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空间直线及其方程
高等数学 · 向量代数与空间解析几何
这一条要先会：向量及其运算（数量积、向量积、混合积）、平面及其方程
先打基础
一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。
1. 三种写法：对称式、参数式、一般式
空间直线由一个点加一个方向向量 s=(m,n,p) 决定。
对称式（点向式）：
mx−x0=ny−y0=pz−z0.
参数式：令上式等于 t，得
⎩⎨⎧x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt.
一般式：两张平面的交线，
{A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0.
对称式的分母为零是允许的：0x−1 是一种约定写法，
表示 x=1，不是「除以零」。2. 一般式化对称式：方向向量是两法向量的叉乘
一般式给的是两张平面，直线是它们的交线。要化成对称式，两步：
① 求方向向量：直线躺在两张平面内，故同时垂直于两个法向量：
s=n1×n2.
② 找一个点：给某一坐标随便取一个值（通常取 0），
代回方程组解出另两个坐标。
第②步要挑一个好取的坐标：若令 z=0 后方程组无解，
说明直线与平面 z=0 平行，换一个坐标令零即可。
这是空间解析几何里最常考的一个转换，
因为后面求交点、求距离、求夹角都要用对称式或参数式。3. 直线与平面：判据正好和两平面的反过来
设直线方向向量 s、平面法向量 n。
直线 ∥ 平面（或在平面内）：s⋅n=0；
直线 ⊥ 平面：s∥n，即 s×n=0；
夹角（直线与平面的夹角取 0 到 2π）：
sinφ=∣s∣∣n∣∣s⋅n∣.
注意这里是 sin 不是 cos：s 与 n 的夹角
和直线与平面的夹角互余。
区分「平行」与「在平面内」：两者都满足 s⋅n=0，
再拿直线上的一个点代平面方程——满足就是在平面内，不满足才是平行。4. 两直线：相交、平行还是异面
设两直线的方向向量 s1、s2，各取一点 M1、M2。
判断的顺序固定：
① 先看方向：s1∥s2 吗？
平行的话，再用一个点判重合还是平行。
② 方向不平行时看共面：算混合积
[s1s2M1M2].
为 0 则共面，两直线相交；不为 0 则异面。
③ 夹角（取锐角）：
cosθ=∣s1∣∣s2∣∣s1⋅s2∣.
异面直线之间的距离就是那个混合积除以 ∣s1×s2∣，
几何上是「平行六面体体积除以底面积」。常用结构
这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。
写直线方程
第一步：定方向向量（两点相减、两法向量叉乘、或照抄平行直线的）。
第二步：找直线上的一个点。
第三步：代对称式；分母出现 0 时按约定写，或改写成参数式。
第四步：要代入计算（求交点、算积分）一律先转参数式。例例. 求过
M1(1,2,0) 与
M2(3,2,4) 的直线方程。
第一步，方向向量
s=M1M2=(2,0,4)，约去公因子写成
(1,0,2)。
第二步，取直线上的点
M1(1,2,0)。
第三步，对称式
1x−1=0y−2=2z.分母上那个
0 是
约定写法，意思是
y−2=0，不是让你去除以零。
第四步，凡是要代入计算的，先转参数式：
x=1+t、
y=2、
z=2t。比如求它与平面
x+y+z=9 的交点，代入得
(1+t)+2+2t=9，
t=2，交点是
(3,2,4)——正好是
M2 ✓
一般式化对称式
第一步：读出两个法向量，叉乘得方向向量，可约公因子。
第二步：令某一坐标为 0，代回方程组解出另两个。
第三步：无解就换一个坐标令零。
第四步：写出对称式，并把那个点代回两张平面验算。例例. 把
{x+y+z=1x−y+z=3 化成对称式。
第一步，两个法向量
(1,1,1)、
(1,−1,1) 叉乘：
s=(1,1,1)×(1,−1,1)=(2,0,−2)⟶ (1,0,−1).第二步，找一个点。令
z=0，解
{x+y=1x−y=3 得
x=2、
y=−1，点是
(2,−1,0)。
第三步，若令
z=0 时方程组无解（两式矛盾），说明这条直线不与
z=0 相交，换成令
x=0 或
y=0 再试。
第四步，写出
1x−2=0y+1=−1z,并把
(2,−1,0) 代回两张平面验算：
2−1+0=1 ✓、
2+1+0=3 ✓
判两直线的关系
第一步：先比方向向量是否平行。
第二步：平行时取一点代另一条，分重合与平行。
第三步：不平行时算混合积 [s1s2M1M2]。
第四步：为零则相交，不为零则异面。例例. 判断
L1: 1x−1=2y=1z 与
L2: 2x=1y+1=1z−1 的关系。
第一步，
s1=(1,2,1)、
s2=(2,1,1)，分量不成比例
⇒ 不平行。
第二步，平行时才走这一步（取一点代另一条，分重合与平行），此处跳过。
第三步，取
M1(1,0,0)、
M2(0,−1,1)，
M1M2=(−1,−1,1)，算混合积
12−121−1111=1⋅2−2⋅3+1⋅(−1)=−5.第四步，不为零
⇒ 两条直线
异面。
把判据记牢：方向平行就只可能是平行或重合；方向不平行时，混合积为
0 才相交，不为
0 就是异面——
异面是「不平行且不相交」，不是「看着不像相交」。
基础易错
基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。
直线与平面的平行判据记成「方向向量平行法向量」
平行是 s⋅n=0（垂直），垂直才是 s∥n。
这和两平面之间的判据正好反过来。
记法：法向量是竖着的，所以结论都要「翻一次」。夹角公式用错三角函数
两平面之间用 cos，直线与平面之间用 sin。
后者是因为 s 与 n 的夹角和所求夹角互余。
都要带绝对值，结果取锐角。点积为零就断定平行
s⋅n=0 只说明不相交，直线可能躺在平面内。
要再取直线上一点代平面方程才能分清。
这一步常被漏掉，而它只要一行。对称式分母为零当成错误
0x−1 是约定写法，表示 x=1。
三个分母不能同时为零，但单个为零完全正常。
不放心就改写成参数式。自己试一试
这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。
第一组 · 认写法
练 1
对称式 2x−1=−1y=4z+3 的方向向量是 ________。练 2
对称式中某个分母为 0，表示（ ）。- A方程写错了
- B直线不存在
- C该坐标恒等于分子里的常数
- D直线过原点
练 3
一般式给出的直线，其方向向量等于两法向量的 ________ 积。练 4
直线与平面垂直的判据是（ ）。第二组 · 会转换
练 5
平面 x+y+z=1 与 x−y+z=0 的交线方向向量可取 ________。练 6
接上题，令 z=0 解得交线上的一点为 ________。练 7
直线 s=(1,1,−2) 与平面 x+y+z=5 的关系是（ ）。练 8
直线与平面的夹角公式用的是正弦还是余弦？答：________。第三组 · 想清楚
练 9
两直线方向向量不平行，且 [s1s2M1M2]=0，则两直线（ ）。练 10
判断两直线关系时，正确的顺序是（ ）。- A先比方向，再算混合积
- B先算混合积，再比方向
- C只需算夹角
- D只需取点代入
练 11
过点 (1,2,3) 且垂直于平面 2x−y+z=0 的直线，其方向向量为 ________。练 12
要把一条直线代入二重积分或曲线积分计算，最方便的写法是（ ）。