面

练 2

设

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

，则

f (x + y, x - y) =

________。

练 3

(x, y) \to (0, 0) lim f (x, y) = A

的含义是（）。

A先对 $x$ 再对 $y$ 取极限，得到 $A$
B沿 $x$ 轴趋近时 $f \to A$
C存在一条路径使 $f \to A$
D沿任何一条路径趋近时都有 $f \to A$

练 4

z = ln (x + y)

的定义域（用不等式写）是 ________。

第二组 · 不存在就找两条路

练 5

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}

（）。

A等于 $0$
B不存在
C等于 $\frac{1}{2}$
D等于 $1$

练 6

沿直线

y = k x

趋于原点时，

\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}}

的极限为 ________（用

k

表示）。

练 7

当

(x, y) \to (0, 0)

时，下列极限存在的是（）。

A $\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}$
B $\frac{x - y}{x + y}$
C $\frac{x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}}$
D $\frac{x ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}}$

练 8

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}} =

________。

第三组 · 算出来与连续

练 9

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{sin ( x ^{2} + y ^{2} )}{x ^{2} + y ^{2}} =

________。

练 10

设

f (x, y) = \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}

（

(x, y) \neq = (0, 0)

），

f (0, 0) = 0

，则

f

在原点（）。

A极限不存在，故不连续
B连续
C极限存在但不等于 $f (0, 0)$
D没有定义

练 11

设

f (x, y) = \frac{x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}}

（

(x, y) \neq = (0, 0)

），

f (0, 0) = 0

，则

f

在原点 ________（填连续或不连续）。

练 12

函数

z = \frac{1}{x ^{2} + y ^{2} - 1}

的间断点是（）。

A只有原点
B圆周 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的点
C圆 $x^{2} + y^{2} < 1$ 内的点
D没有间断点

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

多元函数的极限与连续

先打基础

1. 二元函数：定义域是平面上的一块

2. 二重极限：要求「以任何方式」趋近

3. 会算的那几类：有界量乘无穷小、夹逼、极坐标

4. 连续：定义与一元一字不差，要验的只有分界点

常用结构

求定义域：列条件、取交集、画出来

证明二重极限不存在：找两条路

求二重极限：先代换，再夹逼

基础易错

沿几条直线值相同，就断定极限存在

把二重极限做成「先 x 后 y」两次一元极限

极坐标代换后把 θ 当成常数

定义域只写最后一个条件

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

把二重极限做成「先 $x$ 后 $y$ 」两次一元极限

极坐标代换后把 $θ$ 当成常数