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曲面与空间曲线（旋转面、柱面、二次曲面）

高等数学 · 向量代数与空间解析几何

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 球面与柱面：方程缺谁，就沿谁伸展

球面：以

(a, b, c)

为心、

R

为半径，

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2} .

柱面：方程里缺一个变量，就是母线平行于那个轴的柱面。

例如

x^{2} + y^{2} = 1

在空间里不是一个圆，而是一根圆柱面：

z

可以任意取，每一层都是同一个圆。

这条判据最好用：

缺 z 缺 y 缺 x 母线 ∥ z 轴 母线 ∥ y 轴 母线 ∥ x 轴

平面也是特例：

x = 1

缺

y

与

z

，是平行于

y O z

面的平面。

2. 旋转曲面：绕谁转，谁不变

把

y O z

平面上的曲线

f (y, z) = 0

绕

z

轴旋转一周：

f (\pm x^{2} + y^{2}, z) = 0.

口诀：绕谁转，谁不变；另一个变量换成「其余两个的平方和开方」。

绕

y

轴转同理：

y

不变，

z

换成

\pm x^{2} + z^{2}

。

典型结果：

① 直线 $z = y$ 绕 $z$ 轴转

\Rightarrow

z^{2} = x^{2} + y^{2}

，圆锥面；

② 抛物线 $z = y^{2}$ 绕 $z$ 轴转

\Rightarrow

z = x^{2} + y^{2}

，旋转抛物面；

③ 椭圆绕对称轴转

\Rightarrow

旋转椭球面。

3. 几张要认识的二次曲面

考试里出现的曲面就那么几张，认形状比背方程有用。

椭球面

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1

：有界，三个方向都封口。

椭圆抛物面

z = \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}}

：碗形，开口朝

z

正向。

圆锥面

z^{2} = x^{2} + y^{2}

：两个对顶的锥。

单叶双曲面

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1

：腰部收紧的一整张。

认图的办法是截痕法：令

z = k

看水平截线是什么，
再令

y = 0

看竖直截线——两个方向看完，形状就定了。

4. 空间曲线与它在坐标面上的投影

空间曲线的一般式是两张曲面的交线：

{F (x, y, z) = 0, G (x, y, z) = 0.

参数式把三个坐标写成同一个参数的函数，
后面算曲线积分一律用它。

求在 $x O y$ 面上的投影，两步：

① 从方程组里消去 $z$ ，得到一个只含

x, y

的方程

H (x, y) = 0

——
这是投影柱面（母线平行

z

轴）；

② 再补上 $z = 0$ ，才是投影曲线：

{H (x, y) = 0, z = 0.

漏掉 $z = 0$ 是这一节最常见的错：少了它，写出来的是一张曲面，不是曲线。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

认一个方程表示什么

第一步：数变量——缺一个就是柱面，母线平行于那个轴。

第二步：三个变量都在时，看是不是球面或二次曲面的标准形。

第三步：拿不准就用截痕法，令

z = k

与

y = 0

各切一刀。

第四步：注意是在空间里问，别按平面几何的习惯回答。

例例.

x^{2} + y^{2} = 4

在空间里表示什么？

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{9} + z^{2} = 1

呢？

第一步，数变量。第一个方程里没有 $z$

\Rightarrow

柱面，母线平行于

z

轴，准线是

x O y

面上的圆。所以它是一根半径

2

、以

z

轴为轴的圆柱面。

第二步，第二个三个变量都在，对照标准形是椭球面，半轴分别是

2

、

3

、

1

。

第三步，拿不准就截痕。令

z = 0

得椭圆

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{9} = 1

；令

y = 0

得椭圆

\frac{x ^{2}}{4} + z^{2} = 1

——各个方向切出来都是椭圆，确认是椭球面。

第四步，注意题问的是空间里：

x^{2} + y^{2} = 4

在平面几何里是一个圆，在空间里是一张面。这是最容易脱口答错的一处。

求旋转曲面

第一步：认清原曲线在哪个坐标面上、绕哪个轴转。

第二步：转轴对应的那个变量不变。

第三步：另一个变量换成

\pm 其余两个的平方和

。

第四步：化简（平方会消掉正负号），再验一下取值范围是否合理。

例例. 把

y O z

面上的曲线

z = y^{2}

绕

z

轴旋转，求所得曲面。

第一步，曲线在

y O z

面上，绕

z

轴转。

第二步，转轴对应的变量 $z$ 不变。

第三步，另一个变量

y

换成

\pm x^{2} + y^{2}

：

z = (\pm x^{2} + y^{2})^{2} = x^{2} + y^{2} .

第四步，平方把正负号消掉了，得旋转抛物面

z = x^{2} + y^{2}

。验范围：它要求

z \geq 0

，与原曲线

z = y^{2} \geq 0

一致 ✓

换一根轴就换一个答案：同一条

z = y^{2}

绕

y

轴转，不变的是

y

，

z

换成

\pm x^{2} + z^{2}

，得

\pm x^{2} + z^{2} = y^{2}

，即

x^{2} + z^{2} = y^{4}

——完全不同的一张面。

求投影

第一步：从曲线的两个方程里消去要投影掉的那个变量。

第二步：所得方程就是投影柱面。

第三步：补上对应的坐标面方程（投影到

x O y

就补

z = 0

）。

第四步：写成方程组，别漏那一行。

例例. 求曲线

{x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 z = 1

在

x O y

面上的投影。

第一步，投影到

x O y

面，就要消去 $z$ 。把

z = 1

代进球面方程：

x^{2} + y^{2} + 1 = 4

。

第二步，所得的

x^{2} + y^{2} = 3

就是投影柱面。

第三步，补上对应的坐标面方程

z = 0

。

第四步，写成方程组：

{x^{2} + y^{2} = 3 z = 0

那一行 $z = 0$ 不能漏：只写

x^{2} + y^{2} = 3

，说的是空间里一整根无限长的圆柱面；题目要的是

x O y

面上的一个圆。两者差了一个维度，而卷面上只差一行。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把空间里的 $x^{2} + y^{2} = 1$ 当成圆

在空间中它缺 $z$ ，是圆柱面。

平面里才是圆。

先问一句「这是在平面还是空间」，再回答。

投影曲线漏掉 $z = 0$

消元得到的是投影柱面（一张曲面），补上

z = 0

才是投影曲线。

少一行，答案的维数就错了。

写成方程组，两行都要有。

旋转时换错了变量

绕谁转，谁不变。绕

z

轴就只动

y

（或

x

），

z

一字不改。

换的那个变量要写成「其余两个的平方和开方」。

验算：令转轴上的坐标取定值，截出来的应当是圆。

把交线和投影混为一谈

交线在它自己那一层（如

z = 1

），投影在坐标面上（

z = 0

）。

两者的

x, y

关系相同，但第三行不同。

答题时把方程组完整写出来，就不会混。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认曲面

练 1

在空间中，

x^{2} + y^{2} = 1

表示（）。

A圆
B球面
C圆柱面
D圆锥面

练 2

方程

y^{2} + z^{2} = 4

表示母线平行于 ________ 轴的圆柱面。

练 3

z^{2} = x^{2} + y^{2}

表示 ________ 面。

练 4

z = x^{2} + y^{2}

是（）。

A椭球面
B圆柱面
C单叶双曲面
D旋转抛物面

第二组 · 会变换

练 5

y O z

面上的

z = y^{2}

绕

z

轴旋转，所得曲面方程为

z =

________。

练 6

\frac{z ^{2}}{4} - y^{2} = 1

绕

z

轴旋转所得曲面是（）。

A单叶双曲面
B椭球面
C双叶双曲面
D圆锥面

练 7

球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

与

z = 1

的交线，消去

z

后得 ________。

练 8

接上题，该交线在

x O y

面上的投影曲线是（）。

A $x^{2} + y^{2} = 3$
B $x^{2} + y^{2} = 3$ 与 $z = 0$
C $x^{2} + y^{2} = 3$ 与 $z = 1$
D $x^{2} + y^{2} = 4$ 与 $z = 0$

第三组 · 想清楚

练 9

用截痕法判断曲面形状，通常的做法是（）。

A只令 $z = 0$
B求偏导
C只看方程的次数
D令 $z = k$ 看水平截线，再令 $y = 0$ 看竖直截线

练 10

消去空间曲线方程组里的

z

后得到的曲面叫 ________ 柱面。

练 11

为什么三重积分与曲面积分之前要先认曲面（）。

A为了画图好看
B为了确定积分区域与积分限
C为了求导
D没有必要

练 12

曲线

{x^{2} + y^{2} = 1 z = 2

在

x O y

面上的投影曲线中，第二行应写 ________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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