空间直线及其方程

§4.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.32 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

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前置诊断

① 直接前置（需先掌握）向量及其运算（数量积、向量积、混合积）平面及其方程③ 掌握后可解锁曲面与空间曲线（旋转面、柱面、二次曲面）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 直线方程的三种形式：点向式、参数式、一般式，以及它们的互化（ $s = n_{1} \times n_{2}$ ）★★ 必会

基本观念：确定一条直线，需要一个点与一个方向向量 $s$ 。

① 点向式（对称式）：过

M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

、以

s = (m, n, p) \neq = 0

为方向向量的直线为

\frac{x - x _{0}}{m} = \frac{y - y _{0}}{n} = \frac{z - z _{0}}{p} .

约定：如果某个分母为零，那么表示对应的分子恒为零，例如

m = 0

表示直线在平面

x = x_{0}

内。这里的连等式只是一种形式记号，并非真的作除法。

② 参数式：令①中的公共比值为

t

，得

x = x_{0} + m t, y = y_{0} + n t, z = z_{0} + pt (t \in R) .

求直线与平面或曲面的交点、求垂足与对称点时，用它最为方便：代入方程解出

t

即可。

③ 一般式（交面式）：直线表示为两张不平行平面的交线，

{A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0, A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0, n_{1} ∦ n_{2} .

④ 互化：点向式

\leftrightarrow

参数式是显然的，只需令比值为

t

，或者消去

t

。由一般式 $\to$ 点向式：方向向量取

s = n_{1} \times n_{2}

因为交线同时在两平面内，故同时垂直于两个法向量。再在直线上找一点，例如令

z = 0

解出

x, y

；如果这一组无解，那么改令

x = 0

或

y = 0

。由点向式

\to

一般式：把连等式任意拆成两个等式即可。

附速查：两直线的夹角

cos θ = \frac{∣ s _{1} \cdot s _{2} ∣}{∣ s _{1} ∣∣ s _{2} ∣}

；直线与平面的夹角

sin φ = \frac{∣ s \cdot n ∣}{∣ s ∣∣ n ∣}

，这里是 $sin$ 而不是 $cos$ ；

L ⊥ π ⟺ s ∥ n

；

L ∥ π ⟺ s \cdot n = 0

，且直线上的点不在平面上。

证明 / 推导

点向式的推导。 点

M (x, y, z)

在直线上

⟺ M_{0} M = (x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0})

与

s

平行

⟺

对应坐标成比例，这就是所述的连等式；参数式则是

M_{0} M = t s

按坐标逐个写出的形式。

$s = n_{1} \times n_{2}$ 的理由。 交线在平面

π_{1}

内，故

\Rightarrow s ⊥ n_{1}

；同理

s ⊥ n_{2}

。在空间中，同时垂直于两个不平行向量的方向是唯一的，至多相差一个数乘因子；而

n_{1} \times n_{2}

恰好同时垂直于二者，且由

n_{1} ∦ n_{2}

保证它不是零向量，故可取它作为方向向量。

■

举例说明

真题（1995 数一） 直线

L : {x + 3 y + 2 z + 1 = 0 2 x - y - 10 z + 3 = 0

与平面

π : 4 x - 2 y + z - 2 = 0

的位置关系是平行、在面上、垂直还是斜交？

解. 对以一般式给出的直线，第一步按④求方向向量：

s = n_{1} \times n_{2} = (1, 3, 2) \times (2, - 1, - 10) = (3 \cdot (- 10) - 2 \cdot (- 1), 2 \cdot 2 - 1 \cdot (- 10), 1 \cdot (- 1) - 3 \cdot 2) = (- 28, 14, - 7) = - 7 (4, - 2, 1) .

平面的法向量

n = (4, - 2, 1)

，故

s ∥ n

。直线的方向与平面的法向平行，因此

L ⊥ π

，应选垂直。由此可见，遇到以交面式给出的直线，首先要作的就是

s = n_{1} \times n_{2}

；此后一切位置关系都化为向量运算。

2. 点到直线距离公式 $d = \frac{∣ M _{0} M _{1} \times s ∣}{∣ s ∣}$ 的面积推导，并与点到平面的公式相对照★ 要懂

上面给出了公式，下面补出严格的推导，并说明为什么用的是叉积而不是点积。把点

M_{1}

到直线的距离看作一个平行四边形的高：以方向向量

s

与连接向量

M_{0} M_{1}

为邻边，则平行四边形的面积

= ∣ M_{0} M_{1} \times s ∣

，底

= ∣ s ∣

，于是高

=

面积

\div

底，这就是所求的距离。

与点到平面的公式相对照：点到平面的距离是把坐标代入一次式，其实质是点积，即向法向量作投影；点到直线的距离是叉积的模除以方向向量的模，其实质是面积除以底。二者一个用点积、一个用叉积，切不可混淆。

证明 / 推导

证设直线过

M_{0}

，方向为

s

，点

M_{1}

到直线的距离为

d

。记连接向量

M_{0} M_{1}

与

s

的夹角为

θ

，则

M_{1}

到直线的垂直距离恰为

M_{0} M_{1}

在垂直于

s

的方向上的分量的长度，即

d = ∣ M_{0} M_{1} ∣ sin θ .

又平行四边形的面积

∣ M_{0} M_{1} \times s ∣ = ∣ M_{0} M_{1} ∣ ∣ s ∣ sin θ

，两式相除，得

\frac{∣ M _{0} M _{1} \times s ∣}{∣ s ∣} = ∣ M_{0} M_{1} ∣ sin θ = d . ■

举例说明

求点

M_{1} (1, 1, 1)

到直线

L : \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}

的距离。这里

M_{0} = (0, 0, 0), s = (1, 2, 2), M_{0} M_{1} = (1, 1, 1)

。于是

M_{0} M_{1} \times s = i 11 j 12 k 12 = (1 \cdot 2 - 1 \cdot 2, 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2, 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = (0, - 1, 1) .

故

d = \frac{∣ ( 0 , - 1 , 1 ) ∣}{∣ ( 1 , 2 , 2 ) ∣} = \frac{2}{3}

。

3. 两直线四种位置关系的统一判别法：先看方向向量，再看连接向量的混合积

空间两直线的位置关系（相交、平行、重合、异面）不能只看方向向量，还必须引入一条连接两直线上任意两点的向量

M_{1} M_{2}

。统一的判别法是：(1) 如果

s_{1} ∥ s_{2}

且

s_{1} ∥ M_{1} M_{2}

，那么两直线重合；(2) 如果

s_{1} ∥ s_{2}

而

s_{1} ∦ M_{1} M_{2}

，那么两直线平行而不重合；(3) 如果

s_{1} ∦ s_{2}

且

[s_{1}, s_{2}, M_{1} M_{2}] = 0

，即三个向量共面，那么两直线相交；(4) 如果

[s_{1}, s_{2}, M_{1} M_{2}] \neq = 0

，那么两直线异面。其关键在于混合积为零 $⟺$ 两直线共面，因为共面就等价于两个方向向量与连接向量都落在同一张平面内。

证明 / 推导

证两直线共面

⟺

存在一张平面同时包含它们

⟺

向量

s_{1}, s_{2}, M_{1} M_{2}

都平行于该平面

⟺

这三个向量共面

⟺

它们的混合积

[s_{1}, s_{2}, M_{1} M_{2}] = 0

。如果两方向向量不平行，那么共面即相交，不共面即异面；如果两方向向量平行，那么只需再看

M_{1} M_{2}

是否也与之平行，即可区分重合与平行。

■

举例说明

判断

L_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{- 1}

与

L_{2} : \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{1}

的关系。这里

s_{1} = (1, 1, - 1), s_{2} = (2, 1, 1)

，二者不平行。取点

M_{1} (1, 0, 0), M_{2} (0, - 1, 0)

，则

M_{1} M_{2} = (- 1, - 1, 0)

。于是

[s_{1}, s_{2}, M_{1} M_{2}] = 12 - 1 11 - 1 - 1 10 = 1 (0 + 1) - 1 (0 + 1) + (- 1) (- 2 + 1) = 1 - 1 + 1 = 1 \neq = 0,

故两直线异面。

4. 异面直线间的距离与公垂线：距离等于混合积除以叉积的模，公垂线取两张平面的交线

两条异面直线的公垂线，是唯一一条同时与它们垂直并且相交的直线，它的长度就是两直线间的最短距离。距离公式

d = \frac{∣ [ s _{1} , s _{2} , M _{1} M _{2} ] ∣}{∣ s _{1} \times s _{2} ∣}

可以这样理解：分子是

s_{1}, s_{2}, M_{1} M_{2}

所张成的平行六面体的体积，分母

∣ s_{1} \times s_{2} ∣

是以两个方向向量为邻边的底面积，所得的高就是两直线沿公垂方向的间隔。求公垂线的方程：公垂线的方向

s = s_{1} \times s_{2}

；过

L_{1}

且含公垂线方向的平面记为

π_{1}

，它的法向量为

s_{1} \times s

，且过

L_{1}

；过

L_{2}

且含公垂线方向的平面记为

π_{2}

，它的法向量为

s_{2} \times s

，且过

L_{2}

。这两张平面的交线就是公垂线。

证明 / 推导

证下面推出距离公式。公垂线的方向

s = s_{1} \times s_{2}

，它同时垂直于两个方向向量。任取

M_{1} \in L_{1}, M_{2} \in L_{2}

，则两直线间的距离等于

M_{1} M_{2}

在单位公垂方向

s /∣ s ∣

上的投影的绝对值，这是因为两垂足的连线平行于

s

。于是

d = M_{1} M_{2} \cdot \frac{s}{∣ s ∣} = \frac{∣ M _{1} M _{2} \cdot ( s _{1} \times s _{2} ) ∣}{∣ s _{1} \times s _{2} ∣} = \frac{∣ [ s _{1} , s _{2} , M _{1} M _{2} ] ∣}{∣ s _{1} \times s _{2} ∣} . ■

举例说明

仍取上例中的

L_{1}, L_{2}

，已求得

[\dots] = 1

。又

s_{1} \times s_{2} = i 12 j 11 k - 1 1 = (1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 1, (- 1) \cdot 2 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) = (2, - 3, - 1)

，其模

= 4 + 9 + 1 = 14

。故两异面直线间的距离

d = \frac{∣1∣}{14} = \frac{1}{14} = \frac{14}{14}

。

5. 直线在平面上的投影直线：过该直线作垂直于已知平面的投影平面，再取二者的交线

求直线

L

在平面

π

上的投影，是数一中常考的综合题。做法是：作一张过

L

且垂直于

π

的投影平面

π^{'}

，则所求投影直线

= π^{'} \cap π

。求

π^{'}

时用平面束最为简便：把

L

写成两平面的交线，设平面束为

π_{1} + λ π_{2} = 0

，令它的法向量与

π

的法向量垂直，即

m \cdot n_{π} = 0

，由此解出

λ

，即得

π^{'}

；再与

π

联立，就是投影直线的一般式。为什么 $π^{'} ⊥ π$ ：投影就是沿

π

的法向把

L

上的每一点压到

π

上，这些投影线都平行于

n_{π}

，它们连同

L

所张成的平面必含

n_{π}

，因此垂直于

π

。

举例说明

求直线

L : {x + y = 0 z = 0

在平面

π : x + y + z = 1

上的投影。设过

L

的平面束为

(x + y) + λ z = 0

，其法向量

m = (1, 1, λ)

。要使

π^{'} ⊥ π

，令

m \cdot n_{π} = m \cdot (1, 1, 1) = 1 + 1 + λ = 0

，得

λ = - 2

。于是投影平面

π^{'} : x + y - 2 z = 0

。所求投影直线为

{x + y - 2 z = 0 x + y + z = 1 .

两式相减得

3 z = 1

，可见投影直线在

z = \frac{1}{3}

的水平面上，方向为

(1, - 1, 0)

，与几何直观相符。

💡 小知识

同一条空间直线可以看成无穷多对平面的交线，过它的平面组成一整束，所以一般式的写法千变万化；而它的方向向量却是唯一的，至多相差一个倍数。几何对象与它的代数表达式之间，本来就是一对多的关系。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求过点

M_{0} (1, 2, - 1)

且以

s = (2, - 1, 3)

为方向向量的直线的对称式（点向式）方程与参数方程。难度 1

对称式直接套

\frac{x - x _{0}}{m} = \frac{y - y _{0}}{n} = \frac{z - z _{0}}{p}

：

\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z + 1}{3} .

参数式令上式各项等于

t

，解出

x, y, z

：

x = 1 + 2 t, y = 2 - t, z = - 1 + 3 t .

例 2 求过两点

A (1, 0, 2)

与

B (3, - 1, 1)

的直线方程（对称式）。难度 1

方向向量取两点连线

s = A B = (3 - 1, - 1 - 0, 1 - 2) = (2, - 1, - 1) .

取

A (1, 0, 2)

为定点，对称式为

\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 2}{- 1} .

（取

B

为定点或用

B A

得到的是同一条直线。）

例 3 将直线

L : {x + y + z = 1 2 x - y + z = 2

化为对称式方程。难度 2

第一步：求方向向量。 直线是两平面的交线，故其方向向量同时垂直于两法向量

n_{1} = (1, 1, 1), n_{2} = (2, - 1, 1)

，取叉积

s = n_{1} \times n_{2} = i 12 j 1 - 1 k 11 = (2, 1, - 3) .

第二步：求直线上一点。 令

z = 0

，方程组化为

{x + y = 1 2 x - y = 2

，两式相加

3 x = 3

，得

x = 1, y = 0

，即定点

M_{0} (1, 0, 0)

。 第三步：写对称式。

\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{- 3} .

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

是

n

维向量，

α_{1}, α_{2}

线性无关，

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性相关，且

α_{1} + α_{2} + α_{4} = 0

。在空间直角坐标系

O - x y z

中，关于

x, y, z

的方程组

x α_{1} + y α_{2} + z α_{3} = α_{4}

的几何图形是（　　）

A过原点的一个平面.
B过原点的一条直线.
C不过原点的一个平面.
D不过原点的一条直线.

2020 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分

已知直线

l_{1} : \frac{x - a _{2}}{a _{1}} = \frac{y - b _{2}}{b _{1}} = \frac{z - c _{2}}{c _{1}}

与直线

l_{2} : \frac{x - a _{3}}{a _{2}} = \frac{y - b _{3}}{b _{2}} = \frac{z - c _{3}}{c _{2}}

相交于一点，记向量

α_{i} = a_{i} b_{i} c_{i}

，

i = 1, 2, 3

，则（　　）

A $α_{1}$ 可由 $α_{2}, α_{3}$ 线性表示.
B $α_{2}$ 可由 $α_{1}, α_{3}$ 线性表示.
C $α_{3}$ 可由 $α_{1}, α_{2}$ 线性表示.
D $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性无关.

1998 年 · 数一 · 第 9 题 · 选择题 · 3 分

设矩阵

a_{1} a_{2} a_{3} b_{1} b_{2} b_{3} c_{1} c_{2} c_{3}

是满秩的，则直线

\frac{x - a _{3}}{a _{1} - a _{2}} = \frac{y - b _{3}}{b _{1} - b _{2}} = \frac{z - c _{3}}{c _{1} - c _{2}}

与直线

\frac{x - a _{1}}{a _{2} - a _{3}} = \frac{y - b _{1}}{b _{2} - b _{3}} = \frac{z - c _{1}}{c _{2} - c _{3}}

（　　）

A相交于一点
B重合
C平行但不重合
D异面

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

过点

(2, 1, - 3)

且以

(1, - 2, 2)

为方向向量的直线的对称式方程为 ____。

练习 2 · 选择题

直线

\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z}{2}

的一个方向向量是

A $(2, - 1, 2)$
B $(1, - 1, 0)$
C $(2, 1, 2)$
D $(1, - 1, 2)$

练习 3 · 选择题

直线

L_{1}

的方向向量为

s_{1} = (1, 2, - 1)

，直线

L_{2}

的方向向量为

s_{2} = (2, - 1, 0)

，则

L_{1}

与

L_{2}

A平行
B垂直
C重合
D夹角为 $\frac{π}{3}$

练习 4 · 填空题

直线

L

的方向向量为

s = (2, 1, 2)

，平面

π

的法向量为

n = (1, 2, 2)

，则

L

与

π

夹角

φ

的正弦

sin φ =

____。

练习 5 · 选择题

直线

L : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}

与平面

π : x - y - z + 5 = 0

的位置关系是

A垂直
B平行（直线不在平面内）
C直线在平面内
D相交但不垂直

练习 6 · 选择题

点

M (2, 1, 3)

到直线

L : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{2}

的距离为（　）。

A $14$
B $\frac{14}{3}$
C $\frac{5}{3}$
D $\frac{5}{3}$

练习 7 · 填空题

已知两条直线

L_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}, L_{2} : \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1},

则

L_{1}

与

L_{2}

之间的距离为 ____。

练习 8 · 解答题

已知直线

L : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{- 1}

与平面

π : x + y + z - 3 = 0

。

(1) 求

L

与

π

的交点；

(2) 求

L

在平面

π

上的投影直线

L_{0}

的对称式方程；

(3) 求

L

与

π

的夹角

φ

的正弦，并验证

L

与

L_{0}

的夹角恰等于

φ

。

1998 年 · 数一 · 第 11 题 · 解答题 · 5 分

求直线

l : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}

在平面

π : x - y + 2 z - 1 = 0

上的投影直线

l_{0}

的方程，并求

l_{0}

绕

y

轴旋转一周所成曲面的方程。

1995 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 3 分

设有直线

L : {x + 3 y + 2 z + 1 = 0 2 x - y - 10 z + 3 = 0

及平面

π : 4 x - 2 y + z - 2 = 0

，则直线

L

（　　）

A平行于 $π$
B在 $π$ 上
C垂直于 $π$
D与 $π$ 斜交

1993 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 3 分

设有直线

L_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z + 8}{1}

与

L_{2} : {x - y = 6 2 y + z = 3

，则

L_{1}

与

L_{2}

的夹角为（　　）

A $\frac{π}{6}$
B $\frac{π}{4}$
C $\frac{π}{3}$
D $\frac{π}{2}$

空间直线及其方程

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 直线方程的三种形式：点向式、参数式、一般式，以及它们的互化（s=n1​×n2​）★★ 必会

2. 点到直线距离公式 d=∣s∣∣M0​M1​​×s∣​ 的面积推导，并与点到平面的公式相对照★ 要懂

3. 两直线四种位置关系的统一判别法：先看方向向量，再看连接向量的混合积

4. 异面直线间的距离与公垂线：距离等于混合积除以叉积的模，公垂线取两张平面的交线

5. 直线在平面上的投影直线：过该直线作垂直于已知平面的投影平面，再取二者的交线

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 直线方程的三种形式：点向式、参数式、一般式，以及它们的互化（ $s = n_{1} \times n_{2}$ ）★★ 必会

2. 点到直线距离公式 $d = \frac{∣ M _{0} M _{1} \times s ∣}{∣ s ∣}$ 的面积推导，并与点到平面的公式相对照★ 要懂