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向量及其运算（数量积、向量积、混合积）

高等数学 · 向量代数与空间解析几何

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 向量的坐标、模与方向余弦

空间向量用三个坐标表示：

a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})

。它的模（长度）

∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} .

单位向量：

a^{0} = \frac{a}{∣ a ∣}

，模为

1

、方向不变。

方向余弦是

a

与三个坐标轴正向夹角的余弦：

cos α = \frac{a _{1}}{∣ a ∣}, cos β = \frac{a _{2}}{∣ a ∣},

cos γ = \frac{a _{3}}{∣ a ∣} .

它们满足

cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ = 1

——
因为 $(cos α, cos β, cos γ)$ 正是单位向量 $a^{0}$ 。

2. 数量积：结果是数，管垂直与夹角

数量积（点积、内积）有两个等价写法：

a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ,

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} .

结果是一个数，不是向量。

三个最常用的推论：

① 判垂直：

a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0

；

② 求夹角：

cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}

；

③ 求投影：

b

在

a

上的投影为

\frac{a \cdot b}{∣ a ∣}

。

还有一条常用：

a \cdot a = ∣ a ∣^{2}

。

3. 向量积：结果是向量，管平行与面积

向量积（叉积）

a \times b

的结果是一个向量：

模：

∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ

，
几何意义是以

a, b

为邻边的平行四边形面积；

方向：同时垂直于

a

与

b

，按右手定则确定。

坐标写法是一个三阶行列式：

a \times b = i a_{1} b_{1} j a_{2} b_{2} k a_{3} b_{3} .

判平行：

a ∥ b ⟺ a \times b = 0

，
坐标上就是对应分量成比例。

注意不满足交换律：

b \times a = - a \times b

。

4. 混合积：一个数，管体积与共面

三个向量的混合积定义为

(a \times b) \cdot c

，结果是数，
坐标上就是三阶行列式：

[a b c] = a_{1} b_{1} c_{1} a_{2} b_{2} c_{2} a_{3} b_{3} c_{3} .

几何意义：它的绝对值是以三个向量为棱的平行六面体体积。

判共面：三向量共面

⟺

混合积为

0

。

四面体体积是平行六面体的六分之一：

V_{四面体} = \frac{1}{6} [a b c] .

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

判两向量的关系

第一步：问垂直还是平行。

第二步：垂直用数量积，令

a \cdot b = 0

，得一个方程。

第三步：平行用向量积，令

a \times b = 0

（或对应分量成比例）。

第四步：求夹角用

cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}

。

例例. 设

a = (1, - 2, 3)

、

b = (2, t, - 2)

。

t

取何值时二者垂直？又取何值时平行？

第一步，分成两问，用的是两个不同的工具。

第二步（垂直），令数量积为零：

a \cdot b = 2 - 2 t - 6 = - 2 t - 4 = 0 \Rightarrow t = - 2.

第三步（平行），要求分量成比例：

\frac{1}{2} = \frac{- 2}{t} = \frac{3}{- 2}

。头尾两个比已经不相等（

\frac{1}{2} \neq = - \frac{3}{2}

），所以无论 $t$ 取什么都不平行——这一问的答案是「无解」，不是某个数。

第四步（夹角），取

t = 0

看看：

a \cdot b = - 4

，

∣ a ∣ = 14

、

∣ b ∣ = 22

，

cos θ = \frac{- 4}{14 \cdot 2 2} = - \frac{1}{7} < 0,

是钝角。求夹角时不加绝对值（那是两平面夹角的规矩），余弦的符号就是答案的一部分。

求面积与体积

第一步：把顶点化成从同一点出发的向量。

第二步：平行四边形面积

= ∣ a \times b ∣

，三角形再除以

2

。

第三步：平行六面体体积

= [a b c]

。

第四步：四面体体积再除以

6

。

例例. 已知

A (1, 0, 0)

、

B (0, 1, 0)

、

C (0, 0, 1)

、

D (1, 1, 1)

，求

△ A B C

的面积与四面体

A B C D

的体积。

第一步，化成从同一点

A

出发：

A B = (- 1, 1, 0), A C = (- 1, 0, 1), A D = (0, 1, 1) .

第二步，

A B \times A C = (1, 1, 1)

，模是

3

。平行四边形面积

3

，三角形再除以 $2$ ：

S = \frac{3}{2}

。

第三步，混合积用上一步的叉积直接点乘：

[A B A C A D] = (1, 1, 1) \cdot (0, 1, 1) = 2,

平行六面体体积

∣2∣ = 2

。

第四步，四面体再除以 $6$ ：

V = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

。

两个「再除以」别记混：面积除 $2$ 、体积除 $6$ 。混合积忘了取绝对值也是常见的——体积不能是负的。

找一个垂直于两向量的向量

第一步：这正是向量积的本行，取

n = a \times b

。

第二步：按行列式展开算出三个分量。

第三步：需要单位向量就再除以模。

第四步：这一手在下一条「求平面的法向量」里天天用。

例例. 求同时垂直于

a = (2, - 1, 1)

与

b = (1, 1, - 2)

的单位向量。

第一步，「同时垂直于两个向量」正是向量积的本行，不必去解方程组。

第二步，按行列式展开：

n = a \times b = i 21 j - 1 1 k 1 - 2 = (1, 5, 3) .

中间那个分量记得带负号展开：

- [2 \cdot (- 2) - 1 \cdot 1] = 5

，漏掉这个负号是这里最常见的错。

第三步，

∣ n ∣ = 1 + 25 + 9 = 35

，所求为

\pm \frac{1}{35} (1, 5, 3) .

两个方向都要写——垂直于一张平面的单位向量本来就有两个。

第四步，下一条「求平面的法向量」用的就是这一步：平面过三点时，取两条边叉乘即得

n

。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把数量积与向量积的结果类型弄混

数量积得数，向量积得向量。

写出「

a \cdot b = (1, 1, 1)

」或「

a \times b = 3

」都是类型错误。

自检：等号两边一个是数、一个是向量，必错。

向量积当成可交换

b \times a = - a \times b

，交换顺序要变号。

行列式交换两行变号，正是这件事。

数量积才可交换，两者别套用。

三角形面积忘了除以 $2$

∣ a \times b ∣

是平行四边形的面积。

四面体同理：混合积的绝对值是平行六面体，四面体要除以

6

。

记法：叉积管平行四边形，混合积管平行六面体，再按需折算。

两条边没从同一个顶点出发

算三角形

A B C

的面积要用

A B

与

A C

，
不能用

A B

与

B C

混着来。

起点不同，张成的平行四边形就不是同一个。

写之前先定一个顶点，两条边都从它出发。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认运算

练 1

设

a = (1, 2, 2)

，则

∣ a ∣ =

________。

练 2

a \cdot b

的结果是（）。

A一个向量
B一个行列式
C一个矩阵
D一个数

练 3

a ⊥ b

当且仅当

a \cdot b =

________。

练 4

∣ a \times b ∣

的几何意义是（）。

A三角形面积
B平行六面体体积
C两向量夹角
D平行四边形面积

第二组 · 会算

练 5

a = (1, - 1, 2)

、

b = (2, 1, k)

垂直，则

k =

________。

练 6

a = (- 1, 1, 0)

、

b = (- 1, 0, 1)

，则

a \times b =

________。

练 7

以

A (1, 0, 0)

、

B (0, 1, 0)

、

C (0, 0, 1)

为顶点的三角形面积为 ________。

练 8

三向量共面的判据是（）。

A混合积为 $0$
B两两点积为 $0$
C三者模相等
D两两叉积为 $0$

第三组 · 想清楚

练 9

下列式子没有意义的是（）。

A $(a \times b) \cdot c$
B $(a \cdot b) \times c$
C $(a \cdot b) c$
D $∣ a \times b ∣$

练 10

已知

a \times b = 0

且

a \neq = 0

、

b \neq = 0

，则（）。

A $a ⊥ b$
B $a \cdot b = 0$
C $a = b$
D $a ∥ b$

练 11

以

a, b, c

为棱的四面体体积是平行六面体体积的 ________ 倍。

练 12

已知

cos α = \frac{1}{3}

、

cos β = \frac{2}{3}

且

γ

为锐角，则

cos γ =

________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

向量及其运算（数量积、向量积、混合积）

先打基础

1. 向量的坐标、模与方向余弦

2. 数量积：结果是数，管垂直与夹角

3. 向量积：结果是向量，管平行与面积

4. 混合积：一个数，管体积与共面

常用结构

判两向量的关系

求面积与体积

找一个垂直于两向量的向量

基础易错

把数量积与向量积的结果类型弄混

向量积当成可交换

三角形面积忘了除以 2

两条边没从同一个顶点出发

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

三角形面积忘了除以 $2$