曲面与空间曲线（旋转面、柱面、二次曲面）

§4.4 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.44 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

0.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）平面及其方程空间直线及其方程

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 柱面的判定：方程缺哪个变量，母线就平行于哪条坐标轴；以及六种二次曲面的标准方程★★ 必会

① 柱面的判定：三元方程中缺少哪个变量，它就表示母线平行于该变量所在坐标轴的柱面，准线是它在其余两个变量所决定的坐标面上的曲线。例如在空间中，

x^{2} + y^{2} = R^{2}

缺

z

，表示圆柱面，母线平行于

z

轴；

y^{2} = 2 p x

缺

z

，表示抛物柱面；

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

缺

z

，表示双曲柱面。这里容易出错：同一个方程在平面解析几何中表示曲线，在空间解析几何中表示柱面，须按上下文判断。

② 六种二次曲面的标准方程（

a, b, c > 0

）：

椭球面

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1

，三个平方项都为正，其和为

1

，它是六种曲面中唯一有界的；

单叶双曲面

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1

，两正一负而

= 1

，形如连成一体的腰鼓；

双叶双曲面

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = - 1

，两正一负而

= - 1

，分成互相分离的两片；

二次锥面

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 0

，两正一负而

= 0

，方程是齐次的，表示顶点在原点的锥面；

椭圆抛物面

z = \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}}

，一次项与同号的两个平方项相配，形如开口的碗；

双曲抛物面（马鞍面）

z = \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}}

，一次项与异号的两个平方项相配。

识别的方法：如果全是平方项，那么看负号的个数与右端的值：全为正而

= 1

是椭球面；两正一负时，

= 1

是单叶双曲面，

= - 1

是双叶双曲面，

= 0

是锥面。如果出现一次项，那么同号的两个平方项

\to

椭圆抛物面，异号的

\to

马鞍面。

③ 常见的几张具体曲面（作重积分与曲面积分定限时，第一步就是辨认曲面）：球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

，其上半球为

z = R^{2} - x^{2} - y^{2}

；圆锥面

z = x^{2} + y^{2}

，半顶角为

\frac{π}{4}

，在球坐标下即

φ = \frac{π}{4}

；旋转抛物面

z = x^{2} + y^{2}

。

证明 / 推导

柱面判定的证明。 设方程缺

z

，形如

F (x, y) = 0

。如果

P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

在曲面上，即

F (x_{0}, y_{0}) = 0

，那么对任意的

z

，点

(x_{0}, y_{0}, z)

的坐标同样满足该方程，于是过

P_{0}

且平行于

z

轴的整条直线都在曲面上。因此曲面由一族平行于

z

轴的直线（母线）构成，它是以

x O y

面上的曲线

F (x, y) = 0, z = 0

为准线的柱面。缺

x

与缺

y

的情形与此相类似。

■

举例说明

判别练习：(1)

x^{2} + z^{2} = 4

缺

y

，是母线平行于

y

轴的圆柱面；(2)

y = x^{2}

缺

z

，是抛物柱面，在空间中它并不是抛物线；(3)

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{9} + z^{2} = 1

，平方项全为正且

= 1

，是椭球面；(4)

z = x^{2} - y^{2}

，一次项与异号的两个平方项相配，是双曲抛物面（马鞍面）；(5)

x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0

，两正一负而

= 0

，是圆锥面。

真题印证（2026 数一，选择题）：立体由

z = 4 - x^{2} - y^{2}

与

z = x^{2} + y^{2}

围成，要求选出三重积分的正确化法。第一步就是辨认曲面：前者是球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

的上半部分，后者是半顶角为

\frac{π}{4}

的上半圆锥，因而立体形如一支冰淇淋。于是在球坐标下

φ \in [0, \frac{π}{4}]

，

ρ \in [0, 2]

，正确的选项即由此定限得出。如果辨认不出曲面，那么坐标系与积分限都无从确定。

2. 旋转面生成规则 $y \to \pm x^{2} + y^{2}$ 的推导：旋转时到轴的距离与沿轴的高度都保持不变★★ 必会

旋转面的生成规则是：轴上的那个变量保持不动，另一个变量换成其余两个坐标平方和的算术根。这条规则不必死记，它是旋转过程中两个量保持不变的必然结果。绕

z

轴旋转时，母线上一点

(0, y_{0}, z_{0})

转到空间点

(x, y, z)

，在旋转过程中有两件事不变：高度

z = z_{0}

，以及到 $z$ 轴的距离

x^{2} + y^{2} = ∣ y_{0} ∣

。把

y_{0} = \pm x^{2} + y^{2}

与

z_{0} = z

代回母线方程

f (y_{0}, z_{0}) = 0

，即得旋转面的方程。明白了这一点，绕任一坐标轴旋转的规则都可以随时推出，不必分别记忆这三条规则。

证明 / 推导

证设母线在

y O z

平面内，其方程为

f (y_{0}, z_{0}) = 0

，现绕

z

轴旋转。母线上一点

P_{0} (0, y_{0}, z_{0})

绕

z

轴旋转一周，扫出一个圆：它位于高度

z = z_{0}

处，圆心在

z

轴上，半径

r = ∣ y_{0} ∣

。于是空间点

P (x, y, z)

在这个旋转面上

⟺

存在这样的

P_{0}

，使

P

落在该圆上，即

z = z_{0} 且 x^{2} + y^{2} = ∣ y_{0} ∣.

于是

z_{0} = z, y_{0} = \pm x^{2} + y^{2}

，代入

f (y_{0}, z_{0}) = 0

，即得旋转面的方程

f (\pm x^{2} + y^{2}, z) = 0. ■

举例说明

把

y O z

面上的双曲线

\frac{y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1

绕

z

轴旋转。此时

z

不动，

y \to \pm x^{2} + y^{2}

，即

y^{2} \to x^{2} + y^{2}

，故

\frac{x ^{2} + y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1,

这是单叶双曲面，也称旋转单叶双曲面。如果改绕

y

轴旋转，那么

y

不动，

z \to \pm x^{2} + z^{2}

，得

\frac{y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{x ^{2} + z ^{2}}{c ^{2}} = 1

，它是双叶双曲面。可见同一条双曲线绕不同的轴旋转，所得或为单叶或为双叶，这取决于旋转轴是从两支之间穿过（即实轴），还是把两支分隔开。

3. 绕一般直线旋转：定角法求圆锥面的方程，以及母线与轴的三种位置关系

上一条的换元规则只适用于绕坐标轴旋转。如果旋转轴是一条倾斜的直线，例如

x = y = z

，那条规则就用不上了，应当改用定角法。

先看结论应当是什么形状。设直线

L

绕直线

A

旋转，二者的位置关系决定曲面的类型：

- 相交：交点即为顶点，所得曲面是圆锥面；
- 平行：所得曲面是圆柱面；
- 异面：所得曲面是单叶双曲面，这也说明单叶双曲面是直纹面（见后一条）。

最常考的是相交的情形。定角法的依据是：圆锥面上的每一条母线与轴所成的角都相等，这个角称为半顶角。设顶点在原点，轴的方向向量为

a

，母线的方向向量为

b

，半顶角

α

由

cos α = \frac{∣ a \cdot b ∣}{∣ a ∣ ∣ b ∣}

确定。于是动点

M (x, y, z)

在锥面上，当且仅当向量

O M

与轴所成的角等于

α

，即

\frac{∣ O M \cdot a ∣}{∣ O M ∣ ∣ a ∣} = cos α .

两边平方以去掉绝对值与根号，整理即得锥面的方程。

所得方程必定是二次齐次的，这一点可以用来检验。事实上，如果点

M

在以原点为顶点的锥面上，那么

λ M

（

λ \neq = 0

）仍在该锥面上，因此方程关于

x, y, z

齐次。

如果顶点不在原点，先作平移把顶点移到原点，求出方程后再把

x, y, z

换成

x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0}

。

证明 / 推导

推导（2025 年数一第 20 题所用的锥面）. 求

z

轴绕直线

x = y = z

旋转一周所得的曲面方程。

证轴的方向向量取

a = (1, 1, 1)

，母线为

z

轴，方向向量

b = (0, 0, 1)

。两条直线都过原点，因此相交于原点，所得曲面是以原点为顶点的圆锥面。半顶角满足

cos α = \frac{∣ ( 1 , 1 , 1 ) \cdot ( 0 , 0 , 1 ) ∣}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3} .

设

M (x, y, z)

为锥面上任一点，则

O M

与

a

的夹角也是

α

，即

\frac{∣ x + y + z ∣}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} \cdot 3} = \frac{1}{3},

于是

∣ x + y + z ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

。两边平方，得

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (x y + y z + z x) = x^{2} + y^{2} + z^{2},

因此所求方程为

x y + y z + z x = 0.

它是二次齐次式，与前面的判断相符。

检验. 母线

z

轴上的点

(0, 0, 1)

代入得

0

，确在曲面上。轴上的点

(1, 1, 1)

代入得

3 \neq = 0

，不在曲面上，这也正确，因为轴在锥的内部而不在锥面上。这两步代入是防止算错的有效办法。

■

举例说明

例. 求

z

轴绕直线

⎩ ⎨ ⎧ x = t, y = 0, z = t

旋转一周所得的曲面方程。
解. 轴的方向向量

a = (1, 0, 1)

，母线方向

b = (0, 0, 1)

，二者交于原点。半顶角满足

cos α = \frac{∣1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1∣}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}

，即

α = \frac{π}{4}

。设

M (x, y, z)

在锥面上，则

\frac{∣ x + z ∣}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} \cdot 2} = \frac{1}{2},

即

∣ x + z ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

。两边平方，得

x^{2} + 2 x z + z^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}

，消去

x^{2}

与

z^{2}

后整理，所求方程为

y^{2} = 2 x z .

检验.

z

轴上的点

(0, 0, 1)

代入得

0 = 0

，在曲面上；轴上的点

(1, 0, 1)

代入得

0 = 2

，不在曲面上。两项都符合预期。

易错之处. 一是套用绕坐标轴旋转的换元规则，那条规则在这里不成立；二是平方之后忘记整理成齐次式，或者漏掉交叉项；三是不作代入检验，算错了也不知道。

4. 截痕法（平行截面法）：由三族水平截面与竖直截面的形状确定二次曲面

要识别或想象一张二次曲面，最可靠的办法是用平行于坐标面的平面去截它，看截线随高度如何变化。做法：令

z = k

（或

x = k, y = k

）代入方程，观察截线是椭圆、双曲线、抛物线还是空集，再让

k

变化，看截线如何增大、缩小或改变类型。例如，椭球面沿各方向的截痕恒为椭圆，且都有界；单叶双曲面的水平截痕恒为椭圆，其中最小的腰在

z = 0

处，竖直截痕为双曲线；双曲抛物面（马鞍面）的水平截痕为双曲线，两族竖直截痕为开口方向相反的抛物线。由方程判别形状：如果三个平方项同号且等于正的常数，那么是椭球面；如果其中一项为负，那么是单叶双曲面；如果两项为负，那么是双叶双曲面；如果缺一个平方项而该变量以一次项出现，那么是抛物面；如果右端等于零，那么是锥面。

举例说明

识别

x^{2} + \frac{y ^{2}}{4} - z^{2} = 1

。令

z = k

，得

x^{2} + \frac{y ^{2}}{4} = 1 + k^{2} > 0

。对每个

k

它都是椭圆，且随

∣ k ∣

增大而变大，并不会缩小到消失，可见曲面是连通的，细腰在

z = 0

处，那里的椭圆最小。再令

y = 0

，得

x^{2} - z^{2} = 1

，是双曲线。综合起来：平方项两正一负，右端为正常数，故它是单叶双曲面，腰椭圆在

z = 0

处，其方程为

x^{2} + \frac{y ^{2}}{4} = 1

。

5. 单叶双曲面与双曲抛物面都是直纹面：弯曲的曲面由两族直线构成

虽然方程是二次的，单叶双曲面

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1

上却布满两族笔直的直线，因此冷却塔、广州塔一类建筑可以用笔直的钢梁搭出弯曲的外形。其道理在于：把方程移项化为平方差，即

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1 - \frac{y ^{2}}{b ^{2}}

，两端都是平方差，各写成两个因子之积并引入参数，就可以解出直线族。这也说明了单叶双曲面为什么虽有细腰却仍然连通：它可以看作一条直线绕轴倾斜旋转所扫出的曲面。双曲抛物面与此相类似，也有两族直母线。

证明 / 推导

证把单叶双曲面的方程改写为

(\frac{x}{a} - \frac{z}{c}) (\frac{x}{a} + \frac{z}{c}) = \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1 - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = (1 - \frac{y}{b}) (1 + \frac{y}{b}) .

对任意的参数

λ

（在不全为零的意义下），考虑直线族

⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{a} - \frac{z}{c} = λ (1 - \frac{y}{b}) λ (\frac{x}{a} + \frac{z}{c}) = 1 + \frac{y}{b}

对每个固定的

λ

，它是两张平面的交线，即一条直线。将两式相乘，左端

= λ (\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}})

，右端

= λ (1 - \frac{y ^{2}}{b ^{2}})

，约去

λ

便回到曲面方程，故整条直线都在曲面上。让

λ

变动，即扫出一整族直母线；把

λ

改配到另一种组合，则得第二族。

■

6. 空间曲线向坐标面的投影：消去与投影面垂直的那个坐标得投影柱面，不要遗漏坐标面方程★★ 必会

曲线

Γ : {F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0

向

x O y

面投影时，由两式消去 $z$ ，得

H (x, y) = 0

。它是一张母线平行于

z

轴、以投影曲线为准线的投影柱面；投影曲线本身则是

{H (x, y) = 0 z = 0

。为什么要消去 $z$ ：投影就是沿

z

的方向把曲线压到

x O y

面上，这等价于要求

(x, y)

满足如下条件：存在某个

z

使两个方程同时成立；而消元恰好刻画了这样的

z

的存在性。向

y O z

、

x O z

面投影时同理，分别消去

x

与

y

。最容易出错的地方是遗漏坐标面的方程

z = 0

：只写投影柱面，所得的是柱面而不是曲线。

举例说明

求球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

与平面

x + z = 0

的交线

Γ

在

x O y

面上的投影。由平面方程得

z = - x

，代入球面方程以消去

z

，得

x^{2} + y^{2} + x^{2} = 1

，即

2 x^{2} + y^{2} = 1

，这就是投影柱面，它是椭圆柱面。于是投影曲线为

{2 x^{2} + y^{2} = 1 z = 0,

它是

x O y

面上的一个椭圆。从几何上看，斜截球面所得的圆垂直投影到水平面上成为椭圆，与直观相符。

💡 小知识

发电厂那种细腰的冷却塔，还有广州的小蛮腰电视塔，外形都是单叶双曲面。它同时还是直纹面：整张弯曲的塔身可以由一族笔直的钢梁扭转排列而成，既省材料又抗风。一条直线旋转起来，扫出的却是一张弯曲的面。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 指出下列方程在空间直角坐标系中各表示什么曲面：(1)

x^{2} + y^{2} = 4

；(2)

z = x^{2} + y^{2}

；(3)

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{9} + z^{2} = 1

。难度 1

(1) 方程中缺变量 $z$ ，故为柱面：母线平行于

z

轴、准线是

x O y

面上半径为

2

的圆——圆柱面。 (2) 含对称组合

x^{2} + y^{2}

，由

y O z

面抛物线

z = y^{2}

绕

z

轴旋转而成——旋转抛物面（开口向上的碗）。 (3) 形如

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1

，是椭球面（

a = 2, b = 3, c = 1

）。

例 2 将

y O z

平面上的直线

z = 2 y

绕

z

轴旋转一周，求所得旋转面的方程，并说明它是什么曲面。难度 1

旋转面生成规则：绕

z

轴旋转时， $z$ 不动，把另一个变量

y

换成

\pm x^{2} + y^{2}

。原曲线

z = 2 y

即

z - 2 y = 0

，替换得

z = 2 (\pm x^{2} + y^{2}) ⟹ z^{2} = 4 (x^{2} + y^{2}) .

即

z^{2} = 4 x^{2} + 4 y^{2}

。它是顶点在原点、以

z

轴为轴的圆锥面（一条过原点的直线绕轴旋转，扫出圆锥）。

例 3 求两曲面

z = x^{2} + y^{2}

与

z = 2 - x^{2} - y^{2}

的交线在

x O y

平面上的投影曲线方程。难度 2

第一步：消去 $z$ 求投影柱面。 两式相等：

x^{2} + y^{2} = 2 - (x^{2} + y^{2}) ⟹ 2 (x^{2} + y^{2}) = 2 ⟹ x^{2} + y^{2} = 1.

这就是交线沿

z

方向投影到

x O y

面的投影柱面

x^{2} + y^{2} = 1

。 第二步：补上坐标面方程。 投影曲线位于

x O y

面上，故

{x^{2} + y^{2} = 1 z = 0

是一个半径为

1

的圆。（几何上，两抛物面交于高度

z = 1

处的圆，其在地面的投影即此圆。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

已知有界区域

Ω

由曲面

z = 4 - x^{2} - y^{2}

与

z = x^{2} + y^{2}

围成，函数

f (u)

连续，则

∭_{Ω} f (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d x d y d z =

（　　）

A $\int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{2} d r \int_{r}^{4 - r^{2}} f (r^{2} + z^{2}) r d z$
B $\int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{2} d r \int_{r}^{4 - r^{2}} f (r^{2} + z^{2}) r d z$
C $\int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{\frac{π}{4}} d φ \int_{0}^{2} f (r^{2}) r^{2} sin φ d r$
D $\int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{\frac{π}{2}} d φ \int_{0}^{2} f (r^{2}) r^{2} sin φ d r$

2025 年 · 数一 · 第 20 题 · 解答题 · 12 分

设

Σ

是由直线

{x = 0, y = 0

（即

z

轴）绕直线

⎩ ⎨ ⎧ x = t, y = t, z = t

（

t

为参数）旋转一周得到的曲面，

Σ_{1}

是

Σ

介于平面

x + y + z = 0

与

x + y + z = 1

之间部分的外侧，计算曲面积分

\iint_{Σ_{1}} x d y d z + (y + 1) d z d x + (z + 2) d x d y

2017 年 · 数一 · 第 19 题 · 解答题 · 10 分

设薄片型物体

S

是圆锥面

z = x^{2} + y^{2}

被柱面

z^{2} = 2 x

割下的有限部分，其上任一点的密度为

μ (x, y, z) = 9 x^{2} + y^{2} + z^{2}

。记圆锥面与柱面的交线为

C

。

（Ⅰ）求

C

在

x O y

平面上的投影曲线的方程；

（Ⅱ）求

S

的质量

M

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

方程

x^{2} + z^{2} = 1

在空间直角坐标系中表示

A母线平行于 $y$ 轴的圆柱面
B母线平行于 $z$ 轴的圆柱面
C球面
D $x O z$ 平面上的一个圆

练习 2 · 选择题

曲面

z^{2} = x^{2} + y^{2}

是

A旋转抛物面
B圆锥面
C圆柱面
D单叶双曲面

练习 3 · 填空题

y O z

平面上的抛物线

z = y^{2}

绕

z

轴旋转一周所得旋转面的方程为 ____。

练习 4 · 选择题

曲面

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{9} - z^{2} = 1

是

A椭球面
B单叶双曲面
C双叶双曲面
D椭圆锥面

练习 5 · 填空题

曲线

{x^{2} + y^{2} + z^{2} = 12 z = x^{2} + y^{2}

在

x O y

平面上的投影柱面方程为 ____。

练习 6 · 选择题

顶点在原点、以直线

x = y = z

为轴、半顶角为

\frac{π}{4}

的圆锥面方程是（　）。

A $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 (x y + y z + z x)$
B $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 (x y + y z + z x)$
C $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 (x y + y z + z x)$
D $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 8 (x y + y z + z x)$

练习 7 · 填空题

空间曲线

Γ : {x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 x + z = 2

在

x O y

平面上的投影曲线是一个椭圆，其长半轴的长为 ____。

练习 8 · 解答题

已知空间直线

L : {x = 1 y = z

。
（1）求

L

绕

z

轴旋转一周所成旋转曲面

Σ

的方程，并指出

Σ

是什么曲面；
（2）求

Σ

上的点到

z

轴的最短距离，以及取到该最短距离的点所构成曲线（腰圆）的方程；
（3）求

Σ

与平面

z = 3

的交线在

x O y

面上的投影曲线方程。

2009 年 · 数一 · 第 17 题 · 解答题 · 11 分

椭球面

S_{1}

是椭圆

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1

绕

x

轴旋转而成，圆锥面

S_{2}

是由过点

(4, 0)

且与椭圆

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1

相切的直线绕

x

轴旋转而成.

（Ⅰ）求

S_{1}

及

S_{2}

的方程；

（Ⅱ）求

S_{1}

与

S_{2}

之间的立体的体积.

1998 年 · 数一 · 第 11 题 · 解答题 · 5 分

求直线

l : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}

在平面

π : x - y + 2 z - 1 = 0

上的投影直线

l_{0}

的方程，并求

l_{0}

绕

y

轴旋转一周所成曲面的方程。

1994 年 · 数一 · 第 17 题 · 解答题 · 6 分

已知点

A

与点

B

的直角坐标分别为

(1, 0, 0)

与

(0, 1, 1)

，线段

A B

绕

z

轴旋转一周所围成的旋转曲面为

S

，求由

S

及两平面

z = 0

，

z = 1

所围成的立体的体积.

曲面与空间曲线（旋转面、柱面、二次曲面）

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 柱面的判定：方程缺哪个变量，母线就平行于哪条坐标轴；以及六种二次曲面的标准方程★★ 必会

2. 旋转面生成规则 y→±x2+y2​ 的推导：旋转时到轴的距离与沿轴的高度都保持不变★★ 必会

3. 绕一般直线旋转：定角法求圆锥面的方程，以及母线与轴的三种位置关系

4. 截痕法（平行截面法）：由三族水平截面与竖直截面的形状确定二次曲面

5. 单叶双曲面与双曲抛物面都是直纹面：弯曲的曲面由两族直线构成

6. 空间曲线向坐标面的投影：消去与投影面垂直的那个坐标得投影柱面，不要遗漏坐标面方程★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 旋转面生成规则 $y \to \pm x^{2} + y^{2}$ 的推导：旋转时到轴的距离与沿轴的高度都保持不变★★ 必会